Parallel chiziqlar, belgilar va parallel chiziqlar uchun shartlar. Ikki chiziqning parallellik belgilari

Parallel chiziqlar haqida tushuncha

Ta'rif 1

Parallel chiziqlar- bir tekislikda yotgan to'g'ri chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelmaydi va umumiy nuqtalarga ega emas.

Agar to'g'ri chiziqlar umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular kesishadi.

Agar barcha nuqtalar to'g'ri bo'lsa mos, keyin bizda asosan bitta to'g'ri chiziq bor.

Agar chiziqlar turli tekisliklarda yotsa, ularning parallelligi uchun shartlar biroz kattaroqdir.

Xuddi shu tekislikdagi to'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqishda quyidagi ta'rifni berish mumkin:

Ta'rif 2

Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ular kesishmasa.

Matematikada parallel chiziqlar odatda “$\parallel$” parallellik belgisi yordamida belgilanadi. Masalan, $c$ chizig'ining $d$ chizig'iga parallel ekanligi quyidagicha ifodalanadi:

$c\parallel d$.

Parallel segmentlar tushunchasi ko'pincha ko'rib chiqiladi.

Ta'rif 3

Ikki segment deyiladi parallel, agar ular parallel chiziqlar ustida yotsa.

Masalan, rasmda $AB$ va $CD$ segmentlari parallel, chunki ular parallel chiziqlarga tegishli:

$AB \parallel CD$.

Shu bilan birga $MN$ va $AB$ yoki $MN$ va $CD$ segmentlari parallel emas. Bu fakt belgilar yordamida quyidagicha yozilishi mumkin:

$MN ∦ AB$ va $MN ∦ CD$.

To'g'ri chiziq va bo'lakning, to'g'ri chiziq va nurning, segment va nurning yoki ikkita nurning parallelligi xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

Tarixiy ma'lumotnoma

Yunon tilidan "paralelos" tushunchasi "yoniga kelish" yoki "bir-birining yonida ushlab turish" deb tarjima qilingan. Bu atama qadimgi Pifagor maktabida parallel chiziqlar aniqlanishidan oldin ham ishlatilgan. Tarixiy faktlarga ko'ra, Evklid $III$ asrda. Miloddan avvalgi. uning asarlari shunga qaramay parallel chiziqlar tushunchasining ma'nosini ochib berdi.

Qadim zamonlarda parallel chiziqlarni belgilash belgisi zamonaviy matematikada ishlatadiganimizdan boshqacha ko'rinishga ega edi. Masalan, qadimgi yunon matematigi Pappus $III$ asrda. AD parallellik teng belgisi yordamida ko'rsatilgan. Bular. $l$ chizig'ining $m$ chizig'iga parallel ekanligi avvalroq "$l=m$" bilan belgilangan. Keyinchalik tanish “$\parallel$” belgisi chiziqlar parallelligini, teng belgisi esa sonlar va ifodalarning tengligini bildirish uchun ishlatila boshlandi.

Hayotdagi parallel chiziqlar

Biz ko'pincha oddiy hayotda biz juda ko'p parallel chiziqlar bilan o'ralganimizni sezmaymiz. Masalan, musiqa kitobida va notalar bilan qo'shiqlar to'plamida kadrlar parallel chiziqlar yordamida amalga oshiriladi. Parallel chiziqlar musiqa asboblarida ham uchraydi (masalan, arfa torlari, gitara, pianino tugmalari va boshqalar).

Ko'chalar va yo'llar bo'ylab joylashgan elektr simlari ham parallel ravishda o'tadi. Metro va temir yo'l liniyalarining relslari parallel joylashgan.

Kundalik hayotdan tashqari, parallel chiziqlar rasmda, arxitekturada va binolarni qurishda uchraydi.

Arxitekturada parallel chiziqlar

Taqdim etilgan tasvirlarda me'moriy tuzilmalar parallel chiziqlarni o'z ichiga oladi. Qurilishda parallel chiziqlardan foydalanish bunday tuzilmalarning xizmat qilish muddatini oshirishga yordam beradi va ularga g'ayrioddiy go'zallik, jozibadorlik va ulug'vorlikni beradi. Elektr uzatish liniyalari ham ularni kesib o'tmaslik yoki ularga tegmaslik uchun ataylab parallel yotqizilgan, bu esa qisqa tutashuvlar, uzilishlar va elektr energiyasini yo'qotishiga olib keladi. Poyezd erkin harakatlanishi uchun relslar ham parallel chiziqlarda qilingan.

Rassomlikda parallel chiziqlar bir chiziqqa yaqinlashuvchi yoki unga yaqin bo'lgan holda tasvirlangan. Ushbu uslub ko'rish illyuziyasidan kelib chiqadigan istiqbol deb ataladi. Agar siz masofaga uzoq vaqt qarasangiz, parallel to'g'ri chiziqlar ikkita yaqinlashuvchi chiziqqa o'xshaydi.

Ushbu maqola parallel chiziqlar va parallel chiziqlar haqida. Birinchidan, tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlarning ta'rifi beriladi, yozuvlar kiritiladi, parallel chiziqlarga misollar va grafik tasvirlar keltiriladi. Keyinchalik, chiziqlar parallelligining belgilari va shartlari muhokama qilinadi. Xulosa qilib, tekislikdagi va uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqning ma'lum tenglamalari bilan berilgan chiziqlar parallelligini isbotlashning tipik muammolarining echimlari ko'rsatilgan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.

Ta'rif.

Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Ta'rif.

Uch o'lchovli fazoda ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa.

E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlarni belgilashda "agar ular bir tekislikda yotsa" bandi juda muhimdir. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik: uch o'lchovli fazoda umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq parallel emas, balki kesishadi.

Bu erda parallel chiziqlarga misollar keltiramiz. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlarda yotadi. Uyning devorining tekisligi shift va zaminning tekisliklarini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar parallel. Tekis yerdagi temir yo'l relslarini ham parallel chiziqlar deb hisoblash mumkin.

Parallel chiziqlarni belgilash uchun "" belgisidan foydalaning. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, biz qisqacha a b yozishimiz mumkin.

Iltimos, diqqat qiling: agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, u holda a chizig'i b chiziqqa parallel, shuningdek, b chiziq a chiziqqa parallel deb aytishimiz mumkin.

Tekislikdagi parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan gapni aytaylik: berilgan to'g'rida yotmagan nuqta orqali unga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq o'tadi. Bu fikr fakt sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teorema yuqoridagi parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osongina isbotlanadi (uning isbotini 10-11-sinflar uchun geometriya darsligidan topishingiz mumkin, adabiyotlar roʻyxatida maqola oxirida keltirilgan).

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teoremani yuqoridagi parallel chiziq aksiomasi yordamida osongina isbotlash mumkin.

Chiziqlar parallelligi - parallellik belgilari va shartlari.

Chiziqlar parallelligi belgisi chiziqlar parallel bo'lishi uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi chiziqlar parallel bo'lishini kafolatlaydigan shart. Boshqacha qilib aytganda, ushbu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini aniqlash uchun etarli.

Tekislik va uch o'lchovli fazoda chiziqlar parallelligi uchun ham zarur va etarli shartlar mavjud.

Keling, "Paralel chiziqlar uchun zarur va etarli shart" iborasining ma'nosini tushuntiramiz.

Biz allaqachon parallel chiziqlar uchun etarli shartni ko'rib chiqdik. "Paralel chiziqlar uchun zaruriy shart" nima? "Zarur" nomidan ko'rinib turibdiki, bu shartning bajarilishi parallel chiziqlar uchun zarurdir. Boshqacha qilib aytganda, agar chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur shart bajarilmasa, u holda chiziqlar parallel emas. Shunday qilib, parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart bajarilishi parallel chiziqlar uchun ham zarur, ham yetarli shartdir. Ya'ni, bir tomondan, bu chiziqlar parallelligining belgisi bo'lsa, ikkinchi tomondan, bu parallel chiziqlarga ega bo'lgan xususiyatdir.

Chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartni shakllantirishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish tavsiya etiladi.

Sekant chiziq berilgan ikkita to‘g‘ri kelmaydigan chiziqning har birini kesib o‘tuvchi chiziq.

Ikki to'g'ri chiziq ko'ndalang chiziq bilan kesishganda, sakkizta rivojlanmagan to'g'ri chiziq hosil bo'ladi. Chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shartni shakllantirishda, deyiladi ko'ndalang yotish, mos keladigan Va bir tomonlama burchaklar. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq koʻndalang kesishgan boʻlsa, ular parallel boʻlishi uchun kesishuvchi burchaklar teng boʻlishi yoki mos burchaklar teng boʻlishi yoki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180 ga teng boʻlishi zarur va yetarlidir. daraja.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartning grafik tasvirini ko'rsatamiz.

Chiziqlar parallelligi uchun ushbu shartlarning isbotini 7-9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.

E'tibor bering, bu shartlar uch o'lchovli fazoda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi ikkita to'g'ri chiziq va sekant bir tekislikda yotadi.

Bu erda ko'pincha chiziqlar parallelligini isbotlash uchun ishlatiladigan yana bir nechta teoremalar mavjud.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar uchun ham xuddi shunday holat mavjud.

Teorema.

Agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti 10-sinfda geometriya darslarida muhokama qilinadi.

Keling, aytilgan teoremalarni tasvirlaylik.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligini isbotlash imkonini beruvchi yana bir teoremani keltiraylik.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Kosmosdagi chiziqlar uchun ham xuddi shunday teorema mavjud.

Teorema.

Agar uch o'lchamli fazodagi ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Keling, ushbu teoremalarga mos keladigan rasmlarni chizamiz.

Yuqorida keltirilgan barcha teoremalar, mezonlar va zarur va etarli shartlar geometriya usullaridan foydalangan holda chiziqlar parallelligini isbotlash uchun juda yaxshi. Ya'ni, berilgan ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatish yoki ko'ndalang yotgan burchaklarning tengligini ko'rsatish kerak va hokazo. O'rta maktabda geometriya darslarida shunga o'xshash ko'plab masalalar hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinata usulini qo'llash qulay. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'rsatilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi.

Maqolaning ushbu bandida biz shakllantiramiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab, va biz xarakterli masalalarning batafsil echimlarini ham taqdim etamiz.

Oxy to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq parallellik shartidan boshlaylik. Uning isboti chiziqning yo'nalish vektorini aniqlashga va tekislikdagi chiziqning normal vektorini aniqlashga asoslangan.

Teorema.

Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.

Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalish vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va Va mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, a va b chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida, a va b chiziqlarning yo'riqnomalari va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari chiziqlarning ma'lum tenglamalari yordamida topiladi.

Xususan, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a to'g'ri chiziq tekislikdagi Oxy shaklning umumiy to'g'ri chiziq tenglamasini aniqlaydi. , va to'g'ri chiziq b - , u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalarga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.

Agar a chiziq burchak koeffitsientiga ega bo'lgan chiziq tenglamasiga to'g'ri kelsa va chiziq b - bo'lsa, u holda bu chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarga ega va bu chiziqlarning parallellik sharti shaklni oladi. . Binobarin, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi chiziqlar parallel bo'lsa va burchak koeffitsientlari bo'lgan chiziqlar tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan chiziqlar teng burchak koeffitsientlariga ega bo'lgan chiziq tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, unda bunday chiziqlar parallel bo'ladi.

Agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamalari bilan aniqlansa. Va , yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari Va shunga ko'ra, bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'lib, a va b chiziqlarning parallellik sharti sifatida yoziladi.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqlar parallelmi? Va ?

Yechim.

Keling, segmentlardagi chiziq tenglamasini chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz: . Endi biz chiziqning normal vektori ekanligini ko'rishimiz mumkin , a - chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki t tengligi ( ). Binobarin, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.

Javob:

Yo'q, chiziqlar parallel emas.

Misol.

To'g'ri chiziqlar va parallelmi?

Yechim.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz:. Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda, berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning burchak koeffitsientlari tengdir, shuning uchun dastlabki chiziqlar paralleldir.

3/3 sahifa

21-savol. Uchburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi nimaga teng?
Javob. ABC uchburchakning A uchidagi burchagi AB va AC yarim chiziqlari hosil qilgan burchakdir. Uchburchakning B va C uchlaridagi burchaklari ham aniqlanadi.

22-savol. Qaysi segmentlar teng deb ataladi?
Javob. Agar ularning uzunligi teng bo'lsa, segmentlar teng deb ataladi.
Savol 23. Qanday burchaklar teng deb ataladi?
Javob. Burchaklar, agar ularning daraja o'lchovlari teng bo'lsa, ular teng deyiladi.
24-savol. Qaysi uchburchaklar teng deb ataladi?
Javob. Uchburchaklar, agar ularning mos tomonlari teng va mos burchaklari teng bo'lsa, ular konngruent deyiladi. Bunday holda, tegishli burchaklar mos keladigan tomonlarga qarama-qarshi yotishi kerak.
25-savol. Teng uchburchaklar uchun rasmda mos tomonlar va burchaklar qanday belgilangan?
Javob. Chizmada odatda teng segmentlar bir, ikki yoki uchta chiziq bilan, teng burchaklar esa bir, ikki yoki uchta yoy bilan belgilanadi.

26-savol. 23-rasmdan foydalanib, shunga teng uchburchak mavjudligini tushuntiring.
Javob.

Keling, ABC uchburchagi va a nuriga ega bo'lsin (23-rasm, a). ABC uchburchagini shunday ko‘chiramizki, uning A cho‘qqisi a nurning boshi bilan, B cho‘qqisi a nurda, C cho‘qqisi a nuriga va uning kengaytmasiga nisbatan berilgan yarim tekislikda bo‘lsin. Ushbu yangi holatda uchburchakmizning uchlarini A 1, B 1, C 1 deb belgilaymiz (23-rasm, b).
A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchakka teng.
27-savol. Qaysi chiziqlar parallel deyiladi? Parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun qanday belgi qo'llaniladi?
Javob. Ikki chiziq kesishmasa, parallel deyiladi. Chiziqlarning parallelligini ko'rsatish uchun belgi ishlatiladi

28-savol. Parallel chiziqlarning asosiy xossasini ayting.
Javob. Berilgan to‘g‘rida yotmagan nuqta orqali tekislikda berilgan nuqtaga ko‘pi bilan bitta to‘g‘ri chiziq chizish mumkin.
29-savol. Teoremaga misol keltiring.
Javob. Agar uchburchakning hech bir cho‘qqisidan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziq uning bir tomonini kesib o‘tsa, u holda qolgan ikki tomonining faqat bittasini kesib o‘tadi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Ikki chiziqning parallellik belgilari

Teorema 1. Agar ikkita chiziq sekant bilan kesishganda:

kesishgan burchaklar teng yoki

mos burchaklar teng yoki

bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 °, keyin

chiziqlar parallel(1-rasm).

Isbot. Biz 1-holati isbotlash bilan cheklanamiz.

Kesuvchi a va b to'g'rilar ko'ndalang bo'lsin va AB burchaklari teng bo'lsin. Masalan, ∠ 4 = ∠ 6. a || ekanligini isbotlaylik b.

Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. Keyin ular M nuqtada kesishadi va shuning uchun 4 yoki 6 burchaklardan biri ABM uchburchakning tashqi burchagi bo'ladi. Aniqlik uchun ABM uchburchakning tashqi burchagi ∠ 4, ichki burchagi ∠ 6 bo'lsin. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan kelib chiqadiki, ∠ 4 ∠ 6 dan katta va bu shartga ziddir, ya'ni a va 6 chiziqlar kesishishi mumkin emas, shuning uchun ular parallel.

Xulosa 1. Bir tekislikka perpendikulyar bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq parallel(2-rasm).

Izoh. Biz hozirgina 1-teoremaning 1-holatini isbotlagan usulimiz qarama-qarshilik yoki absurdlikka qisqartirish orqali isbotlash usuli deb ataladi. Bu usul o'zining birinchi nomini oldi, chunki argumentning boshida isbotlanishi kerak bo'lgan narsaga zid (teskari) taxmin qilingan. Bu bema'nilikka olib boruvchi deb ataladi, chunki faraz asosida fikr yuritib, biz bema'ni xulosaga kelamiz (absurdga). Bunday xulosani qabul qilish bizni boshida qilingan taxminni rad etishga va isbotlanishi kerak bo'lgan taxminni qabul qilishga majbur qiladi.

Vazifa 1. Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi va berilgan a to‘g‘riga parallel, M nuqtadan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqni quring.

Yechim. M nuqta orqali a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar p to'g'ri chiziq o'tkazamiz (3-rasm).

Keyin M nuqta orqali p chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. 1-teoremaning xulosasiga ko'ra b chiziq a chiziqqa parallel.

Ko'rib chiqilgan muammodan muhim xulosa kelib chiqadi:
berilgan chiziqda yotmagan nuqta orqali har doim berilgan chiziqqa parallel chiziq chizish mumkin.

Parallel chiziqlarning asosiy xossasi quyidagicha.

Parallel chiziqlar aksiomasi. Berilgan toʻgʻrida yotmaydigan berilgan nuqta orqali berilgan nuqtaga parallel boʻlgan faqat bitta chiziq oʻtadi.

Keling, bu aksiomadan kelib chiqadigan parallel chiziqlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

1) Agar chiziq ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan birini kesib oʻtsa, u boshqasini ham kesib oʻtadi (4-rasm).

2) Agar ikki xil chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi (5-rasm).

Quyidagi teorema ham to'g'ri.

Teorema 2. Agar ikkita parallel chiziq ko‘ndalang chiziq bilan kesishsa, u holda:

ko'ndalang burchaklar teng;

mos burchaklar teng;

bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180° ga teng.

Xulosa 2. Agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi(2-rasmga qarang).

Izoh. 2-teorema 1-teoremaga teskari deyiladi. 1-teoremaning xulosasi 2-teoremaning sharti. 1-teoremaning sharti esa 2-teoremaning xulosasidir. Har bir teorema teskari emas, yaʼni berilgan teorema rost bo'lsa, teskari teorema noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolidan foydalanib tushuntiramiz. Bu teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir. Qarama-qarshi teorema quyidagicha bo'ladi: agar ikkita burchak teng bo'lsa, ular vertikaldir. Va bu, albatta, to'g'ri emas. Ikki teng burchak vertikal bo'lishi shart emas.

1-misol. Ikki parallel chiziq uchdan biri bilan kesishadi. Ma'lumki, ikkita ichki bir tomonlama burchaklar orasidagi farq 30 ° ga teng. Bu burchaklarni toping.

Yechim. 6-rasm shartga mos kelsin.