Suurin yhteinen osinko kuinka löytää. Miksi ottaa käyttöön lukujen "suurin yhteinen jakaja (GCD)" ja "pienin yhteinen kerrannainen (LCM)" käsitteet koulun matematiikan kurssilla

Lancinova Aisa

Ladata:

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

GCD- ja NOC-numeroiden tehtävät MCOU "Kamyshovskaya OOSH" 6. luokan opiskelijan työ Lantsinova Aisa Ohjaaja Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematiikan opettaja s. Kamyshovo, 2013

Esimerkki lukujen 50, 75 ja 325 GCD:n löytämisestä. 1) Jaamme luvut 50, 75 ja 325 alkutekijöiksi. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Poista yhden näistä luvuista jaotteluun sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden hajotukseen. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 3) Laske jäljellä olevien tekijöiden tulo 5 ∙ 5 = 25 Vastaus: GCD (50, 75 ja 325 suurin) luku, jolla on jaollinen ilman jäännöstä, lukuja a ja b kutsutaan näiden lukujen suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.

Esimerkki lukujen 72, 99 ja 117 LCM:n löytämisestä.1) Laajennetaan luvut 72, 99 ja 117 alkutekijöiksi.72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 7 = 11 3 ∙ 3 ∙ 13 2) Kirjoita muistiin tekijät, jotka sisältyvät yhden luvun 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 hajotukseen, ja lisää niihin muiden lukujen puuttuvat tekijät. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Laske tuloksena olevien tekijöiden tulo. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 = 10296 Vastaus: LCM (72, 99 ja 117) = 10296 Pienin yhteinen kerrannainen luonnolliset luvut a ja b kutsutaan pienimmäksi luonnolliseksi luvuksi, joka on a:n ja b:n kerrannainen.

Pahvilevy on suorakulmion muotoinen, jonka pituus on 48 cm ja leveys 40 cm. Tämä arkki on leikattava ilman hukkaa yhtä suuriksi neliöiksi. Mitkä ovat suurimmat neliöt, jotka voit saada tästä arkista ja kuinka monta? Ratkaisu: 1) S = a ∙ b - suorakulmion pinta-ala. S = 48 ∙ 40 = 1960 cm ². - pahvin alue. 2) a - neliön sivu 48: a - niiden ruutujen lukumäärä, jotka voidaan asettaa kartongin pituudelle. 40: a - niiden neliöiden lukumäärä, jotka voidaan asettaa pahvin leveydelle. 3) GCD (40 ja 48) = 8 (cm) - neliön sivu. 4) S = a² - yhden neliön pinta-ala. S = 8² = 64 (cm ².) - yhden neliön pinta-ala. 5) 1960: 64 = 30 (neliöiden lukumäärä). Vastaus: 30 ruutua, joiden jokaisen sivu on 8 cm. GCD tehtäviä

Huoneen takka on asetettava neliön muotoisilla viimeistelylaatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitaan takkaan, jonka koko on 195 ͯ 156 cm ja mitkä ovat suurimmat mitat laatat? Ratkaisu: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - tulisijan pinnan S. 2) GCD (195 ja 156) = 39 (cm) - laatan sivu. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 laatan pinta-ala. 4) 30420: = 20 (kpl). Vastaus: 20 laattaa, joiden mitat ovat 39 ͯ 39 (cm). GCD tehtäviä

Puutarhatontti, jonka koko on 54 ͯ 48 m, on aidattava kehälle, jota varten on sijoitettava betonipilarit säännöllisin väliajoin. Kuinka monta pilaria tontille on tuotava ja millä etäisyydellä toisistaan ​​pilarit pysyvät korkeintaan? Ratkaisu: 1) P = 2 (a + b) - alueen ympärysmitta. P = 2 (54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 ja 48) = 6 (m) - pylväiden välinen etäisyys. 3) 204: 6 = 34 (pilari). Vastaus: 34 pilaria, etäisyydellä 6 m. GCD:n ongelmia

Kimppuja kerättiin 210 viininpunaisesta, 126 valkoisesta ja 294 punaisesta ruususta, ja jokaisessa kimpussa samanvärisiä ruusuja on yhtä paljon. Mikä suurin määrä näistä ruusuista tehtiin kukkakimppuja ja kuinka monta ruusua kustakin väristä on yhdessä kimpussa? Ratkaisu: 1) GCD (210, 126 ja 294) = 42 (kimppu). 2) 210:42 = 5 (burgundinpunaiset ruusut). 3) 126:42 = 3 (valkoiset ruusut). 4) 294:42 = 7 (punaiset ruusut). Vastaus: 42 kimppua: 5 viininpunaista, 3 valkoista, 7 punaista ruusua jokaisessa kimpussa. GCD tehtäviä

Tanya ja Masha ostivat saman määrän postipaketteja. Tanya maksoi 90 ruplaa ja Masha 5 ruplaa. lisää. Paljonko yksi setti maksaa? Kuinka monta sarjaa kukin osti? Ratkaisu: 1) 90 + 5 = 95 (ruplaa) Mashan maksama. 2) GCD (90 ja 95) = 5 (hankaa) - 1 sarjan hinta. 3) 980: 5 = 18 (sarjaa) - ostanut Tanya. 4) 95: 5 = 19 (settiä) - ostanut Masha. Vastaus: 5 ruplaa, 18 sarjaa, 19 sarjaa. GCD tehtäviä

Satamakaupungissa alkaa kolme turistivenematkaa, joista ensimmäinen kestää 15 päivää, toinen - 20 ja kolmas - 12 päivää. Palattuaan satamaan moottorialukset lähtevät uudelleen matkalle samana päivänä. Tänään moottorialukset ovat lähteneet satamasta kaikilla kolmella reitillä. Kuinka monen päivän kuluttua he lähtevät purjehtimaan yhdessä ensimmäistä kertaa? Kuinka monta matkaa kukin laiva tekee? Ratkaisu: 1) LCM (15.20 ja 12) = 60 (päivää) - kokousaika. 2) 60: 15 = 4 (matkat) - 1 moottorialus. 3) 60: 20 = 3 (matkat) - 2 moottorilaivaa. 4) 60: 12 = 5 (lennot) - 3 moottorilaivaa. Vastaus: 60 päivää, 4 lentoa, 3 lentoa, 5 lentoa. NOC:n tavoitteet

Masha osti karhulle munia kaupasta. Matkalla metsään hän tajusi, että munien määrä on jaollinen 2,3,5,10 ja 15:llä. Kuinka monta munaa Masha osti? Ratkaisu: LCM (2; 3; 5; 10; 15) = 30 (munaa) Vastaus: Masha osti 30 munaa. NOC:n tavoitteet

16–20 cm:n laatikoiden säilyttämiseen vaaditaan neliömäinen laatikko, mikä tulee olla neliömäisen pohjan sivun pienin pituus, jotta laatikot mahtuvat tiukasti laatikkoon? Ratkaisu: 1) LCM (16 ja 20) = 80 (laatikot). 2) S = a ∙ b - 1 laatikon pinta-ala. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm ²) - 1 laatikon alaosa. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - neliömäinen pohja-ala. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 - laatikon mitat. Vastaus: 160 cm - neliömäisen pohjan sivu. NOC:n tavoitteet

Tien varrella pisteestä K on voimajohtopylväitä 45 m välein. Nämä pylväät päätettiin korvata muilla asettamalla ne 60 m etäisyydelle toisistaan. Kuinka monta pylvästä siellä oli ja kuinka monta ne seisoo? Ratkaisu: 1) LCM (45 ja 60) = 180,2) 180: 45 = 4 - siellä oli pilareita. 3) 180: 60 = 3 - siellä oli pilareita. Vastaus: 4 pilaria, 3 pilaria. NOC:n tavoitteet

Kuinka monta sotilasta marssii paraatikentällä, jos he marssivat 12 hengen muodostelmassa jonossa ja järjestäytyvät uudelleen 18 hengen kolonniksi jonossa? Ratkaisu: 1) NOC (12 ja 18) = 36 (henkilöä) - marssi. Vastaus: 36 henkilöä. NOC:n tavoitteet

Kuinka löytää LCM (pienin yhteinen kerrannainen)

Kahden kokonaisluvun yhteinen kerrannainen on kokonaisluku, joka on tasan jaollinen molemmilla annetuilla luvuilla.

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen on pienin kaikista kokonaisluvuista, joka on tasaisesti jaollinen molemmilla annetuilla luvuilla.

Menetelmä 1... Voit löytää LCM:n vuorostaan ​​jokaiselle annetulle luvulle kirjoittamalla nousevaan järjestykseen kaikki luvut, jotka saadaan kertomalla ne luvulla 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Esimerkki numeroille 6 ja 9.
Kerromme luvun 6 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 6, 12, 18 , 24, 30
Kerromme luvun 9 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 9, 18 , 27, 36, 45
Kuten näet, numeroiden 6 ja 9 LCM on 18.

Tämä menetelmä on kätevä, kun molemmat luvut ovat pieniä ja helppo kertoa kokonaislukusarjalla. Joskus sinun on kuitenkin löydettävä LCM kaksinumeroisille tai kolminumeroisille luvuille, samoin kuin silloin, kun alkuperäiset numerot ovat kolme tai jopa enemmän.

Menetelmä 2... Löydät LCM:n laajentamalla alkuperäiset luvut alkutekijöiksi.
Laajennuksen jälkeen on välttämätöntä poistaa samat luvut tuloksena olevasta alkutekijöiden sarjasta. Ensimmäisen luvun jäljelle jääneet luvut ovat toisen kertoimena ja toisen jäljelle jääneet luvut ensimmäisen luvut.

Esimerkki numeroille 75 ja 60.
Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​riviin. Tätä varten laajennamme 75 ja 60 alkutekijöiksi:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kuten näet, tekijät 3 ja 5 löytyvät molemmista riveistä. Henkisesti "rajaamme" ne pois.
Kirjoitetaan loput tekijät, jotka sisältyvät kunkin näiden lukujen hajotukseen. Laajennettaessa numeroa 75, meillä on jäljellä numero 5 ja laajennettaessa numeroa 60, meillä on 2 * 2
Joten määrittääksemme LCM:n numeroille 75 ja 60, meidän on kerrottava loput luvut 75: n hajottelusta (tämä on 5) 60: llä ja luvut, jotka jäävät luvun 60 hajotuksesta (tämä on 2 * 2 ) kerrotaan 75:llä. Eli ymmärtämisen helpottamiseksi sanomme, että kerromme "ristikkäin".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Näin löysimme LCM:n numeroille 60 ja 75. Tämä on luku 300.

Esimerkki... Määritä LCM numeroille 12, 16, 24
Tässä tapauksessa toimintamme ovat hieman monimutkaisempia. Mutta ensin, kuten aina, hajotetaan kaikki luvut alkutekijöiksi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM:n määrittämiseksi oikein valitsemme kaikista luvuista pienimmän (tämä on luku 12) ja käymme sen kertoimet peräkkäin läpi ja ylitämme ne, jos ainakin yksi muista numerosarjoista sisältää saman, vielä yliviivaamattoman kertoimen.

Vaihe 1 . Näemme, että 2 * 2 esiintyy kaikilla numeroriveillä. Yliviivaa ne.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Vaihe 2. Luvun 12 alkutekijöissä jää jäljelle vain luku 3. Mutta se on läsnä luvun 24 alkutekijöissä. Yliviivaa numero 3 molemmilta riveiltä, ​​kun taas luvulle 16 ei ole mitään toimintoa.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kuten näette, laajentaessamme numeroa 12 "viivasimme" kaikki numerot yli. Tämä tarkoittaa, että NOC:n löytäminen on valmis. Jää vain laskea sen arvo.
Luvulle 12 otamme luvun 16 jäljellä olevat tekijät (lähin nousevassa järjestyksessä)
12 * 2 * 2 = 48
Tämä on NOC

Kuten näette, tässä tapauksessa LCM:n löytäminen oli hieman vaikeampaa, mutta kun sinun on löydettävä se kolmelle tai useammalle numerolle, tällä tavalla antaa sinun tehdä sen nopeammin. Molemmat menetelmät LCM:n löytämiseksi ovat kuitenkin oikeita.

Määritelmä. Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen tekijä (gcd) nämä numerot.

Etsi suurin yhteinen jakaja numerot 24 ja 35.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan keskenään yksinkertaisia.

Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan keskenään yksinkertaisia jos niiden suurin yhteinen jakaja (GCD) on 1.

Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.

Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Poista näistä luvuista ensimmäisen jaotteluun sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly toisen luvun hajotukseen (eli kaksi kaksikkoa).
Tekijät pysyvät 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.

Löytää suurin yhteinen tekijä

2) poista yhden näistä luvuista jaotteluun sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen jaotteluun;
3) etsi jäljellä olevien tekijöiden tulo.

Jos kaikki nämä luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen tekijä annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska kaikki muut luvut ovat jaettavissa sillä: 45, 75 ja 180.

LCM (Least Common Multiple)

Määritelmä. LCM (Least Common Multiple) luonnollisia lukuja a ja b kutsutaan pienimmäksi luonnolliseksi luvuksi, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​riviin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 alkutekijöiksi: 75 = 3 * 5 * 5 ja 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitetaan näistä ensimmäisen luvun hajotukseen sisältyvät tekijät ja lisätään niihin toisen luvun hajotuksesta puuttuvat tekijät 2 ja 2 (eli yhdistetään tekijät).
Saamme viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on 75:n ja 60:n pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi myös pienin yhteinen kerrannainen kolmelle tai useammalle numerolle.

Vastaanottaja löytää pienin yhteinen moninkertainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun hajotukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Huomaa, että jos yksi näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen on 60, koska se on jaollinen kaikilla näillä luvuilla.

Pythagoras (VI vuosisata eaa.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Lukua, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen jakajien summa (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydelliseksi luvuksi. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää tulona alkuluvut, eli alkuluvut ovat kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että alkuluvut luonnollisten lukujen sarjassa esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjoissa, sitä vähemmän yleisiä ovat alkuluvut. Herää kysymys: onko viimeistä (suurinta) alkulukua? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (III vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli kaksituhatta vuotta matematiikan pääoppikirja, että alkulukuja on äärettömästi, eli jokaisen alkuluvun takana on vielä suurempi alkuluku. .
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku, ja ylitti sitten kaikki luvut 2:n jälkeen (2:lla jaolliset luvut, eli 4, 6, 8 jne. .). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kaikki numerot 3:n jälkeen (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.) yliviivattiin kahden jälkeen. lopulta vain alkuluvut jäivät ylittämättä.

Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

esimerkiksi:

Luku 12 jaetaan 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen luvuilla 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Luvut, joilla luku on tasan jaollinen (12:lle se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan jakajat... Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annettu numero a ilman jäännöstä. Kutsutaan luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi jakajaa komposiitti .

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset tekijät. Nämä ovat lukuja: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12. Kahden annetun luvun yhteinen jakaja a ja b- tämä on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b.

Yhteinen monikerta useat luvut on luku, joka on jaollinen kullakin näistä luvuista. esimerkiksi, luvuilla 9, 18 ja 45 on 180:n yhteinen kerrannainen. Mutta 90 ja 360 ovat myös niiden yhteiset kerrannaiset. Kaikista j-kokonaiskerroista löytyy aina pienin, tässä tapauksessa se on 90. Tätä lukua kutsutaan ns. pieninyhteinen moninkertainen (LCM).

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritetty.

LCM (Least Common Multiple). Ominaisuudet.

Vaihdettavuus:

Assosiaatio:

Erityisesti, jos ja ovat koparriumilukuja, niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n... Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m, n osuu yhteen LCM:n kerrannaisjoukon kanssa ( m, n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-funktio... Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g (n).

Mitä seuraa alkulukujen jakautumislaista.

LCM:n (pienimmän yhteiskerran) löytäminen.

LCM ( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1, ..., p k- erilaisia ​​alkulukuja ja d 1, ..., d k ja e 1, ..., e k- ei-negatiiviset kokonaisluvut (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku puuttuu hajotuksesta).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-hajotelma sisältää kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät ainakin yhteen numerolaajennuksista a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen laskeminen voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- siirtää suurin laajennus halutun tuotteen tekijöihin (tekijöiden tulo suuri numero annetuista) ja lisää sitten kertoimet muiden lukujen laajennuksesta, jotka eivät esiinny ensimmäisessä numerossa tai ovat siinä harvemmin;

- alkutekijöiden tuloksena saatu tulo on annettujen lukujen LCM.

Kaikilla kahdella tai useammalla luonnollisella luvulla on LCM. Jos luvut eivät ole toistensa kerrannaisia ​​tai niillä ei ole samoja kertoimia laajennuksessa, niin niiden LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Numeron 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), tulokseksi saatava tulo (84) on pienin numero joka on jaollinen luvuilla 21 ja 28.

Suurimman luvun 30 alkutekijöitä täydennettiin kertoimella 5 luvusta 25, tuloksena saatu tulo 150 on suurempi kuin suurin luku 30 ja jaetaan kaikilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä. Tämä on pienin mahdollinen tulo (150, 250, 300 ...), joka on kaikkien annettujen lukujen kerrannainen.

Luvut 2,3,11,37 ovat yksinkertaisia, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

Sääntö... Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut keskenään.

Toinen vaihtoehto:

Löytääksesi useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) tarvitset:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, ​​esimerkiksi:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita jokaisen näiden luvun kaikki alkujakajat (tekijät);

4) valitse kunkin niistä korkein aste, joka löytyy näiden numeroiden kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä asteet.

Esimerkki... Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Ratkaisu... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kirjoitamme kaikkien alkutekijöiden suurimmat tehot ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

Monet jakajat

Harkitse seuraavaa ongelmaa: etsi luvun 140 jakaja. On selvää, että luvulla 140 on useampi kuin yksi jakaja. Tällaisissa tapauksissa ongelman sanotaan olevan joukko ratkaisuja. Etsitään ne kaikki. Ensinnäkin laajennetaan tämä luku alkutekijöiksi:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nyt voimme helposti kirjoittaa kaikki jakajat. Aloitetaan alkujakajilla, eli niillä, jotka ovat läsnä yllä olevassa hajotuksessa:

Sitten kirjoitetaan ne, jotka saadaan kertomalla alkujakajia pareittain:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Sitten - ne, jotka sisältävät kolme päätekijää:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Lopuksi, älkäämme unohtako yksikköä ja itse numeroa hajoamassa:

Kaikki löytämämme jakajat ovat muotoa joukko 140:n jakaja, joka kirjoitetaan aaltosulkeilla:

Jakajasarja 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Havaintokyvyn helpottamiseksi olemme kirjoittaneet tähän jakajat ( setin elementtejä) nousevassa järjestyksessä, mutta yleisesti ottaen tämä on valinnaista. Lisäksi esittelemme merkinnän lyhenteen. "Luvun 140 jakajajoukon" sijaan kirjoitamme "D (140)". Tällä tavalla,

Samalla tavalla voit löytää joukon jakajia mille tahansa muulle luonnolliselle luvulle. Esimerkiksi hajoamisesta

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

saamme:

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Kaikkien jakajien joukko tulee erottaa alkujakajien joukosta, jotka ovat samat numeroille 140 ja 105:

PD (140) = (2, 5, 7).

PD (105) = (3, 5, 7).

On korostettava, että 140:n hajotuksessa alkutekijöiksi kaksi on läsnä kaksi kertaa, kun taas DP:iden (140) joukossa on vain yksi. Joukko PD (140) on pohjimmiltaan kaikki vastaukset ongelmaan: "Etsi alkutekijä 140". On selvää, että samaa vastausta ei pidä toistaa useammin kuin kerran.

Murtolukujen vähentäminen. Suurin yhteinen jakaja

Harkitse murto-osaa

Tiedämme, että tämä murto-osa voidaan peruuttaa luvulla, joka on sekä osoittajan (105) että nimittäjän (140) jakaja. Katsotaanpa joukkoja D (105) ja D (140) ja kirjoitetaan ne muistiin yhteisiä elementtejä.

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D (140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Joukkojen D (105) ja D (140) yhteiset elementit =

Viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa lyhyemmin, nimittäin:

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35).

Tässä erityinen merkki "∩" ("pussi, jossa reikä alas") osoittaa vain, että sen vastakkaisille puolille kirjoitetuista kahdesta joukosta tulee valita vain yhteiset elementit. Tietue "D (105) ∩ D (140)" lukee " ylitys asettaa Te:stä 105:stä ja Te:stä 140".

[Huomaa matkan varrella, että voit suorittaa erilaisia ​​binääritoimintoja joukoilla, melkein kuin numeroiden kanssa. Toinen yleinen binääritoiminto on yhdistys, joka on merkitty kuvakkeella "∪" ("pussi jossa reikä"). Kahden joukon liitto sisältää sekä toisen että toisen joukon kaikki elementit:

PD (105) = (3, 5, 7);

PD (140) = (2, 5, 7);

PD (105) ∪ PD (140) = (2, 3, 5, 7). ]

Joten saimme selville, että murto-osa

voidaan peruuttaa millä tahansa sarjaan kuuluvalla numerolla

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35)

eikä sitä voi vähentää millään muulla luonnollisella luvulla. Siinä kaikki mahdollisia tapoja lyhenteet (paitsi epämiellyttävä lyhenne yhdellä):

Ilmeisesti on käytännöllisintä pienentää murtolukua mahdollisimman suurella luvulla. Tässä tapauksessa tämä on numero 35, jonka sanotaan olevan suurin yhteinen tekijä (Gcd) numerot 105 ja 140. Tämä kirjoitetaan muodossa

GCD (105, 140) = 35.

Käytännössä kuitenkin, jos meille annetaan kaksi numeroa ja meidän on löydettävä niiden suurin yhteinen jakaja, meidän ei tarvitse rakentaa yhtään joukkoa. Riittää, kun lasket molemmat luvut alkutekijöiksi ja korostaa niitä tekijöitä, jotka ovat yhteisiä molemmille laajennuksille, esimerkiksi:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Kertomalla alleviivatut luvut (missä tahansa laajennuksissa), saamme:

GCD (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Tietysti tilanne on mahdollinen, kun alleviivattuja tekijöitä on enemmän kuin kaksi:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Tästä on selvää, että

GCD (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Erityinen mainitsemisen arvoinen tilanne, kun yhteisiä tekijöitä ei ole ollenkaan eikä ole mitään korostettavaa, esim.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Tässä tapauksessa,

GCD (42, 55) = 1.

Kutsutaan kahta luonnollista lukua, joiden GCD on yhtä suuri kuin yksi keskenään yksinkertaisia... Jos muodostat murto-osan sellaisista luvuista, esim.

niin tällainen murto-osa on vähentymätön.

Yleisesti ottaen murtolukujen pienentämissääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

		a/ Gcd ( a, b)
		b/ Gcd ( a, b)

Tässä oletetaan, että a ja b- luonnolliset luvut, ja koko murtoluku on positiivinen. Jos nyt annamme miinusmerkin tämän yhtälön molemmille puolille, saamme vastaavan säännön negatiivisille murtoluvuille.

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Pienin yleinen monikerta

Lasketaan kahden murto-osan summa:

Tiedämme jo kuinka nimittäjät jaetaan alkutekijöiksi:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Tästä laajennuksesta seuraa välittömästi, että fraktioiden vähentämiseksi yhteinen nimittäjä, riittää kertomaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla 2∙ 2 (toisen nimittäjän korostamattomien alkutekijöiden tulo) ja toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kolmella (murtoluvun "tulo"). ensimmäisen nimittäjän korostamattomat alkutekijät). Tämän seurauksena molempien murtolukujen nimittäjistä tulee yhtä suuria lukuja, jotka voidaan esittää seuraavasti:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

On helppo nähdä, että molemmat alkuperäiset nimittäjät (sekä 105 että 140) ovat luvun 420 jakajia, ja 420 puolestaan ​​on molempien nimittäjien kerrannainen - eikä vain kerrannainen, se on vähiten yhteinen kerrannainen (NOC) numerot 105 ja 140. Se kirjoitetaan näin:

LCM (105, 140) = 420.

Kun tarkastellaan tarkemmin lukujen 105 ja 140 hajotusta, näemme, että

105 ∙ 140 = LCM (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Samoin mielivaltaisille luonnollisille luvuille b ja d:

b ∙ d= LCM ( b, d) ∙ GCD ( b, d).

Lopetetaan nyt murtolukumme yhteenlaskeminen:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Merkintä. Joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä, mikä luvun neliö on. Neliöllinen luku a soitti numeroon a kerrottuna itsestään, eli a∙a... (Kuten voit helposti nähdä, se on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jossa on sivu a).