1 сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Какие признаки равенства прямоугольных треугольников? IV

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство :

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Рис. 2

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3

Доказательство :

Рис. 4

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство :

Рис. 5

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Рис. 6

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:

Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Рис. 7

Доказательство :

Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

1. Омский государственный университет ().
2. Справочный портал calc.ru ().
3. Учительский портал ().

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

1. Первые два признака равенства прямоугольных треугольников.

Для равенства двух треугольников достаточно, чтобы три элемента одного треугольника были равны соответствующим элементам другого треугольника, при этом непременно в число этих элементов должна входить хотя бы одна сторона.

Так как все прямые углы равны между собой, то прямоугольные треугольники уже имеют по одному равному элементу, именно по одному прямому углу.

Отсюда следует, что прямоугольные треугольники равны:

если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника (рис. 153);

если катет и прилежащий острый угол одного угольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника (рис. 154).

Докажем теперь две теоремы, устанавливающие ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теоремы о признаках равенства прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе иострому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника ABC и А’В’С’, у которых углы А и А’ равны, гипотенузы АВ и А’В’ также равны, а углы С и С’ - прямые (рис. 157).

Наложим треугольник А’В’С’на треугольник ABC так, чтобы вершина А’ совпала с вершиной А, гипотенуза А’В’ - с равной гипотенузой АВ. Тогда вследствие равенства углов A и А’ катет А’С’ пойдёт по катету АС; катет В’С’ совместится с катетом ВС: оба они - перпендикуляры, проведённые к одной прямой АС из одной точки В. Значит, вершины С и С’ совместятся.

Треугольник ABC совместился с треугольником А’В’С’.

Следовательно, \(\Delta\)АВС = \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема даёт 3-й признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Чтобы доказать это, построим два прямоугольных треугольника АВС и А’В’С’, у которых углы С и С’ - прямые, катеты АС и A’C’ равны, гипотенузы АВ и А’В’ также равны (рис. 158).

Проведём прямую MN и отметим на ней точку С, из этой точки проведём перпендикуляр СК к прямой MN. Затем прямой угол треугольника ABC наложим на прямой угол КСМ так, чтобы вершины их совместились и катет АС пошёл по лучу СК, тогда катет ВС пойдёт по лучу СМ. Прямой угол треугольника А’В’С’ наложим на прямой угол KCN так, чтобы вершины их совместились и катет А’С’ пошёл по лучу СК, тогда катет С’В’ пойдёт по лучу CN. Вершины А и А’ совпадут вследствие равенства катетов АС и А’С’.

Треугольники АВС и А’В’С’ составят вместе равнобедренный треугольник ВАВ’, в котором АС окажется высотой и биссектрисой, а значит и осью симметрии треугольника ВАВ’. Из этого следует, что \(\Delta\)АВС = \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема дает 4-й признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Итак, все признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

3. Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

5. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство :

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Рис. 2

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3

Доказательство :

Рис. 4

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство :

Рис. 5

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Рис. 6

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:

Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Рис. 7

Доказательство :

Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

1. Омский государственный университет ().
2. Справочный портал calc.ru ().
3. Учительский портал ().

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

Разделы: Математика

Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников”

Цель: закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников.

Ход урока:

I. Оргмомент.

II. Устно.

1. Ответить на вопросы:

1. Назвать элементы прямоугольного треугольника.
2. Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
3. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.
4. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30 0 .
5. Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин).

Рисунок 1.

Составили слово “признак”.

III. Изучение нового материала

Изучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.

Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?

Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.

№1. (По двум катетам)

Рисунок 2.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №1)

№2. (По катету и прилежащему к нему острому углу)

Рисунок 3.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , ВС = В 1 С 1, С= С 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №2)

№3. (По гипотенузе и острому углу)

Рисунок 4.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АС = А 1 С 1, А= А 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №3)

Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство.

Рисунок 5.

IV. Закрепление изученного на уроке.

Решить следующую задачу.

Рисунок 6.

Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 , DAB=CBA=90 0 , АD = BD

Доказать: CAB=DBA.

Обсуждение в четверках (3 мин).

Зачем задача из учебника №261 с записью.

Рисунок 7.

Дано: АВС – равнобедренный, AD и CE – высота АВС

Доказать: AD = CE

Доказательство:

V. Задание на дом.

П.35 (три признака), №261 (доказать, что АОС - равнобедренный), №268 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу).

На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по результатам за 2 урока.

Дополнительно. Найти равные треугольники.

Билет № 14

Многоугольник. Элементы многоугольника. Виды многоугольников. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FA так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., FA и АВ) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки А, В, С, ..., Е, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, CD, ..., EF, FA- сторонами многоугольника.

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Многоугольник с п вершинами называется п -угольником.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. (Многоугольник ABCD – выпуклый, остальные не выпуклые)

Сумма углов выпуклого п -угольника равна (п -2) 180°.

Следствия: 1)Сумма углов любого треугольника равна 180 0

2) Сумма углов любого четырехугольника равна 360 0

Билет № 15

Доказать одно из свойств параллелограмма.

1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема Пифагора.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

С помощью этой теоремы, зная стороны треугольника, можно определять, является ли он прямоугольным

2. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса 30 0 , 45 0 , 60 0 .

Определение : Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение : Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение : Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

	30 0	45 0	60 0
Sin A
Cos A
Tg A

Билет № 17

Билет № 18

теорема: Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны 3 сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Билет № 14

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство одного из них.

Существует четыре признака равенства прямоугольных треугольников:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АС=А 1 С 1 , ÐА=ÐА 1)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , ÐА=ÐА 1)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , АС=А 1 С 1)

Докажем признак по гипотенузе и острому углу.