Комфортное отображение примеры. Общие принципы теории конформных отображений

Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f (z ) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка w ÎG называется образом точки z при отображении w=f (z ), точка z ÎD – прообразом точки w .

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f (z ), то функция называется однозначной (w=|z| , w= , w= Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w , функция называется многозначной (w= Argz ).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w =f (z ) называется однолистной в области D .

Другими словами, однолистная функция w =f (z ) взаимно однозначно отображает область D на G . При однолистном отображении w =f (z ) прообраз любой точки w ÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w , определенную на G . Она обозначается и называется обратной функцией .

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f (z ) называют многолистной в области D .

Если отображение w =f (z ) является многолистным на D (например, w =z n ), то в этом случае некоторым значениям w ÎG соответствует более, чем одна точка z ÎD : f (z )=w . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w =f (z ) называется ветвью многозначной функции F , если значение f в любой точке z ÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w =f (z ) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка z ÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w =f (z ). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z =2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5. Определить, какая часть плоскости при отображении w =z 2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w ¢=2z . Коэффициент растяжения в любой точке z равен k =|w ¢(z )|=2|z |. Множество точек комплексной плоскости, для которых k >1, то есть 2|z |>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w =z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть - сжимается. ■

Отображение w =f (z ) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f (z ) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода . Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача .

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача .

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z 0 при отображении w =f (z ) является точка w 0 , такая, что w 0 =f (z 0), то есть результат подстановки z 0 в f (z ). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w =f (z ), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F (x ,y )=0 (или в явном виде y =j (x )), при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Выделить действительную и мнимую части функции f (z ): u =Ref (z ), v =Imf (z ).

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z =z (t ) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

Если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z (t ) в w =f (z );

Если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w =f (z ), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w =f (z ).

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение - искомый образ.

Пример. Найти образ окружности |z |=1 при отображении с помощью функции w =z 2 .

■ 1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy , w=u+iv . Тогда u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy . Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 = x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w | 2 =1, то есть |w |=1. Итак, образом окружности |z |=1 является окружность |w |=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w =z 2 , то Argw =2Argz +2pk . Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z |=1, то ее образ описывает окружность |w |=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z =e it (0£t £2p ).

2. Подставим z =e it в соотношение w =z 2: w=e i 2 t =cos2t +i sin2t . Следовательно, |w | 2 =cos 2 2t +sin 2 2t =1, то есть |w |=1 – уравнение образа. ■

Пример. Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w =z 3 .

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

1. w =z 3 =(x +iy ) 3 =x 3 +3x 2 iy +3x (iy ) 2 +(iy ) 3 =x 3 - 3xy 2 +i (3x 2 y-y 3).

2. В полученную систему подставим у=х : Исключая х из этих уравнений, получим v=-u .

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv . ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

w =az +b , (4.1)

где а , b - комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga , а растяжение во всех точках равно . Если a= 1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b . Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w 1 =rz - подобие с коэффициентом r =|a |;

w 2 =e i j w 1 =rze i j - поворот на угол j =arga вокруг точки О ;

w =w 2 +b =re i j z +b - параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w =az +b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a | раз, поворачивает эту фигуру на угол j =arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z -плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример. Найти образ оси Оу при отображении w =2iz-3i .

■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy : x =0, -¥<y <+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy , -¥<y <+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у .

2. Подставим z=iy в выражение w =2iz-3i : w =-2y -3i , -¥<y <+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u =-2y , v =-3 или v =-3, -¥<u <+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv , параллельной действительной оси.

2 способ . Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z 1 =0, z 2 =i , их образы w 1 =-3i , w 2 =-2-3i при отображении лежат на прямой Imw =-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v =-3.

3 способ (геометрический). Из соотношения w =2iz-3i следует, что a =2i , b =-3i , |a |=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу ) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■

Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i |=1 на окружность |w- 3|=2.

■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.

1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w 1 =z-i .

2. В плоскости w 1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w 2 =2w 1 .

3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w =w 2 +3. Окончательно получаем: w =2(z-i )+3, w= 2z +3-2i – искомая функция.

Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■

2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида

где a , b , c , d - комплексные числа, такие что , .

Свойства дробно-линейного преобразования

1° Конформность

Отображение w =L (z ) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .

2° Круговое свойство

Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w =L (z ) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w =L (z ) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w ), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d , - в окружности плоскости (w ).

3° Инвариантность двойного отношения

Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек . Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:

Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел z k и w k обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.

4° Сохранение симметрии

Если точки z 1 и z 2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g , то при любом дробно-линейном отображении w =L (z ) их образы w 1 и w 2 будут симметричны относительно образа g : .

Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.

Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z 0 |=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть

|z-z 0 |×|z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Точкой, симметричной точке z 0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D , которую ограничивает g , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢ . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).

Пример. Найти дробно-линейную функцию w =L (z ), такую, что w (i )=2i , w (¥)=1, w (-1)=¥.

■ Обозначим z 1 =i , z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2i , w 2 =1, w 3 =¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z 2 и w 3 на ¥:

Преобразуем: -w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w (z +1)=z -2+i Û - искомая функция. ■ :w =1 и Imw =0.

2. Теперь в соответствии с п.2. правила 3.5 выберем произвольную точку, например, z =-1ÎD . Ее образом при заданном отображении является , лежащая между прямыми Imw =1 и Imw =0. Следовательно, образом заданной области будет полоса 0< Imw <1. ■

3. Показательная функция

Показательной функцией комплексного переменного z=x+iy называется функция, обозначаемая expz (читается «экспонента z ») и определяемая формулой

Свойства expz

1° Если , то expz =expx =e x , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz p , параллельные действительной оси:

Если, например, , то .

8° Показательная функция является аналитической на , (expz )¢=expz.

Пример. Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e 2- i .

■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z =2-i , x =Rez =2, y =Imz =-1.

Тогда . Следовательно,

Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■

Отображение w =expz

В настоящей главе мы займемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в и затем в . Мы рассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках, где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было указано в . Пусть

регулярная функция, совершающая конформное преобразование области В в область . Если нигде в нуль не обращается в области В, то область не имеет точек разветвления, но может все же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В некоторую кривую функцию заданную на этой кривой, и криволинейный интеграл

где элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1) кривая l перейдет в некоторую кривую лежащую в области и элемент дуги новой кривой будет выражаться произведением так как дает коэффициент изменения линейных размеров .

Вводя функцию

обратную (1), мы будем иметь, очевидно, следовательно, можем написать

Так что интеграл в результате преобразования будет выражаться в виде

Точно так же, принимая во внимание, что будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:

и для элемента площади будет иметь место следующая формула:

Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,

то нетрудно видеть, что равно функциональному определителю от функций по переменным х и у. Действительно, этот функциональный определитель выражается формулой

или, в силу уравнений Коши - Римана, формулой

а это и есть как раз квадрат модуля производной

Рассмотрим на плоскости два семейства линий вида

где произвольные постоянные. На плоскости им будут соответствовать прямые параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаются из сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования (2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии (7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения

и положим в правых частях этих уравнений или где произвольные постоянные, то получим на плоскости сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.

Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных осям координат плоскости при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению Лапласа :

Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла причем мы считаем, что имеется плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из координат.

При таком толковании функции как температуры при установившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будут линиями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из семейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в и называли векторами потока тепла.

При преобразовании (1) две линии перейдут в прямые параллельные оси и часть области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси .

Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)

Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией в тех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное.

Такое преобразование называют иногда конформным преобразованием второго рода. В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Это преобразование можно записать в виде формулы . Вообще, если есть регулярная функция в области В, то формула

будет давать конформное преобразование второго рода, определенное в области симметричной с В относительно вещественной оси. Действительно, переход от z к будет переводить в В с сохранением величин углов, но с изменением направления их отсчета. Последующий затем переход от к по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразование второго рода.

Решении прикладных задач часто возникает необходимость преобразовать заданную область в область более простого вида, причем так, чтобы сохранялись углы между кривыми. Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов. Открытыеобласти и называютсяконформноэквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую. Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае - привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ. Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7" комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w - f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7" (рис. 1). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области - верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости. Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22. Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>(Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку }