Теория вероятностей математическая наука изучающая закономерности. Введение

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.

Введение. Предмет теории вероятностей

· Детерминизм и стохастичность в природе

· Все явления в природе связаны друг с другом множеством причинных связей. · В случае если всœе связи известны, то можно предсказать (рассчитать) явление сколь угодно точно. · При этом, всœе связи неизвестны, в связи с этим предсказать явление невозможно. · По этой причине всœе явления являются случайными, отклонения которых от закономерности заранее неизвестны и не бывают предсказаны (рассчитаны).

· Статистическая устойчивость как основа статистической теории

· Вопрос: проявляются ли какие-либо закономерности в случайных явлениях? Иначе: может ли наука их изучать? · Замечено, что в единичных случайных явлениях никакие закономерности не проявляются. · При этом, в массовых случайных явлениях, ᴛ.ᴇ. в таких явлениях, которые повторяются в одних и тех же контролируемых условиях множество раз, такие закономерности проявляются.

· Флуктуации в радиотехнике, оптике, акустике, информатике.	· Флуктуации и случайные явления в радиотехнике. Примеры: сигналы и шумы в РТС, обнаружение в РЛС. · Флуктуации в оптике. Пример: границы оптического изображения. · Случайные явления в акустике. Пример: зоны слышимости. · Случайные явления информатике. Пример: скорость передачи информации по каналам связи.
· Стохастичность сигналов и помех в радиоэлектронных системах	· Особый интерес изучения сигналов и помех (шумов) в радиоэлектронных системах, как случайных явлений.
· Необходимость и содержание курса.	· Поскольку во всœех радиоэлектронных системах и устройствах имеют место случайные явления, то всœе параметры и характеристики РТС бывают изучены только как случайные явления. Отсюда следует крайне важно сть теории вероятностей как теоретической основы анализа и синтеза радиоэлектронных систем и устройств. · Содержание курса: 1. Введение - 1 час. 2. Случайные события и вероятности - 5 часов. 3. Случайные величины и распределœения вероятностей - 5 часов. 4. Системы непрерывных случайных величин и многомерные распределœения - 3 часа. 5. Статистическая зависимость в двумерной системе - 2 часа. 6. Многомерное нормальное распределœение - 1 час. 7. Функции случайных аргументов - 5 часов. 8. Выборка и выборочные характеристики - 3 часа. 9. Испытание статистических гипотез - 4 часа. 10. Оценка параметров распределœений - 5 часов.

4.1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука (любое издание).

4.2. Глазов Г.Н. Основы теории вероятностей (конспект лекций). - Томск: ТИРиЭТ, 1970.

4.3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Высшая школа, 2000.

4.4. Пугачев В.С. Введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1968.

4.5. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1979.

4.6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука (любое издание).

4.7. Володин Б.Г. и др.
Размещено на реф.рф
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. /Под ред. Свешникова А.А. - М.: Наука (любое издание).

4.8. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4.9. Надеев А.И., Чумаков А.С. Сборник задач по теории вероятностей. – Томск: ТИАСУР, 1982.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений." 2017, 2018.

Теория вероятностей – наука о случайных явлениях (событиях). Какие явления можно назвать случайными? Ответ, который можно дать сразу, – это события, не поддающиеся объяснению. А если их объяснить, то перестанут ли события быть случайными? Приведем несколько примеров.

Пример 1. Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными:

а) Саше попался «хороший» билет – событие А;

б) Саша ответил на билет – событие В;

в) Саша сдал экзамен – событие С.

Событие А – случайное, так как Саша мог взять и «плохой» билет, но почему ему попался «хороший» - это объяснить трудно. Событие В - не случайно, так как Саша может ответить только на «хороший» билет. Событие С – случайное, так как состоит из нескольких событий и, по меньшей мере, одно из них случайное (событие А).

Пример 2. Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно считать случайными?

а) Только Саша выиграл билет – событие А;

б) Только Маша выиграла билет – событие В;

в) Саша или Маша выиграли билет – событие С;

г) Оба выиграли билет – событие D.

События А и В – случайные; событие С – не случайное, так как оно обязательно произойдет. Событие D – не случайное, так как оно никогда, при данных условиях, произойти не может.

Тем не менее, все эти события имеют смысл и изучаются в теории вероятностей (при этом событие С называется достоверным, а событие D – невозможным).

Пример 3. Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода посетителей (событие А) заранее предсказать невозможно, более того, время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В), для разных клиентов - различное. Следовательно, события А и В можно считать случайными, а процесс обслуживания клиентов – случайным процессом (или случайным явлением).

Пример 4. Английский ботаник Браун (Brown), изучая под микроскопом пыльцу хвойных растений в воде, открыл, что взвешенные частицы двигаются беспорядочно под действием толчков со стороны молекул окружающей среды.

Это беспорядочное движение частиц А. Эйнштейн назвал (1905-1906) броуновским (от имени Brown), а позднее Н. Винер создал теорию винеровских процессов (1920-1930), являющихся непрерывным аналогом броуновского движения. Выяснилось, что частица размером в один микрон (10 -4 см) испытывает за секунду со стороны молекул более 10 15 ударов. Чтобы определить траекторию частицы, нужно за секунду измерить параметры 10 15 ударов. Это практически невозможно. Таким образом, мы вправе броуновское движение считать случайным. Поступив так, Эйнштейн открыл новые возможности изучения броуновского движения, а заодно, и тайн микромира.

Здесь случайность проявляется как незнание или неумение получить достоверную информацию о движении частиц.

Из примеров следует, что случайные события не существуют в единственном числе, у каждого из них должно быть, по меньшей мере, альтернативное событие.

Таким образом, под случайными будем понимать наблюдаемые события, каждое из которых обладает возможностью реализоваться в данном наблюдении, но реализуется лишь одно из них.

Кроме того, мы предполагаем, что любое случайное событие «за бесконечное время реализуется бесконечное число раз».

Это условие хотя и образное, но достаточно точно отражает суть понятия случайного события в теории вероятностей.

В самом деле, изучая случайное событие, нам важно знать не только факт его появления, но и то, как часто случайное событие появляется в сравнении с другими, то есть знать его вероятность.

Для этого необходимо иметь достаточный набор статистических данных, но это уже предмет математической статистики.

Итак, можно утверждать, что в природе нет ни одного физического явления, которое бы не содержало элемент случайности, а это означает, что, изучая случайность, мы познаем закономерности окружающего нас мира. Современная теория вероятностей редко применяется для изучения отдельного явления, состоящего из небольшого числа факторов. Основной ее задачей является выявление закономерностей в массовых случайных явлениях и их изучение.

Вероятностный (статистический) метод изучает явления с общих позиций,

помогает специалистам познать их суть, не останавливаясь на несущественных деталях. Это является большим преимуществом по сравнению с точными методами других наук. Не следует думать, что теория вероятностей противопоставляет себя другим наукам, наоборот, она их дополняет и развивает.

Например, вводя в детерминированную модель случайную составляющую, часто получают более точные и глубокие результаты изучаемого физического процесса. Эффективным оказывается и вероятностный подход для явлений, которые декларируются случайными, независимо от того, являются они таковыми или нет.

В теории вероятностей такой подход называется рандомизацией (random – случайный).

Исторические сведения

Принято считать, что теория вероятностей своему возникновению обязана азартным играм, однако аналогичные права на нее может предъявить, например, и страхование. В любом случае, теория вероятностей и математическая статистика появились благодаря потребностям практики.

Первые серьезные работы по теории вероятностей возникли в середине XVII века из переписки Паскаля (1623 – 1662) и Ферма (1601 – 1665) при изучении азартных игр. Одним из основателей современной теории вероятностей является Яков Бернулли (1654 – 1705). Изложение основ теории вероятностей принадлежит Муавру (1667 – 1754) и Лапласу (1749 – 1827).

С именем Гаусса (1777 – 1855) связан один из самых фундаментальных законов теории вероятностей – нормальный закон, а с именем Пуассона (1781 – 1840) – закон Пуассона. Кроме того, Пуассону принадлежит теорема закона больших чисел, обобщающая теорему Бернулли.

Большой вклад в развитие теории вероятностей и математической статистики внесли русские и советские математики.

П.Л. Чебышеву принадлежат фундаментальные работы по закону больших чисел, А.А. Маркову (1856 – 1922) – авторство создания теории стохастических процессов (марковских процессов). Его ученик А.М. Ляпунов (1857 – 1918) доказал центральную предельную теорему при достаточно общих условиях, разработал метод характеристических функций.

Среди советских математиков, сформировавших теорию вероятностей как математическую науку, следует отметить С.Н. Бернштейна (1880 – 1968), А. Я. Хинчина (1894 – 1959) (стационарные случайные процессы, теория массового обслуживания), А.Н. Колмогорова (1903 – 1987) (автора аксиоматического построения теории вероятностей; ему принадлежат фундаментальные работы по теории стохастических процессов), Б. В. Гнеденко (р.1911) (теория массового обслуживания, стохастические процессы), А.А. Боровкова (р. 1931) (теория массового обслуживания).

Принцип сложения Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. Принцип сложения 2: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.

Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: 1) выбор первого элемента n способами; 2) выбор второго элемента (n-1) способами; и т. д. k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

Сочетания Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k- элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество. Составим 2- сочетания:

Относительная частота Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний - относительная частота события А или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний. Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Определения. 1.Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет называется достоверным. 2.Событие, которое в результате опыта никогда не наступит называется невозможным. 3. Если одновременно одно событие влечет за собой другое и наоборот, такие события называются равносильными.

4. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. 5. События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Тема 1. Введение

План:

1. Предмет теории вероятностей

2. Краткие исторические сведения

Теоретические сведения

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей случайных массовых явлений. однородных

Методы, открытые в теории вероятностей, получили свое продолжение в большинстве современных наук и отраслях деятельности человека.

Например:

1. Дождь идет в течении трех дней. Можно ли быть уверенным, что он прекратится на четвертые сутки.

2. После 10 испытаний некоторого прибора можно ли быть уверенным, что он не сломается на следующем испытании?

3. Теория вероятностей может указать на характер ошибок при статистических расчетах, указать ее пределы.

4. Производится стрельба из орудия, установленного под задан­ным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики можно найти теоретическую траекторию снаряда. Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальной ско­ростью снаряда, углом бросания и баллисти­ческим коэффициентом. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько откло­няется от теоретической траектории за счет совокупного таких факторов как: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность струк­туры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метео­рологические условия и т. д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях, мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующий называемое рассеивание снарядов.

5. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналити­ческих весах; результаты повторных взвешиваний несколько отли­чаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппа­ратуры, ошибки отсчета показаний прибора и т. д.

6. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от тео­ретической траектории и колебаниями самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбу­лентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксиро­ваны условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повто­рении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому законо­мерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, "модель", и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определен­ным образом. Из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные факторы по отношению к целям эксперимента. Остальными, второстепенными факторами для данного случая, просто пренебрегают. Причем факт установления важности того или иного фактора весьма сложная и не однозначная.

Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи, прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравне­ния, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все боль­ше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема - классиче­ская схема так называемых "точных наук" - оказывается плохо при­способленной.

Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов ис­следования себя не оправ­дывает.

Например, движение планет Солнечной системы, прогноз погоды, полет самолета, пружок спортсмена в длину или его бег, встреча людей по пути на работу и многое другое.

Рассмотрим типичный пример. Некоторое техническое устройство, например система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют слу­чайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность?

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать при­роду и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы па вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которых в физике и технике чрезвы­чайно велико, требуют изучения не только основных, главных зако­номерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второ­степенных факторов и придающих исходу опыта при заданных усло­виях элемент неопределенности

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали "случайными", в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве "основных". Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов. Однако практически такая попытка оди­наково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы одно­родных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свой­ственные именно данным случайным массовым явлениям.

Рассмотрим еще один пример. По некоторой мишени произво­дится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо пилимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем больше выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый "нормаль­ный закон" или "закон Гаусса", которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Подобные специфические, так называемые "статистические", за­кономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индиви­дуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно пога­шаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явле­ний оказывается практически уже не случайным.

Именно эта много­кратно подтвержденная опытом устойчивость случайных массовых явлений и служит базой для применения вероятностных (статистиче­ских) методов исследования.

Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования случайных массовых явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный ре­зультат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из ко­торых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участ­вует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются прису­щие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точ­ностью можно осуществлять научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явле­ний. Изучение этих" законов позволяет не только осуществлять науч­ный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, су­жать ее влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не про­тивопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случай­ности.

Обширное поле применения находит теория вероятностей в раз­нообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбоме­тания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика и множество других разделов военной науки широко пользуются методами теории вероятностей и ее мате­матическим аппаратом.

При изучении химии, биологии, математики, физики в средней школе в основном рассматривались такие явления и процессы, в которых можно было точно предсказать результат по заданным начальным условиям. Так, например, при нормальном атмосферном давлении 760 мм рт. ст. температура кипения химически чистой воды равна 100 С; дальность полета тела, брошенного с начальной скоростью v под углом  к горизонту, составляла . Однако в реальной жизни, обществе существует много явлений, в которых невозможно заранее предсказать результат при известных начальных условиях. Так, например, неизвестно заранее, попадет или нет снаряд в цель, выпущенный из орудия с известной начальной скоростью, если цель располагается достаточно далеко. Неизвестно, пойдет или не пойдет дождь завтра, если сегодня мы точно знаем состояние погоды. Неизвестно, состоится или нет дорожно-транспортное происшествие на определенном участке дороги. Неизвестно, сколько завтра произойдет преступлений в городе или в каком-то его районе, хотя все криминологические данные на сегодня известны. Неизвестно, сколько раз попадет в «десятку» спортсмен на соревнованиях из произведенных ста выстрелов.

На все эти вопросы невозможно дать точного ответа, поскольку процессы, описанные в них, лишены полной определенности. В этих явлениях необходимо учитывать не только основные факторы, но и множество второстепенных, приводящих к случайным возмущениям и искажениям результата. Мы знаем дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, однако при моделировании полета снаряда необходимо учитывать не только действие силы тяжести, но и силу сопротивления воздуха, воздействие на снаряд ветра, небольшие отклонения начальной скорости снаряда от заданной и т.д. Безопасность дорожного движения зависит не только от точного выполнения предписанных правил всеми его участниками, но и от огромного числа причин: погоды, состояния дорожного покрытия, освещенности, взаимного расположения автомобилей на дороге, психологического состояния водителей и пешеходов, технического состояния транспортных средств, опыта водителей и многих других. Такие явления называются случайными .

Элемент неопределенности, свойственный случайным явлениям и обусловленный второстепенными факторами, требует специальных методов их изучения. Разработкой таких методов, изучением специфических закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях, и занимается теория вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей не может, да и не ставит задачу ответить на вопрос, произойдет или нет какое-то конкретное, уникальное случайное явление. Однако, если случайные события могут наблюдаться многократно при осуществлении одних и тех же условий (такие случайные события называются массовыми однородными случайными событиями), то, оказывается, существуют определенные закономерности, которым они подчиняются. Установлением таких закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом изучения теории вероятностей являются закономерности массовых однородных случайных событий. Знание этих закономерностей позволяет прогнозировать характеристики процессов и явлений, в которых присутствуют случайные события. Например, хотя нельзя определить попадет или нет снаряд в конкретном выстреле в определенных условиях, можно предсказать, сколько снарядов попадут в цель, если произведено достаточно много выстрелов, или дать рекомендации, сколько выстрелов необходимо сделать для поражения цели с заданной надежностью.

Теория вероятностей также позволяет по данным вероятностям одних случайных событий находить вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми. Одна из задач теории вероятностей состоит в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, принадле­жали Л. Пачоли («Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», 1487г.), Дж. Кардано (рукопись «Книга об игре в кости», датированная 1526г., но изданная лишь в 1563г.), Н. Тарталья («Общий трактат о мере и числе», 1556г.), Галилео Галилею (работа «О выходе очков при игре в кости», изданная в 1718г.), Х. Гюйгенсу (трактат «О расчетах в азартных играх», 1656г.). Становление теории вероятностей как математической науки относится к середине XVII века и связано с попытками создания теории азартных игр. Основателями науки о вероятностях считаются Б. Паскаль и П. Ферма, в переписке которых решена задача о разделе ставок двух и более игроков при неоконченной игре, состоящей из нескольких партий. На развитие теории вероятностей значительное влияние оказали исследования Дж. Граунта и В. Петти по демографии или, как говорили в то время, по политической арифметике. К концу XVII века накопились обширные сведения о случайных событиях, описание решений многих задач теории вероятностей. Однако классическое понятие вероятности было введено лишь в XVIII веке в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713г.), хотя и в далеко несовершенной форме. В трактате Бернулли присутствуют классическая и статистическая концепции вероятности.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с потребностями развития естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики народонаселения). Значительную роль в развитии методов теории вероятностей сыграли А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон, и др. (XVII- XIX вв), русские математики П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов и А.А. Марков (XIX - начало XX в.). В данный период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Значительный вклад в современное развитие этой науки был сделан такими математиками, как С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, АН. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Ю.В. Линник, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов, Ю.В. Прохоров, Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон, Е. Нейман, А. Вальд и др.

В настоящее время математический аппарат теории вероятностей широко используется при изучении массовых явлений в науке, технике, обществе. Методы теории вероятностей играют важную роль при обработке статистических данных.