Kuinka ottaa luvun luonnollinen logaritmi. Luonnollisten logaritmien ominaisuudet: kuvaaja, perusta, funktiot, raja, kaavat ja toimialue

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On muitakin
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka eivät ole kovin ...
Ja niille, jotka ovat "hyvin tasaisia \u200b\u200b...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia tutkinnon suorittaneita. Perinteisesti logaritmien aiheita pidetään vaikeina, käsittämättöminä ja pelottavina. Varsinkin - yhtälöt logaritmilla.

Näin ei missään nimessä ole. Ehdottomasti! Etkö usko minua? Hyvä. Nyt, noin 10 - 20 minuutissa, sinä:

1. Ymmärrä mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponenttiyhtälöitä. Vaikka et ole kuullut niistä mitään.

3. Opi laskea yksinkertaiset logaritmit.

Ja tätä varten sinun on tiedettävä vain kertolasku, mutta kuinka numero kasvatetaan voimaan ...

Minusta tuntuu, että olet epävarma ... No, katso aikaa! Mennä!

Ratkaise ensin seuraava yhtälö päässäsi:

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on muutama mielenkiintoinen sivusto sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua toimintoihin ja johdannaisiin.

1.1. Asteen määrittäminen kokonaisluvun eksponenttille

X1 \u003d X
X2 \u003d X * X
X3 \u003d X * X * X
…
X N \u003d X * X *… * X - N kertaa

1.2. Nolla tutkinto.

Määritelmän mukaan on yleisesti hyväksytty, että minkä tahansa luvun nolla aste on 1:

1.3. Negatiivinen tutkinto.

X-N \u003d 1 / X N

1.4. Murtoluku, juuri.

X 1 / N \u003d X: nnennen juuren nimi

Esimerkiksi: X 1/2 \u003d √X.

1.5. Kaava voimien lisäämiseksi.

X (N + M) \u003d X N * X M

1.6 Kaava voimien vähentämiseen.

X (N-M) \u003d X N / X M

1.7. Kaava kertoa astetta.

X N * M \u003d (X N) M

1.8. Kaava murto-osan nostamiseksi valtaan.

(X / Y) N \u003d X N / YN

2. Numero e.

E-arvo on yhtä suuri kuin seuraava raja:

E \u003d lim (1 + 1 / N), kuten N → ∞.

17 numeron tarkkuudella numero e on 2.71828182845904512.

3. Eulerin tasa-arvo.

Tämä tasa-arvo yhdistää viisi numeroa, joilla on erityinen rooli matematiikassa: 0, 1, luku e, luku pi, kuvitteellinen yksikkö.

E (i * pi) + 1 \u003d 0

4. Eksponentiaalinen funktio exp (x)

exp (x) \u003d e x

5. Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Eksponentiaalisella funktiolla on huomattava ominaisuus: funktion johdannainen on yhtä suuri kuin itse eksponentiaalinen funktio:

(exp (x)) "\u003d exp (x)

6. Logaritmi.

6.1. Logaritmifunktion määritelmä

Jos x \u003d b y, niin logaritmi on funktio

Y \u003d log b (x).

Logaritmi näyttää asteen, johon lukua on nostettava - logaritmin (b) perusta, jotta saadaan tietty numero (X). Logaritmifunktio määritetään X: lle, joka on suurempi kuin nolla.

Esimerkiksi: Loki 10 (100) \u003d 2.

6.2. Desimaalilogitmi

Tämä on logaritmin perusta 10:

Y \u003d log 10 (x).

Sitä merkitään lokilla (x): Loki (x) \u003d Loki 10 (x).

Esimerkki desimaalin logaritmin käytöstä on desibeli.

6.3. Desibeli

Kohde on korostettu erillisellä sivulla Decibel

6.4. Binaarilogitmi

Tämä on logaritmin perusta 2:

Y \u003d log 2 (x).

Lg (x): lg: Lg (x) \u003d Log 2 (X)

6.5. Luonnollinen logaritmi

Tämä on logaritmin perusta e:

Y \u003d Loki e (x).

Sitä merkitään Ln (x): Ln (x) \u003d Loki e (X)
Luonnollinen logaritmi on käänteinen eksponentiaalifunktiolle exp (X).

6.6. Ominaispiirteet

Loki a (1) \u003d 0
Loki a (a) \u003d 1

6.7. Kaava tuotteen logaritmille

Loki a (x * y) \u003d Loki a (x) + Loki a (y)

6.8. Kaava osamäärän logaritmille

Loki a (x / y) \u003d Loki a (x) -Log a (y)

6.9. Kaava tehon logaritmille

Loki a (x y) \u003d y * Loki a (x)

6.10. Kaava muuntamiseksi logaritmiksi eri pohjalla

Loki b (x) \u003d (Loki a (x)) / Loki a (b)

Esimerkki:

Loki 2 (8) \u003d Loki 10 (8) / Loki 10 (2) \u003d
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Elämässä hyödylliset kaavat

Usein on ongelmia tilavuuden muuntamisessa alaksi tai pituudeksi, ja käänteinen ongelma on muuntaa alue tilavuudeksi. Esimerkiksi levyt myydään kuutioina (kuutiometreinä), mutta meidän on laskettava, kuinka suuri seinäpinta-ala voidaan päällystää tietyssä tilavuudessa olevilla levyillä, katso levyjen laskelma, kuinka monta levyä on kuutiossa. Tai seinän mitat ovat tiedossa, on tarpeen laskea tiilien lukumäärä, katso tiilen laskenta.

Sivuston materiaaleja saa käyttää, jos aktiivinen linkki lähteeseen on asennettu.

Tämä voi olla esimerkiksi laskin Windows-käyttöjärjestelmän perusohjelmasarjoista. Linkki sen käynnistämiseen on piilotettu melko käyttöjärjestelmän päävalikossa - avaa se napsauttamalla "Käynnistä" -painiketta, avaa sitten sen "Ohjelmat" -osa, siirry "Vakio" -ala- ja sitten "Apuohjelmat" -osaan ja napsauta lopuksi "Laskin" -kohtaa. ". Hiiren käytön ja valikossa selaamisen sijasta voit käyttää näppäimistöä ja ohjelman käynnistämisvalintaikkunaa - paina WIN + R -näppäinyhdistelmää, kirjoita calc (tämä on laskimen suoritettavan tiedoston nimi) ja paina Enter-näppäintä.

Kytke laskinrajapinta edistyneeseen tilaan salliaksesi. Oletuksena se avautuu "normaalissa" näkymässä, mutta tarvitset "suunnittelu" tai "" (käyttämäsi käyttöjärjestelmän version mukaan). Laajenna valikon Näytä-osa ja valitse sopiva rivi.

Kirjoita argumentti, jonka luonnollisen arvon haluat laskea. Tämä voidaan tehdä sekä näppäimistöltä että napsauttamalla vastaavia painikkeita näytön laskinrajapinnassa.

Napsauta painiketta, joka on merkitty ln - ohjelma laskee logaritmin pohjaan e ja näyttää tuloksen.

Käytä mitä tahansa -laskurista vaihtoehtona luonnollisen logaritmin arvon laskemiseksi. Esimerkiksi se, joka lähetettiin osoitteeseen http://calc.org.ua... Sen käyttöliittymä on erittäin yksinkertainen - on yksi syöttökenttä, johon sinun on kirjoitettava luvun arvo, logaritmi, josta haluat laskea. Etsi ja napsauta painikkeiden joukosta nimeä, joka sanoo ln. Tämän laskimen komentosarja ei vaadi tietojen lähettämistä palvelimelle ja vastausta, joten laskutulos saadaan melkein heti. Ainoa ominaisuus, joka tulisi ottaa huomioon, on, että syötetyn numeron murto-osan ja kokonaisluvun välisen erottimen on oltava tässä piste, ei piste.

Termi " logaritmi"Tulee kahdesta kreikkalaisesta sanasta, joista toinen tarkoittaa" numeroa "ja toinen" suhdetta ". Ne kuvaavat muuttuvan määrän (eksponentin) laskennan matemaattista toimintaa, johon vakioarvo (base) on nostettava, jotta saadaan merkin alla ilmoitettu luku logaritmija. Jos kanta on yhtä suuri kuin matemaattinen vakio, jota kutsutaan numerona "e", niin logaritmi nimeltään "luonnollinen".

Tarvitset

• Internet-yhteys, Microsoft Office Excel tai laskin.

Ohjeet

Käytä monia Internetissä esitettyjä laskimia - tämä on ehkä helppo tapa laskea luonnollinen a. Sinun ei tarvitse etsiä sopivaa palvelua, koska monissa hakukoneissa on itse sisäänrakennetut laskimet, jotka sopivat hyvin työskentelyyn logaritmiamy. Siirry esimerkiksi suurimman online-hakukoneen - Googlen - kotisivulle. Tässä ei tarvita painikkeita arvojen syöttämiseen ja funktioiden valitsemiseen, kirjoita vain haluttu matemaattinen toimenpide kyselyn syöttökenttään. Sanotaan laskea logaritmija kirjoita ln 457 457: een emäkseen - tämä riittää, että Google näyttää sen kahdeksan desimaalin tarkkuudella (6.12468339) edes painamatta painiketta lähettääksesi pyynnön palvelimelle.

Käytä sopivaa sisäänrakennettua toimintoa, jos haluat laskea luonnollisen arvon logaritmimutta syntyy, kun työskentelet tietojen kanssa suositussa laskentataulukkoeditorissa Microsoft Office Excel. Tätä toimintoa kutsutaan tässä käyttäen yleisesti hyväksyttyä merkintää näin logaritmija LN isoilla kirjaimilla. Valitse solu, jossa laskelman tulos tulee näkyviin, ja kirjoita yhtälö. Näin tämä merkinnät alkavat tässä taulukkolaskentaohjelman soluissa, jotka sisältävät päävalikon "Kaikki ohjelmat" -kohdan "Vakio" -kohdan. Vaihda laskin toiminnallisempaan tilaan painamalla näppäinyhdistelmää Alt + 2. Anna sitten arvo luonnollinen logaritmi jonka haluat laskea, ja napsauta ohjelman käyttöliittymässä painiketta, joka on merkitty symboleilla ln. Sovellus laskee ja näyttää tuloksen.

Liittyvät videot

Ohjeet

Kirjoita määritelty logaritminen lauseke. Jos lausekkeessa käytetään logaritmia 10, silloin sen merkintä katkaistaan \u200b\u200bja näyttää tältä: lg b on desimaaliloggaritmi. Jos logaritmin perustana on luku e, kirjoita lauseke muistiin: ln b - luonnollinen logaritmi. Ymmärretään, että minkä tahansa tuloksena on aste, johon kanta-numeroa on nostettava, jotta saadaan luku b.

Kun etsit kahden funktion summasta, sinun on vain erotettava ne vuorostaan \u200b\u200bja lisättävä tulokset: (u + v) "\u003d u" + v ";

Kun etsitään kahden funktion tulosta, on tarpeen kertoa ensimmäisen funktion johdannainen toisella ja lisätä toisen funktion johdannainen kerrottuna ensimmäisellä funktiolla: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Kahden funktion kertoimen johdannaisen löytämiseksi on välttämätöntä, että osinkojohdannaisen kertoimella, joka on kerrottu jakajafunktiolla, jakajan osinkojohdannaisen kertolasku kerrottuna osingofunktiolla, ja jaa tämä kaikki jakajafunktiolla neliöllä. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Jos annetaan kompleksinen funktio, on välttämätöntä kertoa sisäisen funktion johdannainen ja ulkoisen johdannainen. Olkoon y \u003d u (v (x)), sitten y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Edellä saatuja käyttämällä voidaan erottaa melkein mikä tahansa toiminto. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Johdannaisen laskemisessa on myös ongelmia pisteessä. Annetaan funktio y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), sinun on löydettävä funktion arvo pisteestä x \u003d 1.
1) Etsi funktion johdannainen: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Laske funktion arvo annetussa pisteessä y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja

Opi tavanomaisten johdannaisten taulukko. Tämä säästää huomattavasti aikaa.

Lähteet:

• vakion johdannainen

Joten mikä ero on irrationaalisen yhtälön ja rationaalisen yhtälön välillä? Jos tuntematon muuttuja on neliöjuuren alapuolella, yhtälöä pidetään irrationaalisena.

Ohjeet

Päämenetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä molempien osien konstruoimiseksi yhtälöt neliössä. Kuitenkin. tämä on luonnollista, ensimmäinen askel on päästä eroon merkistä. Tämä menetelmä ei ole teknisesti vaikea, mutta joskus se voi joutua vaikeuksiin. Esimerkiksi yhtälö v (2x-5) \u003d v (4x-7). Kohtaamalla sen molemmat puolet saat 2x-5 \u003d 4x-7. Tätä yhtälöä ei ole vaikea ratkaista; x \u003d 1. Mutta numeroa 1 ei anneta yhtälöt... Miksi? Korvaa 1 yhtälössä x: lle, ja sekä oikea että vasen puoli sisältävät lausekkeita, jotka eivät ole järkeviä, ts. Tämä arvo ei kelpaa neliöjuureen. Siksi 1 on vierasjuuri, ja siksi annetulla yhtälöllä ei ole juuria.

Joten irrationaalinen yhtälö ratkaistaan \u200b\u200bkäyttämällä menetelmää sen molemmin puolin neliöimiseksi. Ja kun ratkaistu yhtälö, on välttämätöntä katkaista vieraat juuret. Korvaa todetut juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Harkitse toista.
2x + vx-3 \u003d 0
Tietysti tämä yhtälö voidaan ratkaista samalla tavalla kuin edellinen. Siirrä komposiitti yhtälötjoilla ei ole neliöjuuria oikealla puolella, ja käytä sitten neliömetodia. ratkaise tuloksena oleva rationaalinen yhtälö ja juuret. Mutta toinen, tyylikäs. Kirjoita uusi muuttuja; vx \u003d y. Vastaavasti saat yhtälön muodosta 2y2 + y-3 \u003d 0. Toisin sanoen tavallinen asteen yhtälö. Löydä sen juuret; y1 \u003d 1 ja y2 \u003d -3 / 2. Seuraavaksi päätä kaksi yhtälöt vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Toisella yhtälöllä ei ole juuria, ensimmäisestä havaitaan, että x \u003d 1. Muista tarkistaa juuret.

Identiteettien ratkaiseminen on tarpeeksi helppoa. Tämä edellyttää identtisten muutosten tekemistä, kunnes tavoite saavutetaan. Siten tehtävä ratkaistaan \u200b\u200byksinkertaisimpien aritmeettisten toimintojen avulla.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä.

Ohjeet

Yksinkertaisimpia sellaisia \u200b\u200bmuunnoksia ovat algebran lyhennetyt kertolaskut (kuten summan neliö (ero), neliöiden erotus, summa (ero), summan kuutio (ero)). Lisäksi on monia ja trigonometrisiä kaavoja, jotka ovat pääosin samoja identiteettejä.

Tosiaankin, kahden termin summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen tuloksen toistuvasti ja plus toisen neliö, ts. (A + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Yksinkertaista molempia

Ratkaisun yleiset periaatteet

Tarkastele laskenta- tai korkeamman matematiikan oppikirjan kautta, joka on selvä integraali. Kuten tiedät, ratkaisu määrättyyn integraaliin on funktio, jonka johdannainen antaa integrandin. Tätä toimintoa kutsutaan antiderivaatteiksi. Tätä periaatetta käytetään rakentamaan perusintegraalit.
Määritä integrandin tyypin mukaan mikä taulukkomuuntaajista on sopiva tässä tapauksessa. Tätä ei aina ole mahdollista määrittää välittömästi. Usein taulukonäkymä havaitaan vasta useiden muunnoksien jälkeen integroinnin yksinkertaistamiseksi.

Vaihtuva korvausmenetelmä

Jos integrandi on trigonometrinen funktio, jonka argumentissa on jonkin verran polynomia, kokeile sitten muuttujanmuutosmenetelmää. Korvaa tätä varten polynomi integrandin argumentissa uudella muuttujalla. Määritä integraation uudet rajat uuden ja vanhan muuttujan välisestä suhteesta. Erottelemalla tämä lauseke, etsi uusi ero lausekkeesta. Siten saat uuden muodon edellisestä integraalista, sulkevan tai jopa vastaavan jotakin taulukkomuotoa.

Toisen tyyppisten integraalien ratkaisu

Jos integraali on toisen tyyppinen integraali, integrandin vektorimuoto, niin sinun on käytettävä sääntöjä siirtymiseksi näistä integraaleista skalaarisiin. Yksi näistä säännöistä on Ostrogradsky-Gauss-suhde. Tämä laki sallii siirtymisen tietyn vektorifunktion roottorivuodesta kolmoisintegraaliin tietyn vektorikentän divergenssin yli.

Kotouttamisen rajojen korvaaminen

Löytämisen jälkeen antiderivaatti on tarpeen korvata integraation rajat. Kytke ensin yläraja arvo johdannaisen lausekkeeseen. Saat jonkin numeron. Seuraavaksi vähennä saadusta luvusta toinen numero, joka on saatu alarajasta antiderivaattiin. Jos yksi integraation rajoituksista on äärettömyys, korvaamalla se antiderivaattifunktioon, on tarpeen mennä rajaan ja löytää mitä lausekkeella on taipumus.
Jos integraali on kaksiulotteinen tai kolmiulotteinen, sinun on piirrettävä integroinnin rajat geometrisesti ymmärtääksesi kuinka integraali lasketaan. Tosiaankin, esimerkiksi kolmiulotteisen integraalin tapauksessa integraation rajat voivat olla kokonaisia \u200b\u200btasoja, jotka sitovat integroitavan tilavuuden.

Ei ollenkaan paha, eikö niin? Vaikka matemaatikot valitsevat sanoja antaaksesi sinulle pitkän, hämmentävän määritelmän, katsotaanpa tarkemmin tätä yksinkertaista ja selkeää.

Luku e tarkoittaa korkeutta

Luku e tarkoittaa jatkuvaa kasvua. Kuten näimme edellisessä esimerkissä, e x antaa meille mahdollisuuden yhdistää prosenttiosuus ja aika: 3 vuotta 100%: n kasvulla on sama kuin yksi vuosi 300%: lla, olettaen "yhdistelmäkorko".

Voit korvata minkä tahansa prosenttimäärän ja ajan arvot (50% 4 vuoden aikana), mutta on parempi asettaa prosenttiosuus 100% mukavuuden vuoksi (osoittautuu 100% 2 vuoden aikana). Menemällä 100%: iin, voimme keskittyä yksinomaan aikakomponenttiin:

e x \u003d e prosentti * aika \u003d e 1,0 * aika \u003d e aika

Selvästi e x tarkoittaa:

• kuinka paljon panokseni kasvaa x aikayksikössä (olettaen 100%: n jatkuvan kasvun).
• esimerkiksi kolmen aikavälin jälkeen saan e 3 \u003d 20,08 kertaa enemmän "asioita".

e x on skaalauskerroin, joka osoittaa kuinka paljon kasvamme x-aikavälein.

Luonnollinen logaritmi tarkoittaa aikaa

Luonnollinen logaritmi on käänteinen e: lle, kuvitteellinen termi päinvastaiselle. Puhuminen omituisista; latinaksi sitä kutsutaan logarithmus naturali, joten lyhenne ln ilmestyi.

Ja mitä tämä kääntö tai päinvastainen tarkoittaa?

• e x antaa meille mahdollisuuden kytkeä aika ja saada kasvua.
• ln (x) antaa meille mahdollisuuden ottaa kasvua tai tuloja ja selvittää sen saamiseen kuluva aika.

Esimerkiksi:

• e 3 on 20,08. Kolmessa aikavälissä meitä on 20,08 kertaa enemmän kuin mihin aloitimme.
• ln (08.20) olisi noin 3. Jos olet kiinnostunut 20.08: n kasvusta, tarvitset 3 kertaa (jälleen olettaen 100% jatkuvaa kasvua).

Luetko vielä? Luonnollinen logaritmi näyttää ajan, joka tarvitaan halutun tason saavuttamiseen.

Tämä epästandardi logaritminen tili

Olet käynyt läpi logaritmit - nämä ovat outoja olentoja. Kuinka he onnistuivat muuttamaan kertolaskut lisäyksiksi? Entä jako vähentämällä? Katsotaanpa katsomaan.

Mikä on ln (1)? On intuitiivisesti selvää, että kysymys on: kuinka kauan kestää odottaa saadakseni 1 kertaa enemmän kuin minulla on?

Nolla. Nolla. Ei lainkaan. Sinulla on se jo kerran. Tasolta 1 tasoon 1 siirtyminen ei vie aikaa.

• ln (1) \u003d 0

Okei, entä murto-arvo? Kuinka kauan meillä kestää 1/2 käytettävissä olevasta määrästä? Tiedämme, että 100-prosenttisen jatkuvan kasvun ollessa ln (2) tarkoittaa aikaa, joka tarvitaan kaksinkertaistumiseen. Jos me käänny aika takaisin (ts. odota negatiivista aikaa), niin saamme puolet meistä.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0,693

On järkevää, eikö niin? Jos menemme taaksepäin (taaksepäin) 0,693 sekuntia, löydämme puolet käytettävissä olevasta määrästä. Yleensä voit kääntää jakeen ja saada negatiivisen arvon: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1,09. Tämä tarkoittaa, että jos palaamme takaisin 1,09 aikavälillä, löydämme vain kolmanneksen nykyisestä luvusta.

Okei, entä negatiivisen luvun logaritmi? Kuinka kauan kestää bakteerikolonnin "kasvaminen" välillä 1 - -3?

Se on mahdotonta! Et voi saada negatiivista määrää bakteereja. Voit saada maksimiarvon (uh ... minimi) nollan, mutta et voi saada negatiivista lukumäärää näistä pienistä arvostelijoista. Negatiivisella bakteerimäärällä ei yksinkertaisesti ole mitään merkitystä.

• ln (negatiivinen luku) \u003d määrittelemätön

"Määrittelemätön" tarkoittaa, että ei ole aikaa, jonka olisi odotettava negatiivisen arvon saamiseksi.

Logaritminen kertolasku on vain hauskaa

Kuinka kauan nelinkertaaminen kestää? Tietysti voit ottaa vain ln (4). Mutta tämä on liian yksinkertaista, menemme toiseen suuntaan.

Voit ajatella nelinkertaista kasvua kaksinkertaistuvan (vaatii ln (2) aikayksikköä) ja sitten kaksinkertaistuvan (vaatii toisen ln (2) aikayksikköä):

• Aika 4-kertaiseen kasvuun \u003d ln (4) \u003d Aika ei kaksinkertaistu ja sitten kaksinkertaistuu taas \u003d ln (2) + ln (2)

Mielenkiintoista. Mitä tahansa kasvunopeutta, esimerkiksi 20, voidaan pitää kaksinkertaistuvana heti, kun se on kasvanut 10 kertaa. Tai kasvua 4 kertaa ja sitten 5 kertaa. Tai kolminkertaistaa ja sitten kasvaa 6,666 kertaa. Näet kuvion?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

A-ajan B logaritmi on log (A) + log (B). Tämä asenne on heti järkevä, kun sitä käytetään kasvun kannalta.

Jos olet kiinnostunut 30-kertaisesta kasvusta, voit odottaa ln (30) yhdessä istunnossa tai voit odottaa, että ln (3) kolminkertaistuu ja sitten toinen ln (10) lisääntyy. Lopputulos on sama, joten tietysti ajan on pysyttävä vakiona (ja niin tapahtuu).

Entä jako? Erityisesti ln (5/3) tarkoittaa: kuinka kauan kestää kasvaa 5 kertaa ja saada sitten 1/3 siitä?

Suuri, 5x kasvu on ln (5). Kasvu 1/3 kertaa vie -1 (3) aikayksikköä. Niin,

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

Tämä tarkoittaa: anna sen kasvaa viisi kertaa ja sitten "palaa ajassa taaksepäin" pisteeseen, jossa vain kolmasosa summasta on jäljellä, niin että saat 5/3 kasvua. Yleensä käy ilmi

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Toivon, että logaritmien pariton aritmeettiikka on alkanut olla järkevä: kasvunopeuden kertominen lisää kasvuajan yksiköitä ja jako muuttuu aikayksiköiden vähennykseksi. Sääntöjä ei tarvitse muistaa, yritä ymmärtää niitä.

Käyttämällä luonnollista logaritmia mielivaltaiseen korkeuteen

Tietysti sanot, että kaikki on hyvää, jos kasvu on 100%, mutta entä 5% saan? "

Ei ongelmia. Ln (): lla laskettu "aika" on oikeastaan \u200b\u200byhdistelmä korkoa ja aikaa, sama X yhtälöstä e x. Päätimme juuri asettaa prosenttimäärän 100%: n yksinkertaisuuden vuoksi, mutta voimme vapaasti käyttää mitä tahansa numeroita.

Oletetaan, että haluamme saavuttaa 30-kertaisen kasvun: ota ln (30) ja saada 3,4. Tämä tarkoittaa:

• e x \u003d korkeus
• e 3,4 \u003d 30

Tämä yhtälö tarkoittaa selvästi "100%: n tuotto 3,4 vuoden aikana antaa 30-kertaisen kasvun". Voimme kirjoittaa tämän yhtälön seuraavasti:

• e x \u003d e nopeus * aika
• e 100% * 3,4 vuotta \u003d 30

Voimme muuttaa "nopeuden" ja "ajan" arvoja, jos vain nopeuden * aika on 3.4. Esimerkiksi, jos olemme kiinnostuneita 30-kertaisesta kasvusta, kuinka kauan meidän on odotettava viiden prosentin korkoa?

• ln (30) \u003d 3,4
• korko * aika \u003d 3,4
• 0,05 * aika \u003d 3,4
• aika \u003d 3,4 / 0,05 \u003d 68 vuotta

Perustelun näin: "ln (30) \u003d 3,4, joten 100%: n kasvulla se vie 3,4 vuotta. Jos kaksinkertaistan kasvun, tarvittava aika puolittuu."

• 100% 3,4 vuodessa \u003d 1,0 * 3,4 \u003d 3,4
• 200% 1,7 vuodessa \u003d 2,0 * 1,7 \u003d 3,4
• 50% 6,8 vuodessa \u003d 0,5 * 6,8 \u003d 3,4
• 5% 68 \u003d 0,05 * 68 \u003d 3,4.

Hienoa, eikö niin? Luonnollista logaritmia voidaan käyttää minkä tahansa korko- ja aika-arvon kanssa, kunhan tuote pysyy vakiona. Voit siirtää muuttujien arvoja niin paljon kuin haluat.

Huono esimerkki: 72-sääntö

Seitsemänkymmentäkaksi sääntöä on matemaattinen temppu arvioidaksesi, kuinka kauan rahasi tuplaaminen kestää. Nyt esitämme sen (kyllä!), Ja lisäksi yritämme ymmärtää sen olemusta.

Kuinka kauan kestää tuplata rahasi 100% -korolla, joka nousee vuosittain?

Oho. Käytimme luonnollista logaritmia jatkuvaan kasvuun, ja puhutte nyt vuotuista suoriteperustetta? Eikö tämä kaava tule käyttökelvottomaksi tällaisessa tapauksessa? Kyllä, niin tulee, mutta reaalikorkojen, kuten 5%, 6% tai jopa 15%, vuotuisten korkojen ja jatkuvan kasvun välillä on vähän eroa. Joten karkea arvio toimii, siis karkea, joten teeskentelemme, että meillä on täysin jatkuva varaus.

Nyt kysymys on yksinkertainen: Kuinka nopeasti voit tuplata 100%: n kasvulla? ln (2) \u003d 0,693. Summan kaksinkertaistaminen jatkuvalla 100%: lla vie 0.693 aikayksikköä (tapauksessamme vuotta).

Entä jos korko ei ole 100%, mutta sanotaan esimerkiksi 5% tai 10%?

Helppo! Koska panoksen * aika \u003d 0,693, kaksinkertaistamme määrän:

• korko * aika \u003d 0,693
• aika \u003d 0,693 / nopeus

Joten jos kasvu on 10%, vie 0,693 / 0,10 \u003d 6,93 vuotta kaksinkertaistua.

Laskennan yksinkertaistamiseksi kerrotaan molemmat puolet 100: lla, niin voimme sanoa "10", ei "0,10":

• aika kaksinkertaistua \u003d 69,3 / korko, missä korko ilmaistaan \u200b\u200bprosentteina.

Nyt on aika tuplata 5 prosentilla, 69,3 / 5 \u003d 13,86 vuotta. 69,3 ei kuitenkaan ole kätevin osinko. Valitaan suljettu luku, 72, joka on kätevä jakaa 2, 3, 4, 6, 8 ja muille numeroille.

• aika tuplata \u003d 72 / vaaka

mikä on 72-luvun sääntö. Kaikki on ommeltu peitettynä.

Jos haluat löytää aikaa kolminkertaiseksi, voit käyttää ln (3) ~ 109.8 ja saada

• aika kolminkertaiseksi \u003d 110 / hinta

Mikä on toinen hyödyllinen sääntö. 72-sääntöä sovelletaan korkojen kasvuun, väestönkasvuun, bakteeriviljelmiin ja kaikkeen, mikä kasvaa räjähdysmäisesti.

Mitä seuraavaksi?

Toivottavasti luonnollinen logaritmi on nyt järkevä sinulle - se näyttää ajan, joka kuluu minkä tahansa määrän kasvamiseen eksponentiaalisesti. Mielestäni sitä kutsutaan luonnolliseksi, koska e on kasvun universaali mitta, joten sitä voidaan pitää yleismaailmallisena tapana määrittää, kuinka kauan kasvua tarvitaan.

Aina kun näet ln (x), muista "X-ajan kasvattamiseen kuluva aika". Tulevassa artikkelissa kuvaan e ja ln yhdessä, jotta matematiikan raikas tuoksu täyttäisi ilman.

Lisäys: e. Luonnollinen logaritmi

Pikavisa: kuinka paljon on ln (e)?

• matemaattinen robotti sanoo: koska ne määritellään kääntämään toisiaan, on selvää, että ln (e) \u003d 1.
• ymmärtävä henkilö: ln (e) on kuinka monta kertaa kasvaa "e" kertaa (noin 2 718). Luku e on kuitenkin itsessään kasvun mittari kertoimella 1, joten ln (e) \u003d 1.

Ajattele selkeästi.

9. syyskuuta 2013