Задачи на построение сечений в тетраэдре. Тетраэдр

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K , на ребре AC - точка L , на ребре BD - точка N , на ребре СD - точка M . Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG , KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN , если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.

Решение.

Пусть Тогда

Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q ). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем , поэтому

По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем , поэтому Тогда имеем

Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как

Теперь пусть

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим

Значит, поэтому KLMN - параллелограмм и

Ответ:

Методы геометрии: Использование векторов

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Площадь сечения, Тетраэдр

В тетраэдре ABCD , все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD - точку E .

а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD .

б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE .

Решение.

а) BE BCD . AE - высота равностороннего треугольника ACD . Поэтому и . Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, .

б) Рассмотрим треугольник и его высоты и Составим равенство: Заметим теперь, что треугольник равнобедренный и поэтому Тогда

Ответ:

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильный тетраэдр, Расстояние от точки до прямой

Каролина Алексина 18.12.2016 19:10

Последняя часть: не может получиться получится

Кирилл Колокольцев

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на .

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC . В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM . Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра - KABC . Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM . Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC , AS = 4, AK перпендикулярно SB , AM перпендикулярно SC .

Решение.

Заметим, что M лежит на ребре SC , K - на ребре SB и являются основаниями соответствующих высот.

Поскольку прямая CB перпендикулярна прямым AB и CB , она перпендикулярна плоскости ABS . Плоскости ABS и CBS пересекаются по прямой BS , перпендикулярной AK , поэтому прямая AK перпендикулярна плоскости CBS .

Следовательно, тетраэдры SABC и CAKM имеют общую высоту AK , поэтому их объемы относятся как их основания.

Отрезок AK - высота прямоугольного треугольника ABS , проведенная к гипотенузе BS . Поэтому и

Итак, откуда

Ответ:

Укажем другой подход.

Найдем, какую часть объема исходного тетраэдра SABC составляют отсеченные тетраэдры KABC и SAKM .

Тетраэдры SABC и KABC имеют общее основание, поэтому их объемы относятся как их высоты. Высоты, в свою очередь, относятся как гипотенузы соответствующих подобных треугольников:

(использовано свойство прямоугольного треугольника, см. примечание).

Найдем, какую часть объема составляет оставшаяся часть тетраэдра:

Приведем ещё одно решение.

Объемы тетраэдров с сонаправленными ребрами относятся как произведения этих ребер. Поэтому:

Аналогично,

Примечание 1.

(*) Во всех решениях использована следующая теорема: в прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с , высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки и Отношение этих отрезков к гипотенузе равны и

Примечание 2.

В последнем решении можно было бы заметить, что откуда следует общая формула для ответа:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.

Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Тетраэдр

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Решение.

Пусть r -‍ искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r .‍ Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O‍ данного правильного тетраэдра.

Пусть шар радиуса r‍ с центром O‍ 1 ,‍ вписанный в трёхгранный угол с вершиной D ,‍ касается плоскости грани ABD‍ данного правильного тетраэдра ABCD‍ со стороной a‍ в точке P .‍

Пусть M -‍ центр основания ABC ,‍ K -‍ середина AB ,‍ φ -‍ угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK‍ находим, что

Значит, или откуда находим, что

Ответ:

Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Правильный тетраэдр, Система шаров, Шар

В правильном тетраэдре ABCD точка К - середина ребра АВ , точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1: 2.

а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ .

б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ , если сторона тетраэдра равна 6.

Решение.

а) Проведем через точку K прямую KL параллельную BC , где точка L лежит на AC . KL - средняя линия треугольника ABC . Угол между прямыми KE и ВС равен углу EKL , найдем его из треугольника KEL . Пусть O - проекция вершины D , E" - проекция точки E на прямую KC и пусть ребро тетраэдра равно a . Тогда

Вычислим высоту тетраэдра:

а значит,

Косинус угла EKL найдем, применяя теорему косинусов:

Следовательно,

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую. Таким образом, искомое расстояние между прямыми BC и KE равно расстоянию между точкой С и и плоскостью KEL (плоскость KEL - проходит через прямые KE и KL , где прямая KL параллельна BC ). То есть искомое расстояние - высота h c тетраэдра CKEL , проведенная из вершины C .

Вычислим объем тетраэдра CKEL :

С другой стороны, где

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 298.

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB , если ребро тетраэдра равно 1.

Решение.

а) Построим указанные плоскости. Через точку B проведём прямую параллельную NA тогда первое сечение BLQ . Очевидно, что QB - также медиана и высота, значит,

В грани PMN проведем медиану, высоту, биссектрису MB , S - точка пересечения MB и NA . В плоскости MBQ проведем прямую ST параллельную BQ (где тогда второе сечение NAT . Заметим, что

Вычислим:

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми NA и QB равно расстоянию между параллельными плоскостями NAT и BLQ . Найдем его, как высоту тетраэдра QANT , проведенную из вершины Q . Вычислим где - высота, проведенная из вершины A . Пусть H - высота тетраэдра PQM , тогда:

Вычислим теперь площадь треугольника NAT . Имеем:

откуда а Тем самым

Ответ: а) б)

Примечание.

Исходя из подобия треугольников и теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол:

Таким образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого тетраэдра.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 297.

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Решение.

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

1. Рассмотрим грани ABC и ABD . Пусть M - точка пересечения медиан Δ ABC , N - треугольника ABD . И пусть K - середина AB . Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC: KM = KD: KN = 3: 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN , CD = 3MN .

Соединим отрезками точки: M и D, N и С . Точку пересечения MD с NC обозначим О .

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).

Пусть L - середина ребра BC . В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC . Проведем также прямую KL , которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P .

Пусть O 1 точка пересечения DM и KL .

Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD . У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC , CL = DL . Тогда Δ KLC = Δ PLD - по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD , KL = PL , ∠CKL = ∠BPL .

В Δ KO 1 M и Δ PO 1 D ∠KO 1 M = ∠ PO 1 D как вертикальные, ∠MKO 1 = ∠DPO 1 по ранее доказанному. Значит, откуда DO 1: O 1 M = PD : KM . Но как доказано выше, KC = PD . Следовательно, O 1 D : O 1 M = KC : KM = 3: 1.

Итак, O 1 D : O 1 M = 3: 1. Выше было доказано, что OD: OM = 3: 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3: 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O 1 совпадут, то есть KL проходит через точку О . Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD , BD и AC , пройдут через точку О . И это - все то, что требовалось доказать.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a , CD = c , AD = b .

В соответствии с условием задачи:

Ответ: б) 1540.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

Классификатор стереометрии: Объем тела, Тетраэдр

а) В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH . K - середина отрезка CH .

Докажите, что угол между DH и медианой BM боковой грани BCD равен углу BMK .

б) В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD .

Решение.

а)Пусть - средняя линия треугольника Тогда , значит, и, следовательно, Кроме того,

б)Пусть длина ребра тетраэдра равна тогда имеем:

Ответ:

Классификатор стереометрии: Правильный тетраэдр, Угол между прямыми

Павел Деревянский 22.05.2014 00:33

А ответ будет являтся правильным?

Константин Лавров

Да. Ведь это тоже самое число.

J E 04.06.2016 12:00

А нельзя было в треугольнике ВМС провести прямую, параллельную высоте? Было бы легче и ответ выходит 60 градусов.

Константин Лавров

Плоскость BMC не содержит прямой параллельной высоте пирамиды.

В правильном тетраэдре ABCD точки K и M - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD .

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α - квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если

Решение.

а) Пусть точки P , E , N - середины рёбер BC , AC и BD соответственно. ME - средняя линия следовательно, Аналогично Следовательно, Значит, точки N , K , M , E лежат в одной плоскости, причём эта плоскость параллельна прямой AD . Значит, это и есть плоскость

Поскольку тетраэдр правильный, то (как средние линии равных правильных треугольников). Значит, KNME - ромб.

б) Площадь квадрата KNME находится по формуле Следовательно,

Ответ: б)

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 991, За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2019

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильный тетраэдр, Сечение -- параллелограмм, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой

Точки М , N и К принадлежат соответственно ребрам АD , AB и BC тетраэдра ABCD ,

причем АМ : МD = 2: 3, ВN : АN = 1: 2, ВК = КС .

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N , K .

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD .

Решение.

а) Продлим до пересечения с в точке Обозначим точку пересечения и за Тогда искомое сечение.

б) Из теоремы Менелая для треугольника ABC : Откуда следует, что CQ = CA .

Из теоремы Менелая для треугольника ADC : Из чего следует, что DP : PC = 3:1.

Ответ: 3:1.

Приведем другое решение пункта б).

Напомним теорему Менелая для тетраэдра: точки A , P , N и K , лежащие на ребрах тетраэдра AD , DC , AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда

В нашем случае: откуда

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 206.

Решение.

Пусть площадь основания тетраэдра равна S , а высота h . Тогда радиус описанной сферы равен поэтому середина высоты DE (точка P ) лежит на поверхности шара и противоположна E . Плоскость, перпендикулярная DE , параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно, O совпадает с P .

Опустим перпендикуляры из O и центра шара на грань ABD . Образуются два подобных прямоугольных треугольника, причем коэффициент подобия равен поэтому

Осталось найти r . Поскольку то поэтому ответ меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B , D , C 1 имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A 1 C , отрезок A 1 P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Найдём расстояние от P до точек D 1 , B и C 1:

Отрезки C 1 B , DB и DC 1 - диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC 1 P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A : Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

Приведём другое решение.

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB . Тогда треугольник BC 1 D - правильный.

Пусть Поскольку ABCD - квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник - прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как - верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C 1 O - медиана), и - правильный, то M - точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC 1 , то есть центр описанной окружности.

Так как M - центр описанной окружности треугольника BC 1 D и ∠C 1 MC = 90°, то проекция точки P - точка M , тогда PB = PC 1 = PD .

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, - правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

Многим геометрия кажется ненужной дисциплиной, которая не пригодится в будущем. Другим она не дается ввиду большой степени сложности или гуманитарного склада ума. Из-за всех этих обстоятельств дети не имеют желания слушать на уроке, вникать, учить наизусть формулы, правила и законы. А между тем, эта дисциплина нужна для многих популярных в наше время и высокооплачиваемых профессий (архитектор, конструктор, дизайнер, инженер, строитель, урбанист). Так же она развивает пространственное мышление и воображения, оттачивает навыки доказывания и резюмирования.

Некоторые родители для своих детей нанимают репетиторов, но не каждая семья может себе позволить оплачивать дополнительные индивидуальные занятия. Целесообразно в такой ситуации пользоваться решебниками. Актуальным на сегодняшний день является пособие, разработанное командой опытных и известных методистов во главе с Л. С. Атанасяном, выпущенное издательством «Просвещение» в 2015 году.

Кому принесет пользу учебно-методический комплекс по геометрии для 10-11 классов (авторы: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.)

Во-первых, самим ученикам. Они смогут не просто бездумно списывать домашнюю работу, а понимать, просматривая подробные описания решения от составителя.

Во-вторых, их родителям. Школьная программа выпускных классов очень сложная, она содержит самые последние темы и самые трудные задания. Даже родители, которые хорошо владеют точными науками и связаны с этой сферой, зачастую не могут помочь с домашним заданием. Так же у них совсем не остается сил и времени после работы.

В-третьих, учителям и репетиторам. Опять же для того, чтобы экономить время, ведь помимо проверки д/з, они должны составлять новые задания (классные, самостоятельные, контрольные) для работы на занятиях.

Достоинства:

• удобство пользования;
• только верные ответы;
• онлайн-режим;
• способность открываться на любых платформах.

Содержание пособия по геометрии для 10-11 классов от Л.С. Атанасяна

Эта книга включает в себя абсолютно все темы, разделы и параграфы из оригинального учебника, такие как:

• параллельность прямых и плоскостей;
• взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между ними;
• тетраэдр и параллелепипед;
• теорема о трех перпендикулярах;
• многогранники (призма, теорема Эйлера);
• пространственная т. Пифагора;
• метод координат в пространстве, движения;
• цилиндр, конус, шар;
• планиметрия (эллипс, гипербола и парабола).

Стоит отметить, что на этом этапе обучения ребятам предстоит очень трудное испытание-сдача ЕГЭ. В единый государственный экзамен входят как раз самые сложные темы. Для того, чтобы получить хороший результат, важно не только знать формулы, но и понимать материал. А между тем, от количества полученных баллов зависит очень многое - поступление, будущая профессия. Поэтому, несомненно, стоит обратиться к этому сборнику, который принесет немало пользы и поможет в этот сложный период.

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?