Kaava kahden viivan välisen kulman laskemiseksi. Kahden suoran välinen kulma

Tämä materiaali on omistettu sellaiselle käsitteelle kuin kulma kahden leikkautuvan suoran välillä. Ensimmäisessä kappaleessa selitämme, mikä se on, ja esitetään se kuvissa. Sitten analysoimme, mitä menetelmiä voidaan käyttää tämän kulman siniaalin, kosinin ja itse kulman löytämiseen (tarkastelemme erikseen tapauksia, joissa on taso ja kolmiulotteinen tila), annamme tarvittavat kaavat ja näytämme esimerkkien avulla, kuinka niitä sovelletaan käytännössä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ymmärtääksemme, mikä on kahden viivan leikkauspisteeseen muodostettu kulma, meidän on muistettava kulman, kohtisuoran ja leikkauspisteen määritelmä.

Määritelmä 1

Kutsumme kahta linjaa, jotka leikkaavat, jos niillä on yksi yhteinen piste. Tätä pistettä kutsutaan kahden viivan leikkauspisteeksi.

Jokainen viiva jaetaan leikkauspisteellä säteiksi. Tässä tapauksessa molemmat suorat muodostavat 4 kulmaa, joista kaksi on pystysuora ja kaksi vierekkäin. Jos tiedämme yhden niistä mitan, voimme määrittää muut, jotka ovat jäljellä.

Oletetaan, että tiedämme, että yksi kulmista on yhtä suuri kuin α. Tässä tapauksessa sen suhteen pystysuora kulma on myös yhtä suuri kuin α. Jäljellä olevien kulmien löytämiseksi meidän on laskettava ero 180 ° - α. Jos α on yhtä suuri kuin 90 astetta, niin kaikki kulmat ovat oikein. Suoraan kulmaan leikkaavia viivoja kutsutaan kohtisuoraksi (erillinen artikkeli on omistettu kohtisuoran käsitteelle).

Katso kuvaa:

Siirrytään päämääritelmän muotoiluun.

Määritelmä 2

Kahden leikkautuvan suoran muodostama kulma on mitta pienemmälle neljästä kulmasta, jotka muodostavat nämä kaksi viivaa.

Määritelmästä on tehtävä tärkeä johtopäätös: kulman koko ilmaistaan \u200b\u200btässä tapauksessa millä tahansa reaaliluvulla välillä (0, 90]. Jos viivat ovat kohtisuorassa, niin niiden välinen kulma on joka tapauksessa 90 astetta.

Kyky löytää kulman mitta kahden leikkautuvan viivan välillä on hyödyllinen monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Ratkaisumenetelmä voidaan valita useista vaihtoehdoista.

Ensinnäkin voimme käyttää geometrisiä menetelmiä. Jos tiedämme jotain lisäkulmista, voimme suhteuttaa ne tarvittavaan kulmaan käyttämällä yhtäläisten tai samankaltaisten lukujen ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos tiedämme kolmion sivut ja meidän on laskettava kulma linjojen välillä, joilla nämä sivut sijaitsevat, niin kosinuslause sopii meille ratkaistavaksi. Jos meillä on kunnossa suorakaiteen muotoinen kolmio, tarvitsemme laskelmiin myös tiedon kulman siniaalista, kosinista ja tangenttia.

Koordinaattimenetelmä on myös erittäin kätevä tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi. Selitetään kuinka sitä käytetään oikein.

Meillä on suorakulmainen (suorakulmainen) koordinaattijärjestelmä O x y, jossa annetaan kaksi viivaa. Merkitse niitä kirjaimilla a ja b. Suorat voidaan kuvata millä tahansa yhtälöillä. Lähdelinjoilla on leikkauspiste M. Kuinka määritetään haluttu kulma (merkitty α) näiden viivojen välillä?

Aloitetaan sellaisen perusperiaatteen määrittelyllä, joka on kulman löytäminen tietyissä olosuhteissa.

Tiedämme, että sellaiset käsitteet kuin ohjaava ja normaali vektori liittyvät läheisesti suoran käsitteeseen. Jos meillä on yhtälö jostakin suorasta, voimme ottaa siitä vektorien koordinaatit. Voimme tehdä tämän kahdelle risteävälle linjalle kerralla.

Kahden leikkautuvan suoran muodostama kulma löytyy seuraavista:

• kulma ohjausvektoreiden välillä;
• kulma normaalien vektoreiden välillä;
• kulma yhden viivan normaalin vektorin ja toisen suuntavektorin välillä.

Harkitse nyt kutakin menetelmää erikseen.

1. Oletetaan, että meillä on viiva a suuntavektorilla a → \u003d (a x, a y) ja viiva b suuntavektorilla b → (b x, b y). Laita nyt kaksi vektoria a → ja b → leikkauspisteestä. Sen jälkeen näemme, että ne sijaitsevat kukin omalla linjallaan. Sitten meillä on neljä vaihtoehtoa keskinäiseen järjestelyyn. Katso kuvaa:

Jos kahden vektorin välinen kulma ei ole liian suuri, niin se on kulma, jota tarvitsemme risteävien suorien a ja b välillä. Jos se on tyly, niin haluttu kulma on yhtä suuri kuin kulman a →, b → ^ vieressä oleva kulma. Siten α \u003d a →, b → ^ jos a →, b → ^ ≤ 90 ° ja α \u003d 180 ° - a →, b → ^ jos a →, b → ^\u003e 90 °.

Perustuu siihen tosiseikkaan, että samankulmaisten kosinien ovat yhtä suuret, voimme kirjoittaa saadut yhtäläisyydet seuraavasti: cos α \u003d cos a →, b → ^ jos a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^ jos a →, b → ^\u003e 90 °.

Toisessa tapauksessa käytettiin valettuja kaavoja. Täten,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Me kirjoitamme viimeisen kaavan sanoin:

Määritelmä 3

Kahden leikkautuvan suoran muodostaman kulman kosini on yhtä suuri kuin sen suuntavektoreiden välisen kulman kosinin moduuli.

Kahden vektorin a → \u003d (a x, a y) ja b → \u003d (b x, b y) välisen kulman kosinuskaavan yleinen muoto näyttää seuraavalta:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → b → \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b b 2 + b y 2

Sen perusteella voidaan johtaa kaava kosinin kosinukselle kahden annetun viivan välillä:

cos α \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Silloin itse kulma voidaan löytää seuraavan kaavan avulla:

α \u003d a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b b 2 + b y 2

Tässä a → \u003d (a x, a y) ja b → \u003d (b x, b y) ovat annettujen viivojen suuntavektorit.

Annamme esimerkin ongelman ratkaisemisesta.

Esimerkki 1

Suoraan suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä annetaan kaksi leikkaavaa suoraa a ja b. Ne voidaan kuvata parametriarvoilla x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R ja x 5 \u003d y - 6 - 3. Laske näiden viivojen välinen kulma.

Päätös

Meillä on parametrinen yhtälö tilassa, mikä tarkoittaa, että tälle riville voidaan kirjoittaa välittömästi sen ohjausvektorin koordinaatit. Tätä varten meidän on otettava parametrille kertoimien arvot, ts. viivalla x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R on suuntavektori a → \u003d (4, 1).

Toinen rivi kuvataan käyttämällä kanonista yhtälöä x 5 \u003d y - 6 - 3. Täältä voimme ottaa koordinaatit nimittäjiltä. Siten tällä viivalla on suuntavektori b → \u003d (5, - 3).

Seuraavaksi siirry suoraan kulman löytämiseen. Korvaa tämä yksinkertaisesti korvaamalla kahden vektorin käytettävissä olevat koordinaatit yllä olevassa kaavassa α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Saamme seuraavat:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

Vastaus: Nämä viivat muodostavat 45 asteen kulman.

Voimme ratkaista samanlaisen ongelman etsimällä kulman normaalien vektorien välillä. Jos meillä on viiva a normaalivektorilla na → \u003d (nax, nay) ja viiva b normaalivektorilla nb → \u003d (nbx, nby), niin niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin na → ja nb → välinen kulma tai kulma, joka tulee olemaan. na →, nb → ^ vieressä. Tämä menetelmä on esitetty kuvassa:

Kaavat leikkauslinjojen ja tämän kulman kosinuksen kosinin laskemiseksi normaalivektoreiden koordinaateilla näyttävät tältä:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d n a x n b x + n a y + n b yn a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α \u003d a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tässä n a → ja n b → kuvaavat kahden annetun viivan normaalivektoreita.

Esimerkki 2

Suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä kaksi viivaa määritetään yhtälöillä 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 ja x + 4 y - 17 \u003d 0. Etsi sini, niiden välisen kulman kosini ja tämän kulman suuruus.

Päätös

Alkuperäiset viivat on annettu käyttäen muodon A x + B y + C \u003d 0 suoran normaalin yhtälöitä. Merkitsemme normaalia vektoria n → \u003d (A, B). Etsi yhden rivin ensimmäisen normaalin vektorin koordinaatit ja kirjoita ne: n a → \u003d (3, 5). Toisella rivillä x + 4 y - 17 \u003d 0, normaalivektorilla on koordinaatit n b → \u003d (1, 4). Lisää nyt saadut arvot kaavaan ja laske laskelmat:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Jos tiedämme kulman kosinuksen, voimme laskea sen sinin käyttämällä perustason trigonometristä identiteettiä. Koska suorien viivojen muodostama kulma α ei ole liiallinen, niin sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Tässä tapauksessa α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Vastaus: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34

Analysoidaan viimeinen tapaus - viivojen välisen kulman löytäminen, jos tiedämme yhden suoran suoravektorin ja toisen normaalin vektorin koordinaatit.

Oletetaan, että viivalla a on suuntavektori a → \u003d (a x, a y) ja viivalla b on normaali vektori n b → \u003d (n b x, n b y). Meidän on siirrettävä näitä vektoreita leikkauspisteestä ja harkittava kaikkia vaihtoehtoja niiden suhteelliselle sijainnille. Katso kuvassa:

Jos annettujen vektorien välinen kulma on enintään 90 astetta, osoittautuu, että se täydentää a: n ja b: n välistä kulmaa oikeaan kulmaan.

a →, nb → ^ \u003d 90 ° - α, jos a →, nb → ^ ≤ 90 °.

Jos se on alle 90 astetta, niin saadaan seuraava:

a →, n b → ^\u003e 90 °, sitten a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Käyttämällä yhtäläisten kulmien yhtäläisten kosinien sääntöä kirjoitamme:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α muodossa →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α muodossa →, n b → ^\u003e 90 °.

Täten,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Olkaamme päätelmä.

Määritelmä 4

Löytääksesi kahden tasossa leikkautuvan viivan välisen kulman sinin, sinun on laskettava ensimmäisen linjan ohjausvektorin ja toisen normaalin vektorin välisen kulman kosinusmoduuli.

Me kirjoitamme tarvittavat kaavat. Kulman sinin löytäminen:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itse kulman löytäminen:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Tässä → → on ensimmäisen rivin ohjausvektori ja n b → on toisen normaali vektori.

Esimerkki 3

Kaksi leikkaavaa viivaa annetaan yhtälöillä x - 5 \u003d y - 6 3 ja x + 4 y - 17 \u003d 0. Etsi leikkauskulma.

Päätös

Otetaan oppaan koordinaatit ja normaali vektori annetusta yhtälöstä. Osoittautuu a \u003d \u003d (- 5, 3) ja n → b \u003d (1, 4). Otetaan kaava α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 ja harkitaan:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Huomaa, että otimme yhtälöt edellisestä ongelmasta ja saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta eri tavalla.

Vastaus: α \u003d a r c sin 7 2 34

Tässä on toinen tapa löytää haluttu kulma käyttämällä annettujen viivojen kulmakertoimia.

Meillä on viiva a, joka annetaan suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälöllä y \u003d k 1 · x + b 1 ja viivalla b, joka on määritelty muodossa y \u003d k 2 · x + b 2. Nämä ovat kulmakerroinviivojen yhtälöitä. Risteyskulman selvittämiseksi käytämme kaavaa:

α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, missä k 1 ja k 2 ovat annettujen viivojen kulmakertoimet. Tämän tietueen saamiseksi käytettiin kaavoja kulman määrittämiseen normaalivektorien koordinaateina.

Esimerkki 4

Yhtälöiden y \u003d - 3 5 x + 6 ja y \u003d - 1 4 x + 17 4 määrittämässä tasossa on kaksi linjaa, jotka leikkaavat. Laske leikkauskulma.

Päätös

Linjojemme kulmakertoimet ovat k 1 \u003d - 3 5 ja k 2 \u003d - 1 4. Lisää ne kaavaan α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 ja laske:

α \u003d a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

Vastaus: α \u003d a r c cos 23 2 34

Tämän kappaleen päätelmissä on huomattava, että tässä annettuja kaavoja kulman löytämiseksi ei tarvitse oppia sydämestä. Tämän tekemiseksi riittää, että tiedetään annettujen linjojen opasten ja / tai normaalien vektoreiden koordinaatit ja pystytään määrittämään ne erityyppisten yhtälöiden avulla. Mutta kaavat kulman kosinin laskemiseksi on parempi muistaa tai kirjoittaa muistiin.

Kuinka laskea kulma avaruudessa leikkaavien suorien linjojen välillä

Tällaisen kulman laskenta voidaan vähentää ohjausvektorien koordinaattien laskemiseen ja näiden vektoreiden muodostaman kulman suuruuden määrittämiseen. Tällaisissa esimerkeissä käytetään samaa päättelyä kuin aiemmin.

Oletetaan, että meillä on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, joka sijaitsee kolmiulotteisessa tilassa. Se määrittelee kaksi viivaa a ja b M: n leikkauspisteen kanssa. Suuntavektorien koordinaattien laskemiseksi meidän on tiedettävä näiden viivojen yhtälöt. Merkitse suuntavektorit a → \u003d (a x, a y, a z) ja b → \u003d (b x, b y, b z). Laskemme niiden välisen kulman kosinuksen kosiniä käyttämällä kaavaa:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Tarvitsemme tämän kaavan itse kulman löytämiseksi:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Esimerkki 5

Meillä on viiva, joka on määritelty kolmiulotteisessa tilassa käyttämällä yhtälöä x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2. Tiedetään, että se leikkaa O z-akselin. Laske leikkauskulma ja tämän kulman kosini.

Päätös

Merkitsemme laskettavan kulman kirjaimella α. Kirjoitamme suuntavektorin koordinaatit ensimmäiselle riville - a → \u003d (1, - 3, - 2). Sovellettavalle akselille voimme ottaa koordinaattivektorin k → \u003d (0, 0, 1) ohjeena. Saimme tarvittavat tiedot ja voimme lisätä ne haluttuun kaavaan:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

Seurauksena on, että tarvitsemme kulma on yhtä suuri kuin r c cos 1 2 \u003d 45 °.

Vastaus: cos α \u003d 1 2, a \u003d 45 °.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Kulma avaruudessa olevien suorajen linjojen väliin kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostuvat kahden datan suuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi vetämän viivan avulla.

Annetaan kaksi riviä avaruudessa:

On selvää, että viivojen väliselle kulmalle φ voidaan ottaa kulma niiden ohjausvektoreiden ja. Koska saamme vektorien välisen kulman kosinuksen kaavan avulla

Kahden viivan suuntaisuuden ja kohtisuoran olosuhteet vastaavat niiden ohjausvektoreiden suuntaisuuden ja kohtisuoran olosuhteita ja:

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset jos ja vain jos niiden vastaavat kertoimet ovat verrannollisia, ts. l 1 yhdensuuntainen l 2 jos ja vain jos rinnakkain .

Kaksi suoraa kohtisuora jos ja vain jos vastaavien kertoimien tulojen summa on nolla :.

at tavoite linjan ja tason välillä

Anna linjan d - ei ole kohtisuorassa tasoon θ nähden;
d′ - viivan projektio d tasoon θ;
Pienin viivojen välisistä kulmista d ja d′ Soitamme kulma linjan ja tason välillä.
Merkitse se φ \u003d ( d,θ)
Jos d⊥θ, sitten ( d, θ) \u003d π / 2

oi→j→k→ - suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.
Tasoyhtälö:

θ: Kirves+mennessä+CZ+D=0

Uskomme, että viivan antaa piste- ja suuntavektori: d[M0,p→]
Vektori n→(,B,C)⊥θ
Sitten on jäljellä vektorien välinen kulma n→ ja p→, merkitsemme sitä γ \u003d ( n→,p→).

Jos kulma γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jos kulma γ\u003e π / 2, niin haluttu kulma φ \u003d γ - π / 2

sinφ \u003d sin (2π - γ) \u003d cosγ

sinφ \u003d sin (γ - 2π) \u003d - cosγ

Sitten, kulma linjan ja tason välillävoidaan pitää kaavan avulla:

sinφ \u003d ∣cosγ∣ \u003d ∣ ∣ ap1+bp2+cp3∣ ∣ √2+B2+C2√p21+p22+p23

Kysymys 29. Neljännisen muodon käsite. Nelijakoisten muotojen merkkivakuus.

Neljännestä muodossa j (x 1, x 2, ..., x n) n todelliset muuttujat x 1, x 2, ..., x n kutsutaan muodon summaksi
, (1)

missä ij Kutsutaanko joitain numeroita kertoimiksi. Voimme olettaa, että menettämättä yleisyyttä ij = ji.

Nelijakoista muotoa kutsutaan pätevä jos ij Î GR. Neliömäinen matriisi kutsutaan matriisiksi, joka koostuu sen kertoimista. Nelijakoinen muoto (1) vastaa yhtä symmetristä matriisia
T. e. A T \u003d A. Siksi neliömäinen muoto (1) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa j ( x) = x T Ahmissä x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

Ja päinvastoin, mihin tahansa symmetriseen matriisiin (2) vastaa ainutlaatuinen neliömäinen muoto muuttujien merkitsemiseen saakka.

Neljänninen sijoitus kutsutaan sen matriisin listalle. Nelijakoista muotoa kutsutaan ei-degeneroitunut jos sen matriisi ei ole rappeutunut JA. (muistaa, että matriisi JA kutsutaan ei-rappeutuneeksi, jos sen determinantti ei ole yhtä suuri kuin nolla). Muutoin neliöllinen muoto on rappeutunut.

positiivinen varma (tai ehdottomasti positiivinen), jos

j ( x) > 0 , kenelle tahansa x = (x 1 , x 2 , …, x n), sitä paitsi x = (0, 0, …, 0).

Matriisi JA positiivinen varma neliömuoto j ( x) kutsutaan myös positiiviseksi ehdottomaksi. Siksi positiivinen varma neliömäinen muoto vastaa ainutlaatuista positiivista määrättyä matriisia ja päinvastoin.

Nelijakoista muotoa (1) kutsutaan negatiivisesti määritelty (tai ehdottomasti negatiivinen), jos

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Sitä paitsi x = (0, 0, …, 0).

Samoin, kuten yllä, negatiivisen määrätyn neliömäisen muodon matriisia kutsutaan myös negatiiviseksi määriteltynä.

Siksi positiivinen (negatiivinen) varma neliömuoto j ( x) saavuttaa j (minimiarvon) x *) \u003d 0 x * = (0, 0, …, 0).

Huomaa, että useimmat kvadraattiset muodot eivät ole merkki-määritelmiä, ts. Ne eivät ole positiivisia eikä negatiivisia. Tällaiset neliömäiset muodot muuttuvat nollaksi paitsi koordinaattijärjestelmän lähtöpisteessä myös muissa kohdissa.

Kun n \u003e 2 erityiskriteeriä tarvitaan kvadraattisen muodon oikeellisuuden tarkistamiseksi. Harkitse heitä.

Suurimmat alaikäiset kvadraattisia muotoja kutsutaan alaikäisiksi:

eli nämä ovat alaikäisiä luokkaa 1, 2, ..., n matriisit JAjotka sijaitsevat vasemmassa yläkulmassa, viimeinen niistä osuu matriisin determinantin kanssa JA.

Positiivisen varmuuden kriteeri (Sylvesterikriteeri)

x) = x T Ah oli ehdottomasti positiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki matriisin tärkeimmät alaikäiset JA olivat positiivisia, toisin sanoen: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivisen varmuuden kriteeri Jotta neliömäinen muoto j ( x) = x T Ah oli ehdottomasti negatiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että sen parilliset tärkeimmät alaikäiset ovat positiivisia ja parittomat alaikäiset - negatiiviset, ts .: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1) n

Käyttöopas

merkintä

Tangentin trigonometrisen funktion jakso on 180 astetta, mikä tarkoittaa, että suorien rintojen kaltevuuskulma ei absoluuttisessa arvossa voi ylittää tätä arvoa.

Hyödyllisiä neuvoja

Jos kulmakertoimet ovat yhtä suuret, niin tällaisten viivojen välinen kulma on 0, koska tällaiset viivat ovat joko samat tai yhdensuuntaiset.

Risteysviivojen välisen kulman määrittämiseksi on tarpeen siirtää molemmat linjat (tai yksi niistä) uuteen sijaintiin käyttämällä rinnakkaissiirtomenetelmää ennen risteystä. Tämän jälkeen sinun pitäisi löytää kulma tuloksena olevien risteävien viivojen välillä.

Tarvitset

• Viivain, oikea kolmio, lyijykynä, tuuletin.

Käyttöopas

Annetaan siis vektori V \u003d (a, b, c) ja taso A x + B y + C z \u003d 0, missä A, B ja C ovat normaalin N. koordinaatit. Silloin vektorien V ja N välisen kulman α kosini on yhtä suuri kuin: cos α \u003d (а А + b + + с C) / (√ (а² + b² + с²) √ (А² + ² + C²)).

Kulman laskemiseksi asteina tai radiaaneina on tarpeen laskea kosiniin käänteinen funktio tuloksena olevasta lausekkeesta, ts. arkkosiini: α \u003d arkkos ((a А + b с + с C) / (√ (а ² + b ² + с ²) √ (А ² + ² + C 2))).

Esimerkki: löytää kulma välillä vektori (5, -3, 8) ja konemääritelty yleisen yhtälön avulla 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0. Ratkaisu: kirjoita tason N \u003d (2, -5, 3) normaalivektorin koordinaatit. Korvaa kaikki tunnetut arvot yllä olevassa kaavassa: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α \u003d 36,87 °.

Liittyvät videot

Suora, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, on ympyrän tangentti. Toinen tangentin piirre on, että se on aina kohtisuorassa tangenssipisteeseen vedettyyn säteeseen, toisin sanoen tangentti ja säde muodostavat suoran. kulma. Jos piirretään kaksi ympyrän AB ja AC tangenttia yhdestä pisteestä A, niin ne ovat aina yhtä suuret toistensa kanssa. Tangenttien välisen kulman määrittäminen ( kulma ABC) suoritetaan käyttämällä Pythagoran lausetta.

Käyttöopas

Kulman määrittämiseksi sinun on tiedettävä OB: n ja OS: n ympyrän säde ja tangentin lähtöpisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä - O. Joten ABO: n ja ASO: n kulmat ovat yhtä suuret, OB: n säde, esimerkiksi 10 cm, ja etäisyys AO: n ympyrän keskipisteeseen, on 15 cm. Määritä tangentin pituus Pythagoran lauseen mukainen kaava: AB \u003d AO2 - OB2: n tai 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125: n neliöjuuri;

Minä puhun lyhyesti. Kahden viivan välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden ohjausvektoreiden välinen kulma. Siten, jos löydät suuntavektorien a \u003d (x 1; y 1; z 1) ja b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinaatit, niin löydät kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavan mukaan:

Katsotaan kuinka tämä kaava toimii tietyissä esimerkeissä:

Tehtävä. Kuutiossa ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on merkitty pisteet E ja F - vastaavasti reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Etsi kulma linjojen AE ja BF välillä.

Koska kuution reunaa ei ole osoitettu, asetamme AB \u003d 1. Esitämme vakiokoordinaatistojärjestelmän: Alku pisteessä A, x, y, z-akselit on suunnattu vastaavasti pitkin AB, AD ja AA 1. Yksikkölinja on AB \u003d 1. Löydämme nyt linjojemme suuntavektorien koordinaatit.

Etsi vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitaan pisteitä A \u003d (0; 0; 0) ja E \u003d (0,5; 0; 1). Koska piste E on segmentin A 1 B 1 keskikohta, sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE alkuperä on samanlainen kuin alkuperä, joten AE \u003d (0,5; 0; 1).

Nyt käsitellään vektoria BF. Analysoimme samalla tavalla pisteitä B \u003d (1; 0; 0) ja F \u003d (1; 0,5; 1), koska F on segmentin B 1 C 1 keskipiste. Meillä on:
BF \u003d (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0,5; 1).

Joten, suuntavektorit ovat valmiita. Linjojen välisen kulman kosini on kosin kosini koskien ohjausvektoreiden välistä kulmaa, joten meillä on:

Tehtävä. Säännöllisessä kolmioprisma-prismassa ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä kuin 1, pisteet D ja E on merkitty - vastaavasti reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Etsi kulma linjojen AD ja BE välillä.

Esittelemme vakiokoordinaattijärjestelmän: lähtö pisteessä A, x-akseli AB: tä pitkin, z pitkin AA 1: tä. Suuntaamme y-akselin siten, että OXY-taso osuu yhteen ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on AB \u003d 1. Löydä suuntavektorien koordinaatit halutuille riveille.

Etsi ensin vektorin AD koordinaatit. Tarkastellaan pisteitä: A \u003d (0; 0; 0) ja D \u003d (0,5; 0; 1), koska D on segmentin A 1 B 1 keskipiste. Koska vektorin AD alku alkaa samaan alkuperään, saadaan AD \u003d (0,5; 0; 1).

Nyt löydämme vektorin BE koordinaatit. Kohta B \u003d (1; 0; 0) katsotaan helpoksi. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - on hieman monimutkaisempi. Meillä on:

Vielä on löydettävä kulman kosinus:

Tehtävä. Säännöllisessä kuusikulmaisessa prismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, joiden kaikkien reunojen lukumäärä on 1, pisteet K ja L on merkitty - vastaavasti reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Selvitä kulmien suorien viivojen AK ja BL välinen kulma.

Esittelemme prisman standardikoordinaattijärjestelmän: asetamme koordinaatin lähtökohdan alemman pohjan keskipisteeseen, suuntaamme x-akselin FC: tä pitkin, y-akselin segmenttien AB ja DE keskipisteiden läpi ja z-akselin pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB \u003d 1. Me kirjoitamme meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:

Pisteet K ja L ovat segmenttien A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, joten niiden koordinaatit löytyvät aritmeettisen keskiarvon kautta. Pisteistä tiedämme, löydämme ohjausvektorien AK ja BL koordinaatit:

Löydä nyt kulman kosini:

Tehtävä. Säännöllisessä nelikulmaisessa SABCD-pyramidissa, jonka kaikki reunat ovat yhtä, pisteet E ja F on merkitty - vastaavasti sivujen SB ja SC keskipisteet. Etsi kulma linjojen AE ja BF välillä.

Esittelemme standardi koordinaattijärjestelmän: Alku pisteessä A, x- ja y-akselit on suunnattu vastaavasti AB: tä ja AD: tä, ja z-akseli on suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB \u003d 1.

Pisteet E ja F ovat segmenttien SB ja SC keskipisteet, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Me kirjoitamme meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Pisteistä tiedämme, löydämme ohjausvektorien AE ja BF koordinaatit:

Vektorin AE koordinaatit vastaavat pisteen E koordinaatteja, koska piste A on lähtökohta. Vielä on löydettävä kulman kosinus:

ja. Annetaan kaksi viivaa: Nämä viivat, kuten luvussa 1 on esitetty, muodostavat erilaisia \u200b\u200bpositiivisia ja negatiivisia kulmia, jotka voivat tässä tapauksessa olla joko teräviä tai sotkuisia. Kun tiedät yhden näistä kulmista, löydämme helposti minkä tahansa muun.

Muuten, kaikilla näillä kulmilla tangentin numeerinen arvo on sama, ero voi olla vain merkissä

Yhtälöt. Numerot ovat ensimmäisen ja toisen suoran suuntavektorien projektiot, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin yhden suoran muodostama kulma. Siksi tehtävä pelkistetään vektorien välisen kulman määrittämiseen

Yksinkertaisuuden vuoksi voimme sopia kulmasta kahden viivan välillä ymmärtääksesi akuutin positiivisen kulman (kuten esimerkiksi kuvassa 53).

Silloin tämän kulman tangentti on aina positiivinen. Siten, jos miinusmerkki saadaan kaavan (1) oikealta puolelta, meidän on hylättävä se, ts. Vain absoluuttinen arvo tulisi säilyttää.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma

Kaavalla (1) meillä on

alkaen. Jos ilmoitetaan, mikä kulman puoli on sen alku ja mikä pää, niin laskemalla aina kulman suunta vastapäivään, voimme purkaa (1) jotain enemmän. Kuten se on helppo nähdä kuvasta 1. Kaavan (1) oikealta puolelta saatu 53-merkki osoittaa, mikä - terävä tai räikeä - kulma muodostaa toisen suoran ensimmäisen kanssa.

(Itse asiassa kuvasta 53 näemme, että ensimmäisen ja toisen ohjausvektorin välinen kulma on joko yhtä suuri kuin haluttu viivojen välinen kulma tai eroaa ± 180 ° siitä.)

d. Jos viivat ovat yhdensuuntaisia, niin niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset. Käyttämällä kahden vektorin suuntaisuuden ehtoa saadaan!

Tämä on välttämätön ja riittävä edellytys kahden viivan samansuuntaisuudelle.

Esimerkki. Suoraan

samanaikaisesti vuodesta

e. Jos viivat ovat kohtisuorassa, niin niiden suuntavektorit ovat myös kohtisuorassa. Sovellettamalla kahden vektorin kohtisuoran ehdon saamme kahden viivan kohtisuoran ehdon, nimittäin

Esimerkki. Suoraan

kohtisuoraan ottaen huomioon, että

Rinnakkaisuuden ja kohtisuoran olosuhteiden suhteen ratkaisemme seuraavat kaksi ongelmaa.

f. Piirrä viiva tämän viivan kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi

Päätös on seuraava. Koska haluttu suora on yhdensuuntainen annetun kanssa, sen suuntavektoriksi voidaan ottaa sama kuin annettu suora, eli vektori, jolla on projektiot A ja B. Ja sitten suoran yhtälö kirjoitetaan muodossa (1 §)

Esimerkki. Yhtälö linjan suuntaisen pisteen (1; 3) läpi kulkevasta linjasta

tulee olemaan seuraava!

g. Piirrä viiva kohtisuorassa pisteessä tämän viivan kanssa

Tässä vektori, jolla on projektiot A, ei enää sovellu ohjausvektoriin, mutta meidän on voitettava vektori, joka on kohtisuora siihen nähden. Tämän vektorin projektiot on siksi valittava molempien vektorien kohtisuoraolosuhteiden mukaan, ts.

Tämä ehto voidaan täyttää lukemattomilla tavoilla, koska tässä on yksi yhtälö kahdella tuntemattomalla, mutta helpoin tapa on ottaa se. Sitten suoran yhtälö kirjoitetaan muodossa

Esimerkki. Pisteen (-7; 2) läpi kulkevan linjan yhtälö kohtisuorassa linjassa

tulee olemaan seuraava (toisen kaavan mukaan)!

h. Tapauksessa, kun viivat annetaan muodon yhtälöillä