Kun kerrotaan negatiivisella luvulla, etumerkki muuttuu. epätasa-arvoa

Bibliografia.

• Moro M.I.. Matematiikka. Proc. 1 cl:lle. aikaisin koulu Klo 14. Osa 1. (Ensimmäinen puolivuosi) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. painos. - M.: Enlightenment, 2006. - 112 s.: ill. + App. (2 erillistä l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematiikka: opinnot. 5 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Lineaarisia epäyhtälöitä kutsutaan jonka vasen ja oikea osa ovat lineaarisia funktioita suhteessa tuntemattomaan suureen. Näitä ovat esimerkiksi epätasa-arvo:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4-6x 9- x< x + 5 .

1) Tiukka eriarvoisuus: ax+b>0 tai kirves+b<0

2) Ei-tiukat eriarvoisuudet: ax+b≤0 tai kirves+b≫ 0

Otetaan tämä tehtävä. Suunnikkaan toinen sivu on 7 cm. Mikä pitäisi olla toisen sivun pituus, jotta suunnikkaan ympärysmitta on suurempi kuin 44 cm?

Anna halutun puolen olla X katso Tässä tapauksessa suunnikkaan kehää edustaa (14 + 2x) ks. Epäyhtälö 14 + 2x > 44 on matemaattinen malli suunnikkaan kehän ongelmasta. Jos tässä epäyhtälössä korvaamme muuttujan X esimerkiksi numerolla 16, niin saadaan oikea numeerinen epäyhtälö 14 + 32\u003e 44. Tässä tapauksessa sanomme, että luku 16 on ratkaisu epäyhtälölle 14 + 2x\u003e 44.

Epätasa-arvoratkaisu nimeä muuttujan arvo, joka muuttaa sen todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi.

Siksi jokainen numeroista 15.1; 20;73 toimivat ratkaisuna epäyhtälölle 14 + 2x > 44, ja esimerkiksi luku 10 ei ole sen ratkaisu.

Ratkaise epätasa-arvo tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen määrittämistä tai sen osoittamista, että ratkaisuja ei ole olemassa.

Epäyhtälön ratkaisun muotoilu on samanlainen kuin yhtälön juuren muotoilu. Ja silti ei ole tapana nimetä "epätasa-arvon juurta".

Numeeristen yhtälöiden ominaisuudet auttoivat meitä ratkaisemaan yhtälöitä. Samoin numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet auttavat ratkaisemaan epäyhtälöitä.

Ratkaisemme yhtälön, muutamme sen toiseen, yksinkertaisempaan yhtälöön, mutta vastaa annettua yhtälöä. Samalla tavalla vastaus löytyy epätasa-arvoon. Muuttaessaan yhtälön sitä vastaavaksi yhtälöksi he käyttävät lausetta termien siirrosta yhtälön yhdestä osasta vastakkaiseen ja yhtälön molempien osien kertomisesta samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Epäyhtälöä ratkaistaessa sen ja yhtälön välillä on merkittävä ero, mikä johtuu siitä, että mikä tahansa yhtälön ratkaisu voidaan tarkistaa yksinkertaisesti korvaamalla se alkuperäiseen yhtälöön. Epäyhtälöissä sellaista menetelmää ei ole, koska alkuperäiseen epäyhtälöön ei voida korvata ääretöntä määrää ratkaisuja. Siksi on tärkeä käsite, nämä nuolet<=>on ekvivalenttien tai vastaavien muunnosten merkki. Transformaatiota kutsutaan vastaava tai vastaava jos he eivät muuta päätösasetusta.

Samanlaiset säännöt eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi.

Jos jokin termi siirretään epäyhtälön osasta toiseen, samalla kun sen etumerkki korvataan vastakkaisella, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan (jaetaan) samalla positiivisella luvulla, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan (jaetaan) samalla negatiivisella luvulla, samalla kun epäyhtälömerkki korvataan vastakkaisella, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Käyttämällä näitä määräyksiä laskemme seuraavat epäyhtälöt.

1) Analysoidaan epätasa-arvoa 2x - 5 > 9.

se lineaarinen epätasa-arvo, etsi sen ratkaisu ja keskustele peruskäsitteistä.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 siirrettiin vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä), sitten jaoimme kaiken kahdella ja olemme x > 7. Käytämme akselille joukko ratkaisuja x

Olemme saaneet positiivisesti suunnatun säteen. Merkitsemme ratkaisujoukon joko epäyhtälön muodossa x > 7, tai intervallina x(7; ∞). Ja mikä on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon? Esimerkiksi, x = 10 on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon, x = 12 on myös erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon.

Erityisratkaisuja on monia, mutta meidän tehtävämme on löytää kaikki ratkaisut. Ja ratkaisut ovat yleensä loputtomia.

Analysoidaan esimerkki 2:

2) Ratkaise epäyhtälö 4a - 11 > a + 13.

Ratkaistaan ​​se: a siirtyä sivuun 11 siirrymme toiselle puolelle, saamme 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 eriarvoisuudella on muoto a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Näytämme myös setin a< 8 , mutta jo akselilla a.

Vastaus kirjoitetaan joko epäyhtälönä a< 8, либо a(-∞;8), 8 ei käynnisty.

Tapasimme epätasa-arvoa koulussa, jossa käytämme numeerista eriarvoisuutta. Tässä artikkelissa tarkastelemme numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia, joista osa on rakennettu periaatteita niiden kanssa työskentelyyn.

Epäyhtälöiden ominaisuudet ovat samanlaiset kuin numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet. Ominaisuudet, sen perustelut otetaan huomioon, annamme esimerkkejä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numeeriset epäyhtälöt: määritelmä, esimerkkejä

Kun otamme käyttöön epätasa-arvon käsitteen, niiden määritelmä tehdään tietuetyypin mukaan. On algebrallisia lausekkeita, joissa on merkkejä ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Annetaan määritelmä.

Määritelmä 1

Numeerinen epätasa-arvo kutsutaan epäyhtälöksi, jossa molemmilla puolilla on numeroita ja numeerisia lausekkeita.

Numeeriset epäyhtälöt huomioidaan koulussa luonnollisten lukujen tutkimisen jälkeen. Tällaisia ​​vertailutoimintoja tutkitaan askel askeleelta. Alkuperäinen ulkoasu 1< 5 , 5 + 7 >3. Sen jälkeen sääntöjä täydennetään ja epäyhtälöistä tulee monimutkaisempia, jolloin saadaan muotoa 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 , olevat epäyhtälöt. 73-17 2< 0 .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet

Työskennelläksesi epäyhtälöiden kanssa oikein, sinun on käytettävä numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia. Ne tulevat eriarvoisuuden käsitteestä. Tällainen käsite määritellään lauseella, joka on merkitty "suurempi kuin" tai "pienempi kuin".

Määritelmä 2

• luku a on suurempi kuin b, kun ero a - b on positiivinen luku;
• luku a on pienempi kuin b, kun ero a - b on negatiivinen luku;
• luku a on yhtä suuri kuin b, kun ero a - b on yhtä suuri kuin nolla.

Määritelmää käytetään, kun ratkaistaan ​​eriarvoisuutta suhteilla "pienempi tai yhtä suuri", "suurempi tai yhtä suuri". Me ymmärrämme sen

Määritelmä 3

• a on suurempi tai yhtä suuri kuin b, kun a - b on ei-negatiivinen luku;
• a on pienempi tai yhtä suuri kuin b, kun a - b on ei-positiivinen luku.

Määritelmiä käytetään numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksien todistamiseen.

Perusominaisuudet

Harkitse kolmea pääepätasa-arvoa. Merkkien käyttö< и >ominaisuus ominaisuuksineen:

Määritelmä 4

• antireflexiivisyys, joka sanoo, että mikä tahansa luku a epäyhtälöistä a< a и a >a katsotaan virheelliseksi. Tiedetään, että millä tahansa a:lla yhtälö a − a = 0 pätee, joten saadaan, että a = a. Joten a< a и a >a on väärin. Esimerkiksi 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 ovat virheellisiä.
• epäsymmetria. Kun luvut a ja b ovat sellaisia, että a< b , то b >a , ja jos a > b , niin b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Toinen osa on todistettu samalla tavalla.

Esimerkki 1

Esimerkiksi, kun otetaan huomioon eriarvoisuus 5< 11 имеем, что 11 >5 , niin sen numeerinen epäyhtälö − 0 , 27 > − 1 , 3 kirjoitetaan uudelleen muotoon − 1 , 3< − 0 , 27 .

Ennen kuin siirrymme seuraavaan ominaisuuteen, huomaamme, että epäsymmetrian avulla voidaan lukea epäyhtälö oikealta vasemmalle ja päinvastoin. Siten numeerista epäyhtälöä voidaan muuttaa ja vaihtaa.

Määritelmä 5

• transitiivisuus. Kun luvut a , b , c täyttävät ehdon a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ja b > c , sitten a > c .

Todiste 1

Ensimmäinen väite voidaan todistaa. Kunto a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Toinen transitiivisuusominaisuuden omaava osa on todistettu samalla tavalla.

Esimerkki 2

Analysoitua ominaisuutta tarkastellaan epäyhtälöiden esimerkissä −1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ja 1 8 > 1 32 tästä seuraa, että 1 2 > 1 32 .

Numeerisilla epäyhtälöillä, jotka on kirjoitettu käyttäen ei-tiukkoja epäyhtälömerkkejä, on ominaisuus refleksiivisyys, koska a ≤ a ja a ≥ a voivat olla yhtäläisyyden tapaus a = a. niille on ominaista epäsymmetria ja transitiivisuus.

Määritelmä 6

Epäyhtälöillä, joiden merkinnässä on merkit ≤ ja ≥, on seuraavat ominaisuudet:

• refleksiivisyys a ≥ a ja a ≤ a katsotaan todellisiksi epäyhtälöiksi;
• antisymmetria kun a ≤ b , niin b ≥ a , ja jos a ≥ b , niin b ≤ a .
• transitiivisuus kun a ≤ b ja b ≤ c , niin a ≤ c , ja myös, jos a ≥ b ja b ≥ c , niin a ≥ c .

Todistaminen suoritetaan samalla tavalla.

Muita numeeristen epäyhtälöiden tärkeitä ominaisuuksia

Eriarvoisuuksien perusominaisuuksien täydentämiseksi käytetään tuloksia, joilla on käytännön merkitystä. Sovelletaan lausekkeiden arvojen arviointimenetelmän periaatetta, johon eriarvoisuuksien ratkaisemisen periaatteet perustuvat.

Tämä osio paljastaa eriarvoisuuksien ominaisuudet yhdelle tiukan eriarvoisuuden merkille. Sama tehdään ei-tiukkaille. Harkitse esimerkkiä, jossa muotoillaan epäyhtälö, jos a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jos a > b , niin a + c > b + c ;
• jos a ≤ b, niin a+c ≤ b+c;
• jos a ≥ b , niin a + c ≥ b + c .

Kätevää esitystä varten annamme vastaavan lausunnon, joka kirjoitetaan ylös ja esitetään todisteet, esitetään esimerkkejä käytöstä.

Määritelmä 7

Lukujen lisääminen tai laskeminen molemmille puolille. Toisin sanoen kun a ja b vastaavat epäyhtälöä a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Todiste 2

Tämän todistamiseksi on välttämätöntä, että yhtälö täyttää ehdon a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Esimerkki 3

Esimerkiksi jos epäyhtälön 7 > 3 molempia osia suurennetaan 15 , niin saadaan 7 + 15 > 3 + 15 . Tämä on yhtä suuri kuin 22 > 18 .

Määritelmä 8

Kun epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla c, saadaan oikea epäyhtälö. Jos otamme luvun c negatiiviseksi, etumerkki muuttuu päinvastaiseksi. Muuten se näyttää tältä: a:lle ja b:lle epäyhtälö pätee, kun a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >eKr.

Todiste 3

Kun on tapaus c > 0 , on tarpeen tehdä ero epäyhtälön vasemman ja oikean puolen välillä. Sitten saadaan, että a · c − b · c = (a − b) · c . Ehdosta a< b , то a − b < 0 , а c >0 , niin tulo (a − b) · c on negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Todistuksessa jako kokonaisluvulla voidaan korvata kertomalla annetun käänteisluvulla, eli 1 c . Harkitse esimerkkiä tietyn numeron ominaisuudesta.

Esimerkki 4

Molemmat epätasa-arvon osat ovat sallittuja 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nyt muotoilemme seuraavat kaksi tulosta, joita käytetään eriarvoisuuksien ratkaisemisessa:

• Seuraus 1. Muutettaessa numeerisen epäyhtälön osien merkkejä, itse epäyhtälömerkki muuttuu päinvastaiseksi, koska< b , как − a >−b. Tämä vastaa sääntöä kertoa molemmat osat -1:llä. Se soveltuu siirtymävaiheeseen. Esimerkiksi -6< − 2 , то 6 > 2 .
• Seuraus 2. Kun numeerisen epäyhtälön osat korvataan käänteisluvuilla, myös sen etumerkki vaihtuu ja epäyhtälö pysyy tosi. Tästä syystä meillä on, että a ja b ovat positiivisia lukuja, a< b , 1 a >1b.

Kun jaetaan epäyhtälön molemmat osat a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 meillä on se 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b voi olla väärä.

Esimerkki 5

Esimerkiksi −2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ovat virheellinen tasa-arvo.

Kaikkia kohtia yhdistää se, että toimet epätasa-arvon osissa antavat oikean epätasa-arvon ulostulossa. Tarkastellaan ominaisuuksia, joissa alun perin on useita numeerisia epäyhtälöitä, ja sen tulos saadaan lisäämällä tai kertomalla sen osat.

Määritelmä 9

Kun luvut a , b , c , d pätevät epäyhtälöille a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Todiste 4

Todistetaan, että (a + c) − (b + d) on negatiivinen luku, niin saadaan, että a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Ominaisuutta käytetään kolmen, neljän tai useamman numeerisen epäyhtälön termi kerrallaan lisäämiseen. Luvut a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n ovat epäyhtälöiden a 1 alaisia< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Esimerkki 6

Esimerkiksi annetaan kolme samanmerkkistä numeerista epäyhtälöä −5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Määritelmä 10

Molempien osien terminen kertominen tuottaa positiivisen luvun. a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Todiste 5

Tämän todistamiseksi tarvitsemme epätasa-arvon a molemmat puolet< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Tämän ominaisuuden katsotaan pätevän niille lukuille, joilla epäyhtälön molemmat puolet on kerrottava. Sitten a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n ovat positiivisia lukuja, joissa 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Huomaa, että epäyhtälöitä kirjoitettaessa on ei-positiivisia lukuja, jolloin niiden termikohtainen kertominen johtaa vääriin epäyhtälöihin.

Esimerkki 7

Esimerkiksi epätasa-arvo 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Seuraus: Epäyhtälöiden terminen kertolasku a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet

Tarkastellaan seuraavia numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia.

1. a< a , a >a - väärät epätasa-arvot,
   a ≤ a , a ≥ a ovat kelvollisia epäyhtälöitä.
2. Jos< b , то b >a - antisymmetria.
3. Jos< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Jos< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Jos< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Jos< b и c - отрицательное число, то a · c >eKr.

Seuraus 1: jos< b , то - a >-b.

Seuraus 2: jos a ja b ovat positiivisia lukuja ja a< b , то 1 a >1b.

1. Jos 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jos 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ovat positiivisia lukuja ja a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Seuraus 1: jos a< b , a ja b ovat positiivisia lukuja, sitten n< b n .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Reaalilukujen kentällä on järjestysominaisuus (kohta 6, s. 35): kaikille luvuille a, b yksi ja vain yksi kolmesta relaatiosta pätee: tai . Tässä tapauksessa merkintä a > b tarkoittaa, että ero on positiivinen ja merkintäero on negatiivinen. Toisin kuin reaalilukujen kenttä, kompleksilukujen kenttä ei ole järjestetty: kompleksiluvuille käsitteitä "suurempi" ja "pienempi kuin" ei määritellä; siksi tässä luvussa käsitellään vain reaalilukuja.

Kutsumme suhteita epäyhtälöiksi, luvut a ja b ovat epäyhtälön jäseniä (tai osia), merkkejä > (suurempi kuin) ja eriarvoisuuksia a > b ja c > d kutsutaan saman (tai saman) merkityksellisiksi epäyhtälöiksi; epäyhtälöt a > b ja c Epäyhtälön määritelmästä seuraa välittömästi, että

1) mikä tahansa positiivinen luku, joka on suurempi kuin nolla;

2) mikä tahansa negatiivinen luku, joka on pienempi kuin nolla;

3) mikä tahansa positiivinen luku on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku;

4) kahdesta negatiivisesta luvusta se, jonka itseisarvo on pienempi, on suurempi.

Kaikki nämä väitteet sallivat yksinkertaisen geometrisen tulkinnan. Olkoon lukuakselin positiivinen suunta aloituspisteen oikealle puolelle; sitten, olivatpa numerot mitkä tahansa merkit, suurempaa niistä edustaa piste, joka sijaitsee pienempää numeroa edustavan pisteen oikealla puolella.

Epätasa-arvoilla on seuraavat pääominaisuudet.

1. Epäsymmetria (peruuttamattomuus): jos , niin , ja päinvastoin.

Itse asiassa, jos ero on positiivinen, ero on negatiivinen. He sanovat, että kun eriarvoisuuden termit järjestetään uudelleen, epätasa-arvon merkitys on muutettava päinvastaiseksi.

2. Transitiivisuus: jos , niin . Itse asiassa erojen positiivisuus merkitsee positiivisuutta

Epätasa-arvomerkkien lisäksi käytetään myös epätasa-arvomerkkejä ja Ne määritellään seuraavasti: tietue tarkoittaa joko tai Siksi voit esimerkiksi kirjoittaa ja myös. Yleensä merkeillä kirjoitettuja eriarvoisuuksia kutsutaan tiukoiksi epäyhtälöiksi, ja merkeillä kirjoitettuja epätasa-arvoisuuksiksi. Vastaavasti itse merkkejä kutsutaan tiukan tai ei-tiukan eriarvoisuuden merkeiksi. Yllä käsitellyt ominaisuudet 1 ja 2 pätevät myös ei-tiukkojen epäyhtälöiden kohdalla.

Harkitse nyt operaatioita, jotka voidaan suorittaa yhdelle tai useammalle epäyhtälölle.

3. Saman luvun lisäämisestä epäyhtälön jäseniin eriarvoisuuden merkitys ei muutu.

Todiste. Olkoon epäyhtälö ja mielivaltainen luku annettu. Määritelmän mukaan ero on positiivinen. Lisäämme tähän numeroon kaksi vastakkaista lukua, joista se ei muutu, ts.

Tämä tasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Tästä seuraa, että ero on positiivinen, eli se

ja tämä oli todistettava.

Tämä on perusta mahdollisuudelle vääristää mitä tahansa epäyhtälön termiä yhdestä osasta toiseen päinvastaisella merkillä. Esimerkiksi epätasa-arvosta

seuraa sitä

4. Kun epäyhtälön ehdot kerrotaan samalla positiivisella luvulla, epäyhtälön merkitys ei muutu; kun epäyhtälön termit kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, epätasa-arvon merkitys muuttuu päinvastaiseksi.

Todiste. Olkoon sitten Jos, koska positiivisten lukujen tulo on positiivinen. Laajentamalla viimeisen epäyhtälön vasemmalla puolella olevia sulkuja saadaan , eli . Tapausta käsitellään samalla tavalla.

Täsmälleen sama johtopäätös voidaan tehdä epäyhtälön osien jakamisesta jollakin nollasta poikkeavalla luvulla, koska luvulla jakaminen vastaa luvulla kertomista ja luvuilla on samat merkit.

5. Olkoon eriarvoisuuden ehdot positiivisia. Sitten, kun sen jäsenet nostetaan samaan positiiviseen voimaan, eriarvoisuuden merkitys ei muutu.

Todiste. Olkoon tässä tapauksessa transitiivisuuden ominaisuudella ja . Sitten, johtuen tehofunktion monotonisesta kasvusta at ja positiivinen, meillä on

Erityisesti, jos missä on luonnollinen luku, niin saamme

eli erotettaessa juuri molemmista epäyhtälön osista positiivisilla termeillä, eriarvoisuuden merkitys ei muutu.

Olkoon epätasa-arvon ehdot negatiivisia. Silloin on helppo todistaa, että kun sen termit nostetaan parittomaan luonnonvoimaan, epäyhtälön merkitys ei muutu, ja kun se nostetaan parilliseen luonnonvoimaan, se muuttuu päinvastaiseksi. Epäyhtälöistä negatiivisilla termeillä voit myös poimia parittoman asteen juuren.

Olkoon lisäksi, että eriarvoisuuden termeillä on erilaisia ​​merkkejä. Sitten, kun se nostetaan parittomaan potenssiin, epäyhtälön merkitys ei muutu, ja kun se nostetaan parilliseen potenssiin, tuloksena olevan epäyhtälön merkityksestä ei voida yleisesti ottaen sanoa mitään varmaa. Todellakin, kun luku nostetaan parittomaan potenssiin, luvun etumerkki säilyy ja siksi epäyhtälön merkitys ei muutu. Kun epätasa-arvoa nostetaan tasaiseen potenssiin, muodostuu epäyhtälö positiivisilla termeillä, ja sen merkitys riippuu alkuperäisen epätasa-arvon termien absoluuttisista arvoista, epätasa-arvosta, jolla on sama merkitys kuin alkuperäisellä, epätasa-arvosta. päinvastainen merkitys, ja jopa tasa-arvo voidaan saavuttaa!

On hyödyllistä tarkistaa kaikki, mitä on sanottu epätasa-arvojen nostamisesta potenssiin seuraavan esimerkin avulla.

Esimerkki 1. Nosta seuraavat epäyhtälöt ilmoitettuun potenssiin muuttamalla tarvittaessa epäyhtälömerkki vastakkaiseksi tai yhtäläisyysmerkiksi.

a) 3 > 2 luvun 4 potenssiin; b) luvun 3 potenssiin;

c) luvun 3 potenssiin; d) luvun 2 potenssiin;

e) luvun 5 potenssiin; e) luvun 4 potenssiin;

g) 2 > -3 luvun 2 potenssiin; h) luvun 2 potenssiin,

6. Epätasa-arvosta voidaan siirtyä epätasa-arvoon välillä, jos eriarvoisuuden ehdot ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia, niin niiden käänteisarvojen välillä on päinvastainen eriarvoisuus:

Todiste. Jos a ja b ovat samanmerkkisiä, niiden tulo on positiivinen. Jaa epätasa-arvolla

eli mikä oli hankittava.

Jos eriarvoisuuden termeillä on vastakkaiset merkit, niin niiden käänteisarvojen välisellä epäyhtälöllä on sama merkitys, koska käänteisarvojen merkit ovat samat kuin itse suureiden merkit.

Esimerkki 2. Tarkista viimeinen ominaisuus 6 seuraavista epäyhtälöistä:

7. Epäyhtälöiden logaritmi voidaan suorittaa vain siinä tapauksessa, että epäyhtälöiden ehdot ovat positiivisia (negatiivisilla luvuilla ja nollalla ei ole logaritmeja).

Päästää . Milloin sitten tulee

ja milloin tulee

Näiden väittämien oikeellisuus perustuu logaritmisen funktion monotonisuuteen, joka kasvaa, jos kanta ja pienenee, jos

Joten kun otetaan logaritmi positiivisista termeistä, joiden kanta on suurempi kuin yksi, muodostuu epäyhtälö, jolla on sama merkitys kuin annetulla, ja kun otetaan sen logaritmi positiivisella kantalla, joka on pienempi kuin yksi, epäyhtälö muodostuu päinvastainen merkitys.

8. Jos , niin jos , mutta , sitten .

Tämä seuraa välittömästi eksponentiaalifunktion monotonisuusominaisuuksista (luku 42), joka kasvaa tapauksessa ja pienenee, jos

Kun lisätään termi kerrallaan saman merkityksen epäyhtälöt, muodostuu datan kanssa samaa merkitystä omaava epäyhtälö.

Todiste. Todistakaamme tämä väite kahdelle epäyhtälölle, vaikka se on totta mille tahansa summalle. Anna epätasa-arvon

Määritelmän mukaan luvut ovat positiivisia; silloin myös niiden summa osoittautuu positiiviseksi, ts.

Ryhmittelemällä termit eri tavalla saamme

ja siten

ja tämä oli todistettava.

Mitään varmaa ei voida sanoa yleisessä tapauksessa kahden tai useamman erimerkityksellisen epätasa-arvon yhteenlaskemisesta johtuvan epätasa-arvon merkityksestä.

10. Jos yhdestä epäyhtälöstä vähennetään termi kerrallaan toinen päinvastainen epäyhtälö, niin muodostuu saman merkityksellinen epäyhtälö kuin ensimmäinen.

Todiste. Olkoon kaksi eri merkityksellistä epäyhtälöä. Toinen niistä voidaan peruuttamattomuuden ominaisuuden perusteella kirjoittaa uudelleen seuraavasti: d > c. Lisätään nyt kaksi samaa merkitystä omaavaa epäyhtälöä ja saadaan epäyhtälö

sama merkitys. Jälkimmäisestä löydämme

ja tämä oli todistettava.

Yleisessä tapauksessa ei voida sanoa mitään varmaa epäyhtälön merkityksestä, joka on saatu vähentämällä yhdestä epäyhtälöstä toinen samanmerkityksinen epäyhtälö.