Kuinka lisätä neliöjuuria. Juurten kertominen: perussäännöt

Nykyaikaisten elektronisten tietokoneiden aikana numeron juuren laskeminen ei ole vaikea tehtävä. Esimerkiksi √2704 \u003d 52, mikä tahansa laskin laskee tämän sinulle. Onneksi laskin on saatavana paitsi Windowsissa, myös tavallisessa, jopa yksinkertaisimmassa puhelimessa. Totta, jos huomaat äkillisesti (pienellä todennäköisyydellä, jonka laskemiseen muuten sisältyy juurien lisääminen) ilman käytettävissä olevia varoja, valitettavasti sinun on luotettava vain aivoihisi.

Mielenharjoittelu ei koskaan epäonnistu. Varsinkin niille, jotka eivät työskentele numeroiden kanssa niin usein, ja vielä enemmän juurten kanssa. Juurten lisääminen ja vähentäminen on hyvä harjoitus tylsälle mielelle. Ja näytän sinulle myös juurten lisäämisen vaiheittain. Esimerkkejä lausekkeista voivat olla seuraavat.

Yhtälö yksinkertaistetaan:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

Tämä on irrationaalinen ilmaus. Sen yksinkertaistamiseksi sinun on saatettava kaikki radikaalit ilmaisut yhteiseen muotoon. Teemme sen vaiheittain:

Ensimmäistä numeroa ei voida enää yksinkertaistaa. Siirrymme toiselle toimikaudelle.

Kerroin 3√48 48 \u003d 2 × 24 tai 48 \u003d 3 × 16. 24: stä ei ole kokonaisluku, ts. on murto-osa jäljellä. Koska tarvitsemme tarkan arvon, likimääräiset juuret eivät sovellu meille. 16: n neliöjuuri on 4, ota se alhaalta. Saamme: 3 × 4 × √3 \u003d 12 × √3

Seuraava lauseke on negatiivinen meille, ts. kirjoitettu miinusmerkillä -4 × √ (27.) Kerroin 27. Saamme 27 \u003d 3 × 9. Emme käytä murto-kertoimia, koska neliöjuuren laskeminen fraktioista on vaikeampaa. Otamme ulos 9 merkin alapuolelta, ts. laske neliöjuuri. Saadaan seuraava lauseke: -4 × 3 × √3 \u003d -12 × √3

Seuraava termi √128 laskee osan, joka voidaan ottaa pois juuren alla. 128 \u003d 64 × 2, missä √64 \u003d 8. Jos se on sinulle helpompaa, voit esittää tämän lausekkeen seuraavasti: √128 \u003d √ (8 ^ 2 × 2)

Kirjoitamme lausekkeen yksinkertaistetuin sanoin:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Nyt lisäämme numerot samalla radikaalilla lausekkeella. Et voi lisätä tai vähentää lausekkeita erilaisilla radikaalilausekkeilla. Juurten lisääminen vaatii tämän säännön noudattamista.

Saamme seuraavan vastauksen:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2 \u003d 1 × √2 - Toivon, että on tapana jättää tällaiset elementit algebrassa olematta sinulle uutisia.

Lausekkeita voidaan edustaa paitsi neliöjuuren kanssa myös kuutiomaisen tai n: nnen juuren kanssa.

Juurten lisääminen ja vähentäminen eri eksponenteilla, mutta vastaavalla radikaalisella ekspressiolla, tapahtuu seuraavasti:

Jos meillä on lausekkeen muoto √a + ∛b + ∜b, voimme yksinkertaistaa tätä lauseketta seuraavasti:

∛b + ∜b \u003d 12 × √b4 + 12 × √b3

12√b4 + 12 × √b3 \u003d 12 × √b4 + b3

Olemme tuoneet kaksi samanlaista termiä yhteiseen juurieksponenttiin. Tässä käytettiin juurten ominaisuutta, joka sanoo: jos radikaalin ilmaisun asteen lukumäärä ja juuren eksponentin lukumäärä kerrotaan samalla numerolla, niin sen laskelma pysyy muuttumattomana.

Huomaa: eksponentit lisätään vain kerrottuna.

Mieti esimerkkiä, jossa lausekkeessa on fraktioita.

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Päätämme vaiheittain:

5√8 \u003d 5 * 2√2 - otamme uutetun osan pois juuren alla.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Jos juuren runkoa edustaa murto, silloin usein tämä murto ei muutu, jos erotat neliöjuuren osingosta ja jakajasta. Tämän seurauksena saimme yllä kuvatun tasa-arvon.

√72-4√2 \u003d √ (36 × 2) - 4√2 \u003d 2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Tässä on vastaus.

Tärkeintä on muistaa, että tasaisen eksponentin omaavaa juuriä ei poisteta negatiivisista numeroista. Jos radikaalin ilmaisun tasainen aste on negatiivinen, niin lauseke on ratkaisematon.

Juurten lisääminen on mahdollista vain, jos radikaalilausekkeet ovat samat, koska ne ovat samankaltaisia \u200b\u200btermejä. Sama pätee eroon.

Juurten lisääminen erilaisilla numeerisilla eksponenteilla suoritetaan pelkistämällä molemmat termit yhteiseen juurten asteeseen. Tämä laki toimii samalla tavalla kuin yhteisen nimittäjän pienennys fraktioita lisäämällä tai vähentämällä.

Jos radikaalilauseke sisältää voimaan nostetun luvun, tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa, mikäli juuren eksponentin ja voiman välillä on yhteinen nimittäjä.

Juurikaavat. Ominaisuudet neliöjuuret.

Huomio!
On muitakin
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka eivät ole kovin ...
Ja niille, jotka ovat "hyvin tasaisia \u200b\u200b...")

Edellisessä oppitunnissa selvitimme mitä neliöjuuri on. On aika selvittää, mitkä olemassa juurikaavatmitä ovat juuriominaisuudet, ja mitä voit tehdä kaikella tällä.

Juureen kaavat, juuren ominaisuudet ja juurille suoritettavia toimia koskevat säännöt ovat pohjimmiltaan sama asia. Neliöjuureille on yllättävän vähän kaavoja. Mikä tietysti miellyttää! Pikemminkin voit kirjoittaa paljon kaikenlaisia \u200b\u200bkaavoja, mutta vain kolme riittää käytännölliseen ja luottavaiseen työskentelyyn juurten kanssa. Loput näistä kolmesta virtauksesta. Vaikka monet ihmiset eksyvät kolmeen pääkaavaan, kyllä \u200b\u200b...

Aloitetaan yksinkertaisimmasta. Tuolla hän on:

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on muutama mielenkiintoinen sivusto sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua toimintoihin ja johdannaisiin.

Numeron neliöjuuren ottaminen ei ole ainoa toimenpide, joka voidaan suorittaa tällä matemaattisella ilmiöllä. Kuten tavalliset numerot, myös neliöjuuret lisätään ja vähennetään.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lisäys ja vähennys säännöt neliöjuureille

Toimet, kuten neliöjuuren lisääminen ja vähentäminen, ovat mahdollisia vain, jos lauseke on sama.

Esimerkki 1

Voit lisätä tai vähentää lausekkeita 2 3 ja 63mutta ei 5 6 ja 9 4. Jos lauseketta on mahdollista yksinkertaistaa ja tuoda juurille samalla radikaaliluvulla, yksinkertaista ja lisää tai vähennä.

Juurtuneet aktiviteetit: Perusteet

6 50 - 2 8 + 5 12

Toiminnan algoritmi:

1. Yksinkertaista radikaalia ilmaisua... Tätä varten radikaalilause on hajotettava kahdeksi tekijäksi, joista yksi on neliöluku (luku, josta kokonainen neliöjuuri erotetaan, esimerkiksi 25 tai 9).
2. Sitten sinun on poistettava neliönumeron juuri ja kirjoita tuloksena oleva arvo ennen juurimerkkiä. Huomaa, että toinen tekijä on kirjoitettu juurikoodin alle.
3. Yksinkertaistamisen jälkeen on tarpeen korostaa juuret samoilla radikaaleilla lausekkeilla - vain niitä voidaan lisätä ja vähentää.
4. Juurille, joilla on samat radikaalit lausekkeet, on tarpeen lisätä tai vähentää tekijöitä, jotka edeltävät juuren merkkiä. Radikaali ilmaisu pysyy muuttumattomana. Et voi lisätä tai vähentää radikaaleja numeroita!

Vinkki 1

Jos sinulla on esimerkki suuresta määrästä identtisiä radikaalilausekkeita, alleviivaa tällaiset lausekkeet yhdellä, tupla- ja kolmiulottaisilla viivoilla laskentaprosessin helpottamiseksi.

Esimerkki 3

Yritetään ratkaista tämä esimerkki:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Ensin, sinun täytyy hajottaa 50 kahdeksi tekijäksi 25 ja 2, sitten poimia 25: n juuri, joka on 5, ja ottaa 5 ulos juuren alta. Sen jälkeen sinun täytyy kertoa 5 luvulla 6 (kerroin juuressa) ja saada 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Ensinnäkin, sinun on kerrottava tekijä 8 kahdeksi tekijäksi: 4 ja 2. Sitten ota juuri 4: stä, joka on 2, ja ota 2 ulos juuren alta. Sen jälkeen sinun täytyy kertoa 2 kahdella (kerroin juuressa) ja saada 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 103. Ensin sinun on kerrottava tekijä 12 kahdeksi tekijäksi: 4 ja 3. Sitten ota juuri 4: stä, joka on 2, ja ota se pois juuren alta. Sen jälkeen sinun täytyy kertoa 2 viidellä (kerroin juuressa) ja saada 10 3.

Yksinkertaistustulos: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Seurauksena näimme kuinka monta identtistä radikaalia ilmaisua sisältyy tässä esimerkissä. Harjoitetaan nyt muiden esimerkkien kanssa.

Esimerkki 4

• Yksinkertaistamme (45). Kerroin 45: (45) \u003d (9 x 5);
• Otamme ulos 3 juuren alapuolelta (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Lisää tekijät juurille: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

Esimerkki 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Yksinkertaista 6 40. Kerroin 40: 6 40 \u003d 6 (4 x 10);
• Otamme ulos 2 juurin alapuolelta (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Kertomme juuren edessä olevat tekijät: 12 10;
• Me kirjoitamme lausekkeen yksinkertaistetussa muodossa: 12 10 - 3 10 + 5;
• Koska kahdella ensimmäisellä jäsenellä on samat radikaaliluvut, voimme vähentää ne: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

Esimerkki 6

Kuten voimme nähdä, radikaalinumeroita ei voida yksinkertaistaa, etsimme jäseniä, joilla on samat radikaalinumerot esimerkissä, suoritamme matemaattisia toimintoja (lisää, vähennä jne.) Ja kirjoitamme tuloksen:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

vinkkejä:

• Ennen lisäämistä tai vähentämistä on välttämätöntä yksinkertaistaa (jos mahdollista) radikaalilausekkeita.
• Juurten lisääminen ja vähentäminen erilaisilla radikaaleilla lausekkeilla on ehdottomasti kielletty.
• Kokonaislukua tai juuria ei pitäisi lisätä tai vähentää: 3 + (2 x) 1/2.
• Kun suoritat toimintoja murto-osilla, sinun on löydettävä numero, joka voidaan jakaa jokaisella nimittäjällä, sitten tuoda murto-osat yhteiseen nimittäjään, lisätä sitten osoittimet ja jättää nimittäjät ennallaan.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Numeron x neliöjuuri on luku a, joka kerrottuna itsestään antaa luvun x: a * a \u003d a ^ 2 \u003d x, √x \u003d a. Kuten kaikki numerot, voit suorittaa summaus- ja vähennyslaskutoimintoja neliöjuurilla.

Ohjeet

• Ensinnäkin, kun lisäät neliöjuuria, yritä poimia nuo juuret. Tämä on mahdollista, jos juurimerkin alla olevat numerot ovat täydellisiä neliöitä. Annetaan esimerkiksi antaa lauseke √4 + √9. Ensimmäinen numero 4 on luvun 2 neliö. Toinen luku 9 on luvun 3 neliö. Joten osoittautuu, että: √4 + √9 \u003d 2 + 3 \u003d 5.
• Jos juurimerkin alla ei ole täydellisiä neliöitä, yritä poistaa lukukerroin juurimerkistä. Annetaan esimerkiksi antaa lauseke √24 + √54. Kerroin luvut: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Luvulla 24 on kerroin 4, joka voidaan poistaa neliöjuuren merkistä. Numerolla 54 on kerroin 9. Siten käy ilmi, että: √24 + √54 \u003d √ (4 * 6) + √ (9 * 6) \u003d 2 * √6 + 3 * √6 \u003d 5 * √6. Tässä esimerkissä tekijän poistamisen seurauksena juurimerkistä osoittautui, että se yksinkertaisti annettua lauseketta.
• Olkoon kahden neliöjuuren summa murto-osan nimittäjä, esimerkiksi A / (√a + √b). Ja anna tehtävän ennen kuin "pääset eroon irrationaalisuudesta nimittäjessä". Sitten voit käyttää seuraavaa menetelmää. Kertoa murto-osan numero ja nimittäjä luvulla √a - √b. Siten nimittäjä on kaava lyhennetylle kerto- mukselle: (√a + √b) * (√a - √b) \u003d a - b. Analogisesti, jos juurten välinen ero annetaan nimittäjässä: √a - √b, murto-osan osoittaja ja nimittäjä on kerrottava lausekkeella √a + √b. Anna esimerkiksi murto 4 / (√3 + √5) \u003d 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) \u003d 4 * (√3 - √5) / (-2) \u003d 2 * (√5 - √3).
• Mieti monimutkaisempaa esimerkkiä irraation epäonnistumisesta nimittäjässä. Olkoon murto 12 / (√2 + √3 + √5). Jakeen numeroija ja nimittäjä on tarpeen kertoa lausekkeella √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Viimeiseksi, jos haluat vain likimääräisen arvon, voit käyttää laskuria laskeaksesi neliöjuuren arvot. Laske arvot erikseen jokaiselle numerolle ja kirjoita ne tarvittavalla tarkkuudella (esimerkiksi kaksi desimaalia). Suorita sitten tarvittavat aritmeettiset toimenpiteet kuten tavalliset numerot. Oletetaan esimerkiksi, että haluat tietää lausekkeen √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 \u003d 4,89 likimääräisen arvon.

Sisältö:

Matematiikassa juuret voivat olla neliömäisiä, kuutioisia tai muita eksponentteja (astetta), jotka on kirjoitettu vasemmalle juurimerkin yläpuolelle. Lauseketta juurimerkin alla kutsutaan radikaaliksi lausekkeeksi. Juurten lisääminen on samanlainen kuin algebrallisen lausekkeen jäsenten lisääminen, ts. Se edellyttää samanlaisten juurten määrittelyä.

Askeleet

Osa 1 Juurten määritelmä

1. 1 Juurimerkintä. Lause juurimerkin (√) alla tarkoittaa, että sinun on poistettava tietyn voiman juuri tästä lausekkeesta.
   • Juuria merkitään √.
   • Juuren eksponentti (aste) on kirjoitettu vasemmalle juurimerkin yläpuolelle. Esimerkiksi 27: n kuutiojuuri on kirjoitettu näin: 3 √ (27)
   • Jos juuren eksponentti (aste) puuttuu, eksponentin katsotaan olevan yhtä suuri kuin 2, ts. Se on neliöjuuri (tai toisen asteen juuri).
   • Ennen juurimerkkiä kirjoitettua numeroa kutsutaan tekijäksi (ts. Tämä luku kerrotaan juurella), esimerkiksi 5√ (2)
   • Jos juuren edessä ei ole tekijää, niin se on yhtä suuri (muista, että mikä tahansa luku kerrottuna yhdellä on yhtä suuri kuin itse).
   • Jos tämä on ensimmäinen kerta, kun työskentelet juurten kanssa, tee asianmukaiset huomautukset kertoimen ja juureksponentin yläpuolelle, jotta et sekoisi ja ymmärrät paremmin niiden tarkoitusta.
2. 2 Muista, mitkä juuret voidaan taittaa ja mitkä eivät. Samoin kuin et voi lisätä lausekkeen eri termejä, esimerkiksi 2a + 2b ≠ 4ab, et voi lisätä erilaisia \u200b\u200bjuuria.
   • Et voi lisätä juuria eri radikaaleilla, esimerkiksi √ (2) + √ (3) ≠ √ (5). Voit lisätä numerot yhden juuren alle, esimerkiksi √ (2 + 3) \u003d √ (5) (2: n neliöjuuri on noin 1,414, 3: n neliöjuuri on noin 1,732 ja 5: n neliöjuuri on noin 2,236). ...
   • Et voi lisätä juuria samoilla radikaaleilla lausekkeilla, mutta eri indikaattoreilla, esimerkiksi √ (64) + 3 √ (64) (tämä summa ei ole yhtä suuri kuin 5 √ (64), koska 64: n neliöjuuri on 8, 64: n kuutiojuuri on 4) , 8 + 4 \u003d 12, mikä on paljon enemmän kuin 64: n viides juuri, joka on noin 2,297).

Osa 2 Juurten yksinkertaistaminen ja lisääminen

1. 1 Tunnista ja ryhmittele samanlaiset juuret. Samanlaiset juuret ovat juuria, joilla on samat indikaattorit ja samat radikaalit ilmaisut. Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Kirjoita ensin lauseke uudelleen siten, että juuret, joissa on sama eksponentti, ovat peräkkäisiä.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Kirjoita sitten lauseke uudelleen siten, että juuret, joilla on sama eksponentti ja sama radikaali lauseke, ovat peräkkäisiä.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Yksinkertaista juuria. Hajottaaksesi tämän, hajota (mahdollisuuksien mukaan) radikaalilausekkeet kahdeksi tekijäksi, joista toinen otetaan juuren alla. Tässä tapauksessa otettu lukumäärä ja juurikerroin kerrotaan.
   • Laajenna yllä olevassa esimerkissä 50 x 2 * 25 ja 32 x 2 * 16. 25: stä ja 16: sta voit poimia neliöjuuret (vastaavasti 5 ja 4) ja ottaa pois 5 ja 4 juuren alla, kertomalla ne kertoimilla 2 ja 1. Näin saat yksinkertaistetun lausekkeen: 10√ (2) + 4√ ( 2) + 2√ (3) + 6√ (3) + 3 √ (81)
   • Lukumäärä 81 voidaan muuntaa 3 * 27: ksi, ja lukumäärästä 27 voidaan erottaa kuutiojuuri 3: sta. Tämä numero 3 voidaan poistaa radikaalin alta. Näin saat entistä yksinkertaisemman lausekkeen: 10√ (2) + 4√ (2) + 2√ (3) + 6√ (3) + 3 3 √ (3)
3. 3 Lisää näiden juurten tekijät. Esimerkissämme on samanlaisia \u200b\u200bneliöjuuria 2 (niitä voidaan lisätä) ja samanlaisia \u200b\u200bneliöjuuria 3 (niitä voidaan myös lisätä). Kolmen kuution juurella ei ole sellaisia \u200b\u200bjuuria.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Lopullinen yksinkertaistettu lauseke: 14√ (2) + 8√ (3) + 3 3 √ (3)

• Lausekkeen juurten järjestämiselle ei ole yleisesti hyväksyttyjä sääntöjä. Siksi voit kirjoittaa juuret niiden indikaattorien nousevassa järjestyksessä ja radikaalien ilmaisujen nousevassa järjestyksessä.