Kuinka poistaa logaritmi. Logaritmien ominaisuudet ja esimerkit niiden ratkaisuista

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On muitakin
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka eivät ole kovin ...
Ja niille, jotka ovat "hyvin tasaisia \u200b\u200b...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia tutkinnon suorittaneita. Perinteisesti logaritmien aiheita pidetään vaikeina, käsittämättöminä ja pelottavina. Varsinkin - yhtälöt logaritmilla.

Näin ei missään nimessä ole. Ehdottomasti! Etkö usko minua? Hyvä. Nyt, noin 10 - 20 minuutissa, sinä:

1. Ymmärrä mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponenttiyhtälöitä. Vaikka et ole kuullut niistä mitään.

3. Opi laskea yksinkertaiset logaritmit.

Ja tätä varten sinun on tiedettävä vain kertolasku, mutta kuinka numero kasvatetaan voimaan ...

Minusta tuntuu, että olet epävarma ... No, katso aikaa! Mennä!

Ratkaise ensin seuraava yhtälö päässäsi:

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on muutama mielenkiintoinen sivusto sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua toimintoihin ja johdannaisiin.

Jatkamme logaritmien tutkimusta. Tässä artikkelissa puhumme logaritmien laskeminen, tätä prosessia kutsutaan ottamalla logaritmi... Ensinnäkin käsittelemme logaritmien laskentaa määritelmän mukaan. Seuraavaksi tarkastelemme kuinka logaritmien arvot löytyvät niiden ominaisuuksia käyttämällä. Sen jälkeen keskitymme logaritmien laskemiseen muiden logaritmien alun perin määriteltyjen arvojen perusteella. Viimeinkin opitaan käyttämään logaritmitaulukoita. Koko teoriassa on esimerkkejä yksityiskohtaisista ratkaisuista.

Sivun navigointi.

Lasketaan logaritmit määritelmän mukaan

Yksinkertaisimmissa tapauksissa on mahdollista suorittaa nopeasti ja helposti logaritmin löytäminen määritelmän mukaan... Katsotaanpa tarkemmin miten tämä prosessi tapahtuu.

Sen ydin on edustaa lukua b muodossa a c, jolloin logaritmin määritelmällä luku c on logaritmin arvo. Eli logaritmin löytäminen määritelmän mukaan vastaa seuraavaa yhtälöketjua: log a b \u003d log a a c \u003d c.

Joten logaritmin laskeminen määritelmän mukaan pelkistetään sellaisen lukumäärän c löytämiseksi, että a c \u003d b, ja luku c itsessään on logaritmin haluttu arvo.

Kun otetaan huomioon edellisten kappaleiden tiedot, kun logaritmin merkin alla oleva luku on annettu jossain määrin logaritmin pohjana, voit heti ilmoittaa, mihin logaritmi on yhtä suuri - se on yhtä suuri kuin eksponentti. Otetaan esimerkkejä ratkaisuista.

Esimerkki.

Löydä log 2 2 −3 ja laske myös e 5.3: n luonnollinen logaritmi.

Päätös.

Logaritmin määritelmä sallii heti sanoa, että log 2 2 −3 \u003d −3. Tosiaankin, logaritmin merkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta 2 tehoon −3.

Samoin löydämme toisen logaritmin: Lne 5.3 \u003d 5.3.

Vastaus:

log 2 2 −3 \u003d −3 ja lne 5,3 \u003d 5,3.

Jos logaritmin merkin alla olevaa lukua b ei määritetä logaritmin pohja-asteena, sinun on tarkistettava huolellisesti, voitko tulla luvun b esittämiseen muodossa c. Usein tämä esitys on aivan ilmeinen, varsinkin kun logaritmin merkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta 1 tai 2, tai 3, ...

Esimerkki.

Laske log 5 25, ja.

Päätös.

On helppo nähdä, että 25 \u003d 5 2, tämän avulla voit laskea ensimmäisen logaritmin: log 5 25 \u003d log 5 5 2 \u003d 2.

Siirrymme eteenpäin toisen logaritmin laskemiseen. Numero voidaan esittää 7: n voimana: (katso tarvittaessa). Siten, .

Kirjoita uusi kolmas logaritmi seuraavasti. Voit nyt nähdä sen , mistä päättelemme sen ... Siksi logaritmin määritelmällä .

Lyhyesti, ratkaisu voitaisiin kirjoittaa seuraavasti :.

Vastaus:

log 5 25 \u003d 2, ja .

Kun riittävän suuri luonnollinen luku on logaritmin merkin alla, silloin ei haittaa hajottaa sitä alkeisiksi tekijöiksi. Tämä auttaa usein edustamaan tällaista lukua logaritmin kannan jonkin verran voiman muodossa ja siksi laskemaan tämä logaritmi määritelmän mukaan.

Esimerkki.

Löydä logaritmin arvo.

Päätös.

Jotkin logaritmien ominaisuudet antavat sinun määrittää heti logaritmien arvo. Nämä ominaisuudet sisältävät yhden logaritmin ominaisuuden ja logaritmin ominaisuuden, joka on yhtä suuri kuin kanta: log 1 1 \u003d log a a \u003d 0 ja log a a \u003d log a a \u003d 1. Toisin sanoen, kun logaritmin merkin alla on luku 1 tai luku a, joka on yhtä suuri kuin logaritmin perusta, niin näissä tapauksissa logaritmit ovat yhtä suuret kuin 0 ja 1.

Esimerkki.

Mitkä ovat logaritmit ja lg10 yhtä suuret?

Päätös.

Sittemmin logaritmin määritelmästä se seuraa .

Toisessa esimerkissä luku 10 logaritmimerkin alla on yhtä suuri kuin sen perusta, joten kymmenen desimaalin logaritmi on yhtä, ts. Lg10 \u003d lg10 1 \u003d 1.

Vastaus:

JA lg10 \u003d 1.

Huomaa, että logaritmien laskeminen määritelmän mukaan (josta olemme keskustelleet edellisessä kappaleessa) tarkoittaa yhtälölokin käyttöä a a p \u003d p, joka on yksi logaritmien ominaisuuksista.

Käytännössä, kun logaritmin merkin alla oleva luku ja logaritmin kanta esitetään helposti jonkin luvun voimana, on erittäin kätevää käyttää kaavaa joka vastaa yhtä logaritmien ominaisuuksista. Katsotaanpa esimerkkiä logaritmin löytämisestä tämän kaavan käytön havainnollistamiseksi.

Esimerkki.

Laske logaritmi.

Päätös.

Vastaus:

.

Laskennassa käytetään myös sellaisia \u200b\u200blogaritmien ominaisuuksia, joita ei ole mainittu edellä, mutta puhumme tästä seuraavissa kappaleissa.

Löydät logaritmit muista tunnetuista logaritmeista

Tämän osan tiedot jatkavat aiheita logaritmien ominaisuuksien käytöstä niitä laskettaessa. Mutta tässä tärkein ero on, että logaritmien ominaisuuksia käytetään ilmaisemaan alkuperäinen logaritmi toisella logaritmilla, jonka arvo tunnetaan. Annetaan esimerkki selventämiseksi. Oletetaan, että tiedämme, että log 2 3≈1.584963, niin löydetään esimerkiksi log 2 6 suorittamalla pieni muunnos käyttämällä logaritmin ominaisuuksia: log 2 6 \u003d log 2 (2 3) \u003d log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Annetussa esimerkissä riitti, että käytimme tuotteen logaritmin ominaisuutta. Kuitenkin paljon useammin on käytettävä laajempaa logaritmiominaisuuksien arsenaalia alkuperäisen logaritmin laskemiseksi annettujen suhteen.

Esimerkki.

Laske lokitietokanta 60 27: stä, jos tiedät, että log 60 2 \u003d a ja log 60 5 \u003d b.

Päätös.

Joten meidän on löydettävä loki 60 27. On helppo nähdä, että 27 \u003d 3 3, ja alkuperäinen logaritmi voidaan kirjoittaa uudelleen voiman logaritmin ominaisuudesta johtuen 3 · log 60 3.

Katsotaan nyt, kuinka log 60 3 ilmaistaan \u200b\u200btunnettujen logaritmien perusteella. Kannan yhtä suuri lukumäärän logaritmin ominaisuus antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa yhtälölogi 60 60 \u003d 1. Toisaalta, loki 60 60 \u003d log60 (2 2 3 5) \u003d log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Täten, 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d 1... Siten, log 60 3 \u003d 1−2 log 60 2 - log 60 5 \u003d 1−2 a - b.

Laske lopuksi alkuperäinen logaritmi: log 60 27 \u003d 3 log 60 3 \u003d 3 (1−2 a - b) \u003d 3−6 a - 3 b.

Vastaus:

log 60 27 \u003d 3 (1−2 a - b) \u003d 3−6 a - 3 b.

Erikseen on sanottava kaavan merkityksestä, joka koskee muodon logaritmin uudelle emäkselle siirtymistä ... Sen avulla voit siirtyä logaritmeista minkä tahansa emäksen kanssa logaritmeihin, joilla on tietty emäs, joiden arvot ovat tiedossa tai ne on mahdollista löytää. Yleensä alkuperäisestä logaritmista alkaen siirtymäkaavan mukaan ne menevät logaritmiin yhdessä emäksistä 2, e tai 10, koska näillä emäksillä on logaritmitaulukoita, jotka sallivat niiden arvojen laskemisen tietyllä tarkkuudella. Seuraavassa osiossa näytämme, kuinka tämä tehdään.

Logaritmittaulut, niiden käyttö

Arvioitua logaritmien arvojen laskemista varten voidaan käyttää logaritmitaulut... Yleisimmin käytetty perustaso-logaritmitaulukko, luonnollinen logaritmittaulukko ja desimaalilgaritmitaulukko. Kun työskentelet desimaalijärjestelmässä, on kätevää käyttää kymmenen peruslogaritmin taulukkoa. Sen avulla opimme löytämään logaritmien arvot.

Esitetyn taulukon avulla kymmenentuhannen osuuden tarkkuudella voidaan löytää lukujen desimaalin logaritmien arvot välillä 1000 - 9.999 (kolmen desimaalin tarkkuudella). Analysoimme periaatetta logaritmin arvon löytämiseksi desimaaliloggamittaulukon avulla käyttämällä erityistä esimerkkiä - tämä on selkeämpää. Oletetaan lg1 256.

Desimaaliloggarmit-taulukon vasemmasta sarakkeesta löydät numeron 1.256 kaksi ensimmäistä numeroa, toisin sanoen löytyy 1,2 (tämä numero on ympyröity sinisellä selvyyden vuoksi). Numeron 1.256 kolmas numero (numero 5) löytyy ensimmäisestä tai viimeisestä rivistä kaksoisrivin vasemmalla puolella (tämä numero on ympyröity punaisella). Löydämme alkuperäisen numeron 1.256 (numero 6) neljäs numero ensimmäisellä tai viimeisellä rivillä kaksoisrivin oikealla puolella (tämä numero on ympyröity vihreänä). Nyt löydämme numerot logaritmitaulukon soluista merkityn rivin ja merkittyjen sarakkeiden leikkauspisteessä (nämä numerot on korostettu oranssilla). Merkittyjen lukujen summa antaa logaritmin desimaalin halutun arvon tarkkuudella neljännelle desimaalille, toisin sanoen lg1,236≈0,0969 + 0,0021 \u003d 0,0990.

Onko mahdollista löytää yllä olevan taulukon avulla desimaalin logaritmien arvot numeroille, joilla on enemmän kuin kolme numeroa desimaalin jälkeen ja jotka myös ylittävät alueen 1 - 9 999? Kyllä sinä voit. Oletetaan, kuinka tämä tehdään esimerkillä.

Lasketaan lg102.76332. Ensin sinun täytyy kirjoittaa vakionumero: 102,77332 \u003d 1,0276332 10 2. Sen jälkeen mantissa pitäisi pyöristää kolmanteen desimaalin tarkkuudella, meillä on 1,0276332 10 2 - 1,028 10 2, kun taas alkuperäinen desimaalilugaritmi on suunnilleen yhtä suuri kuin tuloksena olevan luvun logaritmi, ts. otamme lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. Nyt käytämme logaritmin ominaisuuksia: lg1,02810 2 \u003d lg1,028 + lg102 \u003d lg1,028 + 2... Lopuksi löydämme logaritmin arvon lg1.028 desimaaliloggaatit-taulukon mukaan log1.028≈0.0086 + 0.0034 \u003d 0.012. Seurauksena koko logaritmin laskentaprosessi näyttää tältä: log102.76332 \u003d log1.027633210 2 ≈ log1.02810 2 \u003d lg1,028 + lg102 \u003d lg1,028 + 2,0,012 + 2 \u003d 2,012.

Yhteenvetona on syytä huomata, että desimaaliloggamittaulukon avulla voit laskea minkä tahansa logaritmin likimääräisen arvon. Tämän tekemiseksi riittää siirtymäkaavan käyttäminen siirtyäksesi desimaaliloggareihin, löytämään niiden arvot taulukon mukaan ja suorittamaan loput laskelmat.

Lasketaan esimerkiksi log 2 3. Meillä on kaava, jolla siirretään uuteen logaritmin perustaan. Desimaaliloggarmit-taulukosta löydät lg3≈0.4771 ja lg2≈0.3010. Täten, .

Luettelo viitteistä.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja 10 - 11 oppilaitoksen luokalle.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (opas teknisiin kouluihin hakeville).

Suhteessa

ongelma voidaan asettaa etsimään jokin kolmesta numerosta kahdella muulla annetulla. Jos annetaan a ja sitten N löydetään eksponentisaatiolla. Jos N annetaan ja sitten a löydetään uuttamalla voiman juuri x (tai nostamalla voimaan). Mieti nyt tapausta, kun annetaan a ja N, on löydettävä x.

Olkoon luku N positiivinen: luku a on positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi :.

Määritelmä. Numeron N logaritmi kantaan a on eksponentti, jota on korotettava numeron N saamiseksi; logaritmi merkitään

Siten yhtäläisyydessä (26.1) eksponentti löytyy N: n logaritmina kantaan a. Äänitykset

on sama merkitys. Tasa-arvoa (26.1) kutsutaan joskus logaritmien teorian perusidentiteetiksi; itse asiassa se ilmaisee logaritmin käsitteen määritelmän. Tämän määritelmän mukaan logaritmin a perusta on aina positiivinen ja erilainen kuin yksi; logaritmi N on positiivinen. Negatiivisilla numeroilla ja nollalla ei ole logaritmeja. Voidaan osoittaa, että millä tahansa tietyn perustan numerolla on hyvin määritelty logaritmi. Siksi tasa-arvo merkitsee. Huomaa, että tässä tapauksessa ehto on välttämätön, muuten johtopäätöstä ei voida perustella, koska tasa-arvo pätee mihin tahansa arvoihin x ja y.

Esimerkki 1. Etsi

Päätös. Saadaksesi numero, nosta kannatin 2 siten tehoon.

Voit tallentaa, kun ratkaiset tällaisia \u200b\u200besimerkkejä, seuraavassa muodossa:

Esimerkki 2. Etsi.

Päätös. Meillä on

Esimerkeissä 1 ja 2 löysimme helposti halutun logaritmin, joka edustaa logaritmia kannan voimana rationaalisen eksponentin kanssa. Yleisessä tapauksessa, esimerkiksi jne., Tätä ei voida tehdä, koska logaritmilla on irrationaalinen merkitys. Kiinnitetään huomiota yhteen tähän lausuntoon liittyvään kysymykseen. Jaksossa 12 annoimme käsityksen mahdollisuudesta määrittää minkä tahansa todellisen asteen tietyllä positiivisella numerolla. Tämä oli tarpeen ottaa käyttöön logaritmit, jotka yleisesti ottaen voivat olla irrationaalisia numeroita.

Tarkastellaan joitain logaritmien ominaisuuksia.

Ominaisuus 1. Jos lukumäärä ja emäs ovat yhtä suuret, niin logaritmi on yhtä kuin yksi, ja päinvastoin, jos logaritmi on yhtä, niin luku ja emäs ovat yhtä suuret.

Todisteita. Olkoon määritelmällä logaritmi meillä ja mistä

Toisaalta, anna sitten määritelmän mukaan

Ominaisuus 2. Minkä tahansa pohjan logaritmi on nolla.

Todisteita. Logaritmin määritelmän mukaan (minkä tahansa positiivisen emäksen nolla aste on yhtä suuri, katso (10.1)). Täältä

m.o.t.

Päinvastainen on myös totta: jos, niin N \u003d 1. Tosiaankin, meillä on.

Ennen kuin muotoillaan seuraavaa logaritmien ominaisuutta, sanotaan, että sanotaan, että kaksi lukua a ja b sijaitsevat kolmannen luvun c samalla puolella, jos ne molemmat ovat joko suurempia kuin c tai pienempi kuin c. Jos yksi näistä numeroista on suurempi kuin c ja toinen pienempi kuin c, sanotaan, että ne sijaitsevat c: n vastakkaisilla puolilla.

Ominaisuus 3. Jos lukumäärä ja pohja sijaitsevat saman sivulla, logaritmi on positiivinen; jos luku ja perusta ovat yhden vastakkaisilla puolilla, niin logaritmi on negatiivinen.

Ominaisuuden 3 todistus perustuu tosiasiaan, että aste a on suurempi kuin yksi, jos emäs on suurempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen tai emäs on vähemmän kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen. Aste on vähemmän kuin yksi, jos emäs on suurempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen tai emäs on alle yksi ja eksponentti on positiivinen.

Tarkasteltavana on neljä tapausta:

Rajoitamme vain ensimmäisen analysointiin, loput lukija harkitsevat itsenäisesti.

Anna sitten tasa-arvon eksponentin olla negatiivinen tai nolla, siis se on positiivinen, eli vaaditaan.

Esimerkki 3. Selvitä, mitkä seuraavista logaritmeista ovat positiivisia ja mitkä ovat negatiivisia:

Ratkaisu, a) koska numero 15 ja pohja 12 sijaitsevat yhden toisella puolella;

b), koska 1000 ja 2 sijaitsevat yksikön samalla puolella; ei ole välttämätöntä, että emäs on suurempi kuin logaritmi;

c), koska 3.1 ja 0.8 sijaitsevat yksikön vastakkaisilla puolilla;

d); miksi?

e); miksi?

Seuraavia ominaisuuksia 4-6 kutsutaan usein logaritmin säännöiksi: ne antavat joidenkin lukujen logaritmeja tunteessasi löytää tuotteensa logaritmit, osamäärän, kunkin lukumäärän.

Ominaisuus 4 (sääntö tuotteen logaritmin ottamiseksi). Useiden positiivisten lukujen tuloksen logaritmi tietyssä emäksessä on yhtä suuri kuin näiden lukujen samassa kannassa olevien logaritmien summa.

Todisteita. Annetaan positiiviset luvut.

Heidän tuotteensa logaritmiin kirjoitamme yhtälön (26.1), joka määrittelee logaritmin:

Täältä löydämme

Vertaamalla ensimmäisen ja viimeisen lausekkeen eksponentteja saadaan vaadittu tasa-arvo:

Huomaa, että ehto on välttämätön; kahden negatiivisen luvun tuloksen logaritmi on järkevä, mutta tässä tapauksessa saamme

Yleisessä tapauksessa, jos useiden tekijöiden tulos on positiivinen, niin sen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden kertoimien absoluuttisten arvojen logaritmien summa.

Ominaisuus 5 (sääntö osamäärän logaritmin laskemiseksi). Positiivisten lukujen osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan logaritmien välinen ero samalla pohjalla. Todisteita. Olemme jatkuvasti löytää

m.o.t.

Ominaisuus 6 (tutkinto-logaritmin ottamista koskeva sääntö). Positiivisen luvun eksponentin logaritmi on kyseisen luvun logaritmi kertaa eksponentti.

Todisteita. Kirjoitakaamme uudelleen numeron perustunnus (26.1):

m.o.t.

Seuraus. Positiivisen luvun juuren logaritmi on yhtä suuri kuin juurilukun logaritmi jaettuna juuren eksponentilla:

Tämän seurauksen pätevyys voidaan todistaa esittelemällä miten ja käyttämällä omaisuutta 6.

Esimerkki 4. Logaritmi perustaa a:

a) (oletetaan, että kaikki määrät b, c, d, e ovat positiivisia);

b) (oletetaan, että).

Ratkaisu, a) Tässä lausekkeessa on kätevä siirtää murtovoimat:

Yhtälöiden (26,5) - (26,7) perusteella voimme nyt kirjoittaa:

Huomaa, että operaatiot ovat yksinkertaisempia lukujen logaritmeissa kuin itse numeroissa: kun luvut kerrotaan, niiden logaritmit lisätään, kun ne jaetaan, ne vähennetään jne.

Siksi logaritmit ovat löytäneet sovelluksia laskennallisessa käytännössä (katso kohta 29).

Logaritmille käänteistä toimintoa kutsutaan potensoitumiseksi, nimittäin: potensointi on toimenpide, jolla tämä luku saadaan luvun tietystä logaritmista. Pohjimmiltaan potensointi ei ole mitään erityistoimintaa: se pohjautuu nostamaan kanta voimaan (yhtä suuri kuin luvun logaritmi). Termiä "voimistaminen" voidaan pitää synonyyminä termin "valtaan nostaminen" kanssa.

Voimistamisessa on käytettävä logaritmisääntöihin päinvastaisia \u200b\u200bsääntöjä: korvata logaritmien summa tuotteen logaritmilla, logaritmien välinen ero - kertoimen logaritmi jne. astetta logaritmin merkin alla.

Esimerkki 5. Etsi N, jos sen tiedetään

Päätös. Äskettäin vahvistetun potentiaalisäännön yhteydessä tekijät 2/3 ja 1/3, jotka ovat tämän tasa-arvon oikealla puolella olevien logaritmien merkien edessä, siirretään eksponentteihin näiden logaritmien merkien alla; saada

Nyt korvaamme logaritmien eron osamäärän logaritmilla:

viimeisen murto-arvon saamiseksi tässä tasa-arvoketjussa vapautimme edellisen murto-osan irrationaalisuudesta nimittäjessä (s. 25).

Ominaisuus 7. Jos kanta on suurempi kuin yksi, niin suuremmalla numerolla on suurempi logaritmi (ja pienemmässä on pienempi), jos kanta on vähemmän kuin yksi, niin suurella numerolla on pienempi logaritmi (ja pienempi on suurempi).

Tämä ominaisuus on myös muotoiltu sääntöksi epätasa-arvojen logaritmin ottamiseksi, joiden molemmat puolet ovat positiivisia:

Kun otetaan eriarvoisuuden logaritmi emäksestä, joka on suurempi kuin yksi, epätasa-arvon merkki pysyy, ja kun logaritmi otetaan emäkseen alle yhden, eriarvon merkki käännetään (katso myös kohta 80).

Todiste perustuu ominaisuuksiin 5 ja 3. Tarkastellaan tapausta, jolloin Jos, sitten ja ottaen logaritmi, saadaan

(a ja N / M sijaitsevat yhtenäisyyden samalla puolella). Täältä

Seuraavassa tapauksessa lukija selvittää sen itse.

B: n (b\u003e 0) logaritmi perustaa a (a\u003e 0, a ≠ 1) Onko eksponentti, johon numeroa on nostettava saadaksesi b.

Logaritmi b: stä emäkseen 10 voidaan kirjoittaa muodolla lg (b), ja logaritmikanta e (luonnollinen logaritmi) on ln (b).

Käytetään usein ratkaistaessa logaritmeihin liittyviä ongelmia:

Logaritmien ominaisuudet

Niitä on neljä logaritmien ominaisuudet.

Olkoon a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 ja y\u003e 0.

Ominaisuus 1. Tuotteen logaritmi

Tuotteen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa:

kirjaa a (x ⋅ y) \u003d kirjaa x + kirjaa y

Ominaisuus 2. Kertoimen logaritmi

Määräosan logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien ero:

kirjaa a (x / y) \u003d kirjaa x - kirjaa y

Omaisuus 3. Tutkinnon logaritmi

Tutkimuksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmin voiman tulo:

Jos logaritmin kanta on vallassa, toinen kaava toimii:

Ominaisuus 4. Juuren logaritmi

Tämä ominaisuus voidaan saada tutkinnon logaritmin ominaisuudesta, koska n: nnen asteen juuri on yhtä suuri kuin aste 1 / n:

Kaava siirtymiselle logaritmista yhdessä emäksessä logaritmiin toisessa emäksessä

Tätä kaavaa käytetään myös usein ratkaistaessa erilaisia \u200b\u200blogaritmien ongelmia:

Erityistapaus:

Logaritmien (epätasa-arvojen) vertailu

Oletetaan, että meillä on 2 funktiota f (x) ja g (x) logaritmien alla samoilla emäksillä ja niiden välillä on epätasa-arvomerkki:

Niiden vertaamiseksi sinun on ensin tarkasteltava logaritmien perustaa a:

• Jos a\u003e 0, niin f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Jos 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kuinka ratkaista ongelmat logaritmien avulla: esimerkkejä

Logaritmi-tehtävät sisällytetty matematiikan USE-luokkaan luokan 11 tehtävässä 5 ja tehtävässä 7, löydät tehtäviä ratkaisuineen verkkosivuillamme vastaavissa kohdissa. Myös logaritmitehtäviä löytyy matematiikan tehtävien joukosta. Kaikki esimerkit löytyvät sivustohausta.

Mikä on logaritmi

Logaritmeja on aina pidetty vaikeana aiheena lukion matematiikassa. Logaritmille on monia erilaisia \u200b\u200bmääritelmiä, mutta useimmat oppikirjat käyttävät jotenkin vaikeimpia ja valitettavia.

Määrittelemme logaritmin yksinkertaisesti ja selvästi. Luo taulukko:

Joten meillä on edessämme kaksi voimaa.

Logaritmit - ominaisuudet, kaavat, kuinka ratkaista

Jos otat numeron alariviltä, \u200b\u200blöydät helposti asteen, johon sinun on nostettava kaksi saadaksesi numero. Esimerkiksi saadaksesi 16 sinun on nostettava kaksi neljänteen voimaan. Ja saadaksesi 64, sinun on nostettava kaksi kuudenteen voimaan. Tämä näkyy taulukossa.

Ja nyt - itse asiassa, logaritmin määritelmä:

base a argumentista x on teho, jolle numeroa on nostettava, jotta saadaan luku x.

Huomautus: kirjaa a x \u003d b, missä a on emäs, x on argumentti, b on itse asiassa mikä logaritmi.

Esimerkiksi 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (log-kanta 2/8 on kolme, koska 2 3 \u003d 8). Samalla menestyslokeilla 2 64 \u003d 6, koska 2 6 \u003d 64.

Kutsutaan operaatiota numeron logaritmin löytämiseksi tietyssä kannassa. Lisäämme siis uuden rivin taulukkoomme:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Valitettavasti kaikkia logaritmeja ei lasketa niin helposti. Yritä esimerkiksi löytää log 2 5. Lukua 5 ei ole taulukossa, mutta logiikka sanoo, että logaritmi on jossain segmentissä. Koska 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sellaisia \u200b\u200bnumeroita kutsutaan irrationaaliksi: desimaalipilkun jälkeisiä numeroita voidaan kirjoittaa loputtomiin, eivätkä ne koskaan toistu. Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, on parempi jättää se tällä tavalla: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

On tärkeää ymmärtää, että logaritmi on lauseke, jossa on kaksi muuttujaa (emäs ja argumentti). Aluksi monet ovat hämmentyneitä siitä, missä perusta on ja missä on argumentti. Katsele kuvaa vain välttääksesi ärsyttäviä väärinkäsityksiä:

Edessämme ei ole muuta kuin logaritmin määritelmä. Muistaa: logaritmi on tutkinto, johon pohja on nostettava argumentin saamiseksi. Se on perusta, joka nostetaan voimaan - kuvassa se on korostettu punaisella. Osoittautuu, että jalusta on aina alareunassa! Kerron tämän upean säännön oppilailleni aivan ensimmäisessä oppitunnissa - eikä hämmennystä aiheudu.

Kuinka laskea logaritmit

Selvytimme määritelmän - on vielä opittava laskemaan logaritmeja, ts. päästä eroon lokimerkistä. Aluksi huomaamme, että määritelmästä seuraa kaksi tärkeää tosiasiaa:

1. Argumentin ja radix: n on aina oltava suurempi kuin nolla. Tämä johtuu asteen määritelmästä rationaalisella indikaattorilla, johon logaritmin määritelmä pienenee.
2. Pohjan on oltava erilainen kuin yksi, koska pohja on edelleen yksi missä tahansa määrin. Tämän vuoksi kysymys "missä määrin yksikköä on nostettava saadakseen kaksi" on merkityksetön. Ei ole sellaista tutkintoa!

Tällaisia \u200b\u200brajoituksia kutsutaan voimassa olevien arvojen alue (ODZ). Osoittautuu, että logaritmin ODZ näyttää tältä: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Huomaa, että lukulle b (logaritmin arvo) ei ole rajoituksia. Esimerkiksi, logaritmi voi hyvinkin olla negatiivinen: log 2 0,5 \u003d −1, koska 0,5 \u003d 2 −1.

Nyt harkitsemme kuitenkin vain numeerisia lausekkeita, joissa sinun ei tarvitse tietää logaritmin ODV: tä. Tehtävien kääntäjät ovat jo ottaneet huomioon kaikki rajoitukset. Mutta kun logaritmiset yhtälöt ja epätasa-arvot tulevat sisään, DHS-vaatimuksista tulee pakollisia. Tosiasiassa perusteessa ja väitteessä voi olla erittäin vahvoja rakenteita, jotka eivät välttämättä vastaa yllä olevia rajoituksia.

Katsotaanpa nyt logaritmien laskemisen yleistä kaavaa. Se koostuu kolmesta vaiheesta:

1. Esitä radix a ja argumentti x tehona, jonka pienin mahdollinen radix on suurempi kuin yksi. Matkan varrella on parempi päästä eroon desimaalin murto-osista;
2. Ratkaise muuttujan b yhtälö: x \u003d a b;
3. Tuloksena oleva luku b on vastaus.

Siinä kaikki! Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, se nähdään jo ensimmäisessä vaiheessa. Vaatimus, että kannan on oltava yhtä suurempi, on erittäin merkityksellinen: tämä vähentää virheen todennäköisyyttä ja yksinkertaistaa huomattavasti laskelmia. Samoin desimaalimuotoilla: jos käännät ne heti tavallisiksi, virheitä tulee monta kertaa vähemmän.

Katsotaan kuinka tämä järjestelmä toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 5 25

1. Esitetään perusta ja argumentti viiden voimana: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 52;

Kootaan ja ratkaistaan \u200b\u200byhtälö:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Vastaus: 2.

Tehtävä. Laske logaritmi:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 4 64

1. Esitetään emäs ja argumentti kahden voimana: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 26;
2. Kootaan ja ratkaistaan \u200b\u200byhtälö:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Vastaus: 3.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 16 1

1. Esitetään emäs ja argumentti kahden voimana: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 20;
2. Kootaan ja ratkaistaan \u200b\u200byhtälö:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Vastaus: 0.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 7 14

1. Esitämme perustan ja argumentin seitsemän voimana: 7 \u003d 7 1; 14 ei ole esitetty seitsemänä voimana, koska 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Edellisestä kappaleesta seuraa, että logaritmia ei oteta huomioon;
3. Vastaus ei ole muutos: loki 7 14.

Pieni huomautus viimeisestä esimerkistä. Kuinka varmistat, että numero ei ole toisen numeron tarkka voima? Se on hyvin yksinkertaista - tekijä vain tärkeimpiä tekijöitä. Jos laajenemisessa on ainakin kaksi eri tekijää, luku ei ole tarkka teho.

Tehtävä. Selvitä, ovatko numeron tarkat voimat: 8; 48; 81; 35; neljätoista.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tarkka tutkinto, koska on vain yksi tekijä;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - ei ole tarkka aste, koska tekijöitä on kaksi: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3,4 - tarkka aste;
35 \u003d 7,5 - taas ei ole tarkka tutkinto;
14 \u003d 7 2 - jälleen ei tarkka tutkinto;

Huomaa myös, että alkuluvut ovat aina itsensä tarkkoja voimia.

Desimaalilogitmi

Jotkut logaritmit ovat niin yleisiä, että niillä on erityinen nimi ja nimitys.

x: sta on emäksen 10 logaritmi, ts. teho, johon numero 10 on nostettava saadaksesi luku x. Nimitys: lg x.

Esimerkiksi lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - jne.

Tästä lähtien, kun ilmaisu, kuten "Etsi lg 0.01", ilmestyy oppikirjaan, sinun pitäisi tietää: tämä ei ole kirjoitusvirhe. Tämä on desimaaliloggaritmi. Jos et kuitenkaan ole tottunut tällaiseen nimeämiseen, voit aina kirjoittaa sen uudelleen:
log x \u003d log 10 x

Kaikki, mikä on totta tavallisille logaritmeille, pätee myös desimaaliin.

Luonnollinen logaritmi

On toinenkin logaritmi, jolla on oma merkinnänsä. Tavallaan se on jopa tärkeämpi kuin desimaali. Tämä on luonnollinen logaritmi.

argumentin x arvo on logaritmikanta e, ts. teho, johon numeroa e on nostettava saadaksesi luku x. Nimitys: ln x.

Monet kysyvät: mikä muu on numero e? Tämä on irrationaalinen luku, sen tarkkaa merkitystä ei löydy ja kirjoiteta. Annan vain ensimmäiset luvut:
e \u003d 2 718281828459 ...

Emme tutkia mitä tämä numero on ja miksi sitä tarvitaan. Muista vain, että e on luonnollisen logaritmin perusta:
ln x \u003d log e x

Siten, ln e \u003d 1; ln2 \u003d 2; ln 16 \u003d 16 - jne. Toisaalta ln 2 on irrationaalinen luku. Yleensä minkä tahansa rationaalisen luvun luonnollinen logaritmi on irrationaalinen. Paitsi tietenkin yksiköt: ln 1 \u003d 0.

Luonnollisten logaritmien osalta kaikki säännöt ovat totta, jotka pätevät tavallisiin logaritmiin.

Katso myös:

Logaritmi. Logaritmin ominaisuudet (logaritmin teho).

Kuinka edustaa numeroa logaritmina?

Käytämme logaritmin määritelmää.

Logaritmi on eksponentti, johon pohja on nostettava, jotta luku saadaan logaritmin merkin alapuolelle.

Joten jonkin luvun c esittämiseksi logaritmin muodossa kannalle a on välttämätöntä, että teho asetetaan samalla kannalla kuin logaritmin kanta logaritmin merkin alle ja kirjoitetaan tämä luku c eksponenttiin:

Logaritmin muodossa voidaan esittää mitä tahansa mitä tahansa lukua - positiivista, negatiivista, kokonaista, murto-osaa, rationaalista, irrationaalista:

Jotta a ja c ei sekoittuisi kontrollin tai tentin stressaavissa olosuhteissa, voit käyttää seuraavaa sääntöä muistaaksesi:

mikä on alapuolella menee alas, mikä on yläpuolella menee ylös.

Voit esimerkiksi edustaa numeroa 2 logaritmina pohjaan 3.

Meillä on kaksi numeroa - 2 ja 3. Nämä numerot ovat perusta ja eksponentti, jotka kirjoitamme logaritmin alle. Jää vielä päättää, mitkä näistä numeroista on kirjoitettava alas tehon kantaan ja mitkä ylöspäin eksponenttiin.

Pohja 3 logaritmissa on alareunassa, mikä tarkoittaa, että kun edustamme kahta logaritmin muodossa kannalle 3, 3 kirjoitetaan myös pohjaan.

2 seisoo kolmen yläpuolella. Ja kirjoittamalla kahden voiman, me kirjoitamme sen kolmen yläpuolelle, toisin sanoen eksponenttiin:

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

logaritmit

Logaritmi positiivinen luku b syystä missä a\u003e 0, a ≠ 1, kutsutaan eksponendiksi, johon numero on nostettava , Saada haltuunsa b.

Määritelmä logaritmi voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Tämä tasa-arvo pätee b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1. Sitä kutsutaan yleensä logaritminen identiteetti.
Toimenpide, jolla löydetään luvun logaritmi, kutsutaan ottamalla logaritmi.

Logaritmin ominaisuudet:

Tuotteen logaritmi:

Jako-osuuden logaritmi:

Logaritmin kannan korvaaminen:

Tutkinnon logaritmi:

Juuren logaritmi:

Tehon logaritmi:

Desimaaliluku ja luonnolliset logaritmit.

Desimaalilogitmi numerot soittavat tämän numeron 10 peruslogaritmiin ja kirjoittavat & nbsp lg b
Luonnollinen logaritmi numerot kutsuvat numeron peruslogaritmia emissä e - irrationaalinen luku, suunnilleen yhtä suuri kuin 2,7. Tässä tapauksessa he kirjoittavat ln b.

Muut huomautukset algebrasta ja geometriasta

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia numeroita, täällä on sääntöjä, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on välttämätöntä tuntea - mitään vakavaa logaritmista ongelmaa ei voida ratkaista ilman niitä. Lisäksi heitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia samoilla emäksillä: loki x ja loki y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. loki x + loki y \u003d loki (x y);
2. kirjaa x - kirjaa a y \u003d kirjaa a (x: y).

Joten, logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa, että tässä on - samat perusteet... Jos syyt ovat erilaisia, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei lasketa (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katsokaa esimerkkejä - ja katso:

Loki 6 4 + log 6 9.

Koska logaritmien emäkset ovat samat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 - log 2 3.

Emäkset ovat samat, käytämme erotuskaavaa:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 - log 3 5.

Jälleen emäkset ovat samat, joten meillä on:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Kuten näette, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnoksien jälkeen saadaan täysin normaalit luvut. Monet testit perustuvat tähän tosiseikkaan. Mutta mitä kontrollia - tällaisia \u200b\u200bilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä muuttumattomana) - tarjotaan tentissä.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Nyt vaikeutetaan tehtävää hieman. Entä jos logaritmin perusta tai argumentti perustuu tutkintoon? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan poistaa logaritmin merkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se kaikki samoin - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskennan määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODL noudatetaan: a\u003e 0, a a 1, x\u003e 0. Ja vielä yksi asia: oppia käyttämään kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. on mahdollista syöttää logaritmin merkin eteen olevat numerot itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6.

Päästämme eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen merkitys:

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka perusta ja argumentti ovat tarkkoja voimia: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki tarvitsee selvennystä. Missä logaritmit katosivat? Viime aikoihin saakka työskentelemme vain nimittäjän kanssa. Esittelimme siellä seisovan logaritmin perustan ja väitteen asteen muodossa ja toi esiin indikaattorit - saatiin "kolmen tarinan" murto-osa.

Katsotaan nyt perusosaa. Laskuri ja nimittäjä sisältävät saman numeron: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme peruuttaa murto-osan - nimittäjä pysyy 2/4. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää laskuriin, mikä tehtiin. Tuloksena oli vastaus: 2.

Muutto uuteen säätiöön

Puhuessaan logaritmien lisäämisen ja vähentämisen säännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla emäksillä. Entä jos syyt ovat erilaisia? Entä jos ne eivät ole saman numeron tarkkoja voimia?

Kaavat uudelle säätiölle siirtymiseksi tulevat pelastamaan. Olkaamme muotoilla ne lauseen muodossa:

Annetaan logaritmiloki a x. Sitten minkä tahansa luvun c ollessa siten, että c\u003e 0 ja c ≠ 1, seuraavaa tasa-arvoa:

Erityisesti, jos asetamme c \u003d x, saadaan:

Toisesta kaavasta seuraa, että on mahdollista vaihtaa emäs ja logaritmin argumentti, mutta koko lauseke on "käänteinen", ts. logaritmi ilmestyy nimittäjään.

Näitä kaavoja esiintyy harvoin tavanomaisissa numeerisissa lausekkeissa. On mahdollista arvioida, kuinka mukavat ne ovat vain ratkaistaessa logaritmisia yhtälöitä ja epätasa-arvoisuuksia.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei yleensä ratkaista, paitsi siirtymällä uuteen säätiöön. Mieti muutama näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkkoja asteita. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2 log 2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tuote ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja käsittelemme sitten logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 · lg 3.

Ensimmäisen logaritmin perusta ja argumentti ovat tarkkoja asteita. Kirjoita tämä ja päästä eroon mittareista:

Nyt päästämme eroon desimaalin logaritmista siirtymällä uuteen tukikohtaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein vaaditaan ratkaisemisprosessissa edustamaan numeroa logaritmina annetulle emäkselle.

Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numerosta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla täysin mikä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafraasinen määritelmä. Sitä kutsutaan:

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos luku b nostetaan sellaiseen tehoon, että numero b tälle voimalle antaa luvun a? Se on totta: saat juuri tämän numeron a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" sen päällä.

Kuten kaavat uudelle emäkselle siirtymiselle, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen merkitys:

Huomaa, että log 25 64 \u003d log 5 8 - neliö vain perusta ja logaritmi argumentti. Ottaen huomioon säännöt astetta kertomiseksi samalla pohjalla saadaan:

Jos joku ei ole tiedossa, se oli todellinen ongelma tentistä 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat logaritmin määritelmän seurauksia. Heitä kohtataan jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edistyneille" opiskelijoille.

1. loki a \u003d 1 on. Muista lopullisesti: logaritmi mihin tahansa emäkseen a tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loki a \u003d 0 on. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska 0 \u003d 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Varmista, että käytät niitä käytännössä! Lataa huijauskortti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Kuten tiedät, kertomalla lausekkeita voimilla, niiden eksponentit summautuvat aina yhteen (a b * a c \u003d a b + c). Tämän matemaattisen lain johdetti Archimedes, ja myöhemmin, 8. vuosisadalla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaisista indikaattoreista. He olivat niitä, jotka palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän toiminnon käytöstä löytyy melkein missä tahansa, missä vaaditaan yksinkertaistamaan vaivalloista kertomista yksinkertaisella lisäyksellä. Jos vietät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitkä logaritmit ovat ja kuinka työskennellä heidän kanssaan. Yksinkertaisella ja helposti saatavilla olevalla kielellä.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log ab \u003d c, ts. Minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (ts. Minkä tahansa positiivisen) "b" logaritmi, joka perustuu sen pohjaan "a" on teho "c", johon kanta "a" on nostettava, niin että lopulta saada arvo "b". Analysoidaan logaritmi esimerkkien avulla, esimerkiksi on lausekelogi 2 8. Kuinka löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun on löydettävä sellainen tutkinto, että 2: sta haluttuun asteeseen saadaan 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saadaan numero 3! Ja oikein, koska 2 3: n voimalla antaa numeron 8 vastauksessa.

Erilaiset logaritmit

Tämä aihe näyttää monille oppilaille ja opiskelijoille monimutkainen ja käsittämätön, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. Logaritmisia lausekkeita on kolme erillistä tyyppiä:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa pohja on Eulerin luku (e \u003d 2,7).
2. Desimaali a, pohja 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi perustaa a\u003e 1.

Jokainen niistä ratkaistaan \u200b\u200btavanmukaisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistäminen ja myöhempi pelkistäminen yhdeksi logaritmiksi käyttämällä logaritmisia lauseita. Jotta saadaan logaritmien oikeat arvot, sinun tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys niitä ratkaistaessa.

Säännöt ja eräät rajoitukset

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomiksi, ts. Ne eivät ole neuvoteltavissa ja ovat totta. Esimerkiksi, et voi jakaa numeroita nolla, ja on myös mahdotonta erottaa negatiivisten lukujen tasaista juuria. Logaritmeilla on myös omat säännöt, joita noudattaen voit helposti oppia työskentelemään jopa pitkillä ja tilavilla logaritmisilla lauseilla:

• emäksen "a" on aina oltava suurempi kuin nolla eikä samaan aikaan saa olla yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" ovat missä tahansa määrin aina yhtä suuret kuin niiden arvot;
• jos a\u003e 0, niin a b\u003e 0, osoittautuu, että "c": n on myös oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Esimerkiksi, koska tehtävänä on löytää vastaus yhtälöön 10 x \u003d 100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava sellainen teho, nostamalla numero kymmeneen, johon saamme 100. Tämä tietysti 10 2 \u003d 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmiseksi. Saamme log 10 100 \u003d 2. Logaritmeja ratkaistaessa kaikki toiminnot melkein lähentyvät löytääkseen voiman, jolle on tarpeen lisätä logaritmin perusta, jotta saadaan annettu luku.

Jotta tuntemattoman tutkinnon arvo määritetään tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astettaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näette, jotkut eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tiedät kertolaskurin. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää jopa ne, jotka eivät tiedä mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (pohja a), ylimmässä numerorivissä on teho c, jolle numero a kohotetaan. Solujen leikkauspisteessä määritetään lukujen arvot, jotka ovat vastaus (a c \u003d b). Otetaan esimerkiksi ensimmäinen solu, jolla on numero 10, ja neliöitä se, saat arvon 100, joka on merkitty kahden solun leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja eriarvoisuudet

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mikä tahansa matemaattinen numeerinen lauseke voidaan kirjoittaa logaritmisena yhtälönä. Esimerkiksi 3 4 \u003d 81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 - emäs 3, joka on yhtä suuri kuin neljä (log 3 81 \u003d 4). Negatiivisille voimille säännöt ovat samat: 2 -5 \u003d 1/32, kirjoitamme sen logaritmina, saamme log 2 (1/32) \u003d -5. Yksi mielenkiintoisimmista matematiikan alueista on aihe "logaritmit". Tarkastellaan esimerkkejä ja yhtälöratkaisuja hieman alapuolella heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, mitä epätasa-arvoisuudet näyttävät ja kuinka erottaa ne yhtälöistä.

Seuraavan muodon lauseke annetaan: log 2 (x-1)\u003e 3 - se on logaritminen epätasa-arvo, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin merkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta arvoa: vaadittavan luvun logaritmi kahden perustaksi on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmisten yhtälöiden ja epätasa-arvojen välillä on se, että yhtälöt logaritmeilla (esimerkiksi logaritmi 2 x \u003d √9) merkitsevät vastauksessa yhtä tai useampaa erityistä numeerista arvoa, kun taas eriarvoisuuden ratkaiseminen määrittelee sekä sallittujen arvojen alueen että pisteet rikkoa tämä toiminto. Seurauksena on, että vastaus ei ole yksinkertainen joukko erillisiä numeroita, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numero- tai sarjasarja.

Peruslauseet logaritmeista

Kun ratkaistaan \u200b\u200bprimitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Kuitenkin, kun kyse on logaritmisista yhtälöistä tai epätasa-arvoista, ensinnäkin on välttämätöntä ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikkia logaritmien perusominaisuuksia. Tutustumme esimerkkeihin yhtälöistä myöhemmin, analysoidaan ensin kutakin ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Pääidentiteetti näyttää tältä: logaB \u003d B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuotteen logaritmi voidaan esittää seuraavassa kaavassa: log d (s 1 * s 2) \u003d log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa edellytys on: d, s 1 ja s 2\u003e 0; a ≠ 1. Voit antaa todistuksen tästä logaritmikaavasta, esimerkkeinä ja ratkaisuna. Olkoon log kuin 1 \u003d f 1 ja log kuten 2 \u003d f 2, sitten a f1 \u003d s 1, a f2 \u003d s 2. Saadaan, että s 1 * s 2 \u003d a f1 * a f2 \u003d a f1 + f2 (voimien ominaisuudet) ) ja sitten määritelmän mukaan: kirjaa a (s 1 * s 2) \u003d f 1 + f 2 \u003d kirjaa a1 + loki muodossa 2, mikä oli mitä todistamiseen vaadittiin.
3. Kertoimen logaritmi näyttää tältä: log a (s 1 / s 2) \u003d log a s 1 - log a s 2.
4. Lause kaavan muodossa on seuraava: log a q b n \u003d n / q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten tutkintojen ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka lepää luonnollisissa postuloissa. Katsotaanpa todisteita.

Olkoon loki a b \u003d t, osoittautuu, että t \u003d b. Jos nostamme molemmat osat tehoon m: a tn \u003d b n;

mutta koska a tn \u003d (a q) nt / q \u003d b n, kirjaa siis q b n \u003d (n * t) / t, kirjaa sitten q b n \u003d n / q kirjaa a b. Lause todistetaan.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuuksista

Yleisimmät logaritmi-ongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epätasa-arvoista. Niitä löytyy melkein kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan tenttien pakolliseen osaan. Yliopistoon pääsyyn tai matematiikan pääsykokeen suorittamiseen on tiedettävä, miten nämä tehtävät ratkaistaan \u200b\u200boikein.

Valitettavasti ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai kaavaa logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi, mutta tiettyjä sääntöjä voidaan soveltaa jokaiseen matemaattiseen epätasa-arvoon tai logaritmiseen yhtälöön. Ensinnäkin on selvitettävä, onko mahdollista ilmaisua yksinkertaistaa vai tuoda se yleiseen muotoon. Voit yksinkertaistaa pitkiä logaritmisia lausekkeita, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustumme heihin pian.

Kun ratkaistaan \u200b\u200blogaritmisia yhtälöitä, on tarpeen selvittää, millainen logaritmi on edessämme: esimerkki lausekkeesta voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Niiden ratkaisu laskee siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa sinun on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmisten ongelmien ratkaisemisesta.

Kuinka käyttää logaritmikaavoja: esimerkkeinä ja ratkaisuina

Katsotaanpa esimerkkejä päälauseiden käytöstä logaritmeissa.

1. Tuotteen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen hajottaa suuri luku luvun b yksinkertaisemmiksi tekijöiksi. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 \u003d log 2 (4 * 128) \u003d log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 \u003d log 2 2 2 3 \u003d 3/2 log 2 2 \u003d 1,5 - kuten näet, soveltamalla logaritmin voiman neljättä ominaisuutta, oli mahdollista ratkaista näennäisesti monimutkainen ja ratkaisematon lauseke. Sinun tarvitsee vain kertoa perusta tekijöiksi ja ottaa sitten tehoarvot ulos logaritmin merkistä.

Tehtävät tentistä

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, etenkin paljon logaritmisia ongelmia tentissä (valtionkoe kaikille tutkinnon suorittaneille). Yleensä nämä tehtävät ovat läsnä paitsi osassa A (kokeen helpoin testiosa) myös osassa C (vaikeimmissa ja laajimmissa tehtävissä). Tentti edellyttää tarkkoja ja täydellisiä tietoja aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkkejä ja ratkaisuja ongelmiin otetaan tentin virallisista versioista. Katsotaan kuinka nämä tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) \u003d 4. Ratkaisu:
kirjoita lauseke uudelleen yksinkertaistamalla sitä hieman log 2 (2x-1) \u003d 2 2, logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 \u003d 2 4, siis 2x \u003d 17; x \u003d 8,5.

• On parasta muuttaa kaikki logaritmit yhdeksi emäkseksi, jotta ratkaisu ei ole hankalaa ja hämmentävää.
• Kaikki logaritmin merkin alla olevat lausekkeet osoitetaan positiivisiksi, joten kun lausekkeen eksponentti otetaan kertoimella, joka seisoo logaritmin merkin alla ja pohjana, logaritmin alle jäävän lausekkeen on oltava positiivinen.