Aritmeettinen progressio a1. Algebra: Aritmeettinen ja geometrinen progressio
Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)
Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel- tai etenemisero.
Näin ollen asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla
Aritmeettisen progression ominaisuudet
1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo
Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tällä väitteellä on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.
Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan
Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle
Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.
2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla
Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.
3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle
4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa
Tällä teoreettista materiaalia päättyy ja siirrymme yhteisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen.
Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression 4;7;...
Ratkaisu:
Tilanteen mukaan meillä on
Määritä etenemisvaihe
Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin
Esimerkki2. Aritmeettisen progression antaa sen kolmas ja seitsemäs jäsen. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.
Ratkaisu:
Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan
Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen
Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi
Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa
Ilman monimutkaisia laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.
Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle
ja löytää ensimmäinen
Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin
Etenemisen osan summan löytäminen
ja ensimmäisen 100 summa
Jakson summa on 250.
Esimerkki 4
Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Ratkaisu:
Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne
Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme summan jäsenten lukumäärän
Yksinkertaistusten tekeminen
ja ratkaise toisen asteen yhtälö
Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.
Esimerkki 5
ratkaise yhtälö
1+3+5+...+x=307.
Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron
Mitä Pääasia kaavat?
Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Tietenkin sinun on tiedettävä ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.
Ei riitä, että muistat (tai huijaat) tämän kaavan. On tarpeen omaksua sen olemus ja soveltaa kaavaa erilaisiin ongelmiin. Kyllä, ja älä unohda oikeaan aikaan, kyllä ...) Miten ei unohda- En tiedä. Mutta kuinka muistaa Tarvittaessa annan vinkkejä. Niille, jotka hallitsevat oppitunnin loppuun asti.)
Käsitellään siis aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavaa.
Mikä on kaava yleensä - kuvittelemme.) Mikä on aritmeettinen progressio, jäsennumero, etenemisero - saatavilla edellisellä oppitunnilla. Katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. Jää selville mitä n:s jäsen.
eteneminen sisään yleisnäkymä voidaan kirjoittaa numerosarjana:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - alkaen a 120.
Miten määritellään yleisesti minkä tahansa aritmeettisen progression jäsen, s minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:
a n
Sitä se on aritmeettisen progression n:s jäsen. Kirjaimen n alle piilotetaan kaikki jäsenmäärät kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.
Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajattele vain, että numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjeen ...
Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisten progressioiden käsittelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja joukko tehtäviä ratkaistavaksi. Näet lisää.
Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavassa:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen jäsen;
n- jäsennumero.
Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d ja n. Kaikki palapelit pyörivät näiden parametrien ympärillä.
N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Esimerkiksi tehtävässä voidaan sanoa, että eteneminen on annettu ehdolla:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tällainen ongelma voi jopa hämmentää ... Ei ole sarjaa, ei eroa ... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo selvittää, että tässä etenemisessä a 1 \u003d 5 ja d \u003d 2.
Ja se voi olla vielä vihaisempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, kyllä, avaa sulut ja anna samanlaiset? Saamme uuden kaavan:
an = 3 + 2n.
Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä on sudenkuoppa. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen jäsen on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisen muunnetun kaavan kanssa.
Etenemistehtävissä on toinen merkintä - a n+1. Arvasit sen, että tämä on etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi, jos otamme jonkin ongelman a n siis viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.
Useimmiten nimitys a n+1 esiintyy rekursiivisissa kaavoissa. Älä pelkää tätä kauheaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression termi edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen progressio tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Ja kuinka laskea heti, sano kahdeskymmenes termi, a 20? Mutta ei mitenkään!) Vaikka 19. termiä ei tunneta, 20. ei voida laskea. Tämä on perustavanlaatuinen ero rekursiivisen kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Rekursiivinen toimii vain kautta Edellinen termi ja n:nnen termin kaava - kautta ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Ei lasketa koko numerosarjaa järjestyksessä.
Aritmeettisessa progressiossa rekursiivinen kaava voidaan helposti muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sisään tavallinen muoto ja työskentele hänen kanssaan. GIA:ssa tällaisia tehtäviä löytyy usein.
Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavan soveltaminen.
Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:
Annettu aritmeettinen progressio (a n). Etsi 121, jos a 1 = 3 ja d = 1/6.
Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää, kyllä lisää... Tunti tai kaksi.)
Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Me päätämme.
Ehdot tarjoavat kaikki tiedot kaavan käyttöön: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nähtäväksi jää mitä n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Täällä kirjoitetaan:
Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä tulee olemaan meidän n. Se on tämä merkitys n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaa kaikki luvut kaavassa ja laske:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Siinä kaikki. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen jäsenen ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja harkitsemme.
Haluan muistuttaa sinua olemuksesta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettisen progression termi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Ratkaistaan ongelma viisaammin. Oletetaan, että meillä on seuraava ongelma:
Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.
Jos sinulla on vaikeuksia, ehdotan ensimmäistä vaihetta. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistikirjaasi:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Kaikki? Jos luulet, että siinä on kaikki, et voi ratkaista ongelmaa, kyllä...
Meillä on myös numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi vaihtoehtoa. Tämä on sekä seitsemännentoista jäsenen arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkujuttu" liukuu usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä", ei päätä!) Ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka ... ja myös ilman päätä.)
Nyt voimme vain typerästi korvata tietomme kaavaan:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, laitetaan se sisään:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Siinä on pohjimmiltaan kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea. Saat vastauksen: a 1 = 6.
Tällainen tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - auttaa paljon yksinkertaisissa tehtävissä. No, sinun täytyy tietysti osata ilmaista muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei voi opiskella ollenkaan ...
Toinen suosittu ongelma:
Laske aritmeettisen progression (a n) ero, jos a 1 =2; a 15 = 12.
Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mieti, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (erityinen kohokohta!) n = 15. Voit vapaasti korvata kaavan:
12=2 + (15-1)d
Tehdään aritmetiikka.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Tämä on oikea vastaus.
Tehtävät siis a n, a 1 ja d päättänyt. Vielä on opittava löytämään numero:
Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.
Korvaamme tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:
a n = 12 + (n-1) 3
Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n on joku numeron etenemisen jäsen n... Ja tämä jäsen etenemisen me tiedämme! Se on 99. Emme tiedä hänen numeroaan. n, joten tämä numero on myös löydettävä. Korvaa etenemistermi 99 kaavaan:
99 = 12 + (n-1) 3
Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.
Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):
Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, eikö vaihtoehtoja ole? Hm... Miksi tarvitsemme silmiä?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen jäsenen? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 \u003d -3,6. Ero d voidaan määrittää sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Kyllä, teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä sitä... Kuinka olla!? No, miten olla, miten olla... Kytke päälle Luovat taidot!)
Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä-kyllä!)) ja korvaamme numeromme:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:
Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen teemme? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain 101. ja 102. jäsenen välillä. Jos luku osoittautui luonnolliseksi, ts. positiivinen kokonaisluku, niin luku olisi etenemisen jäsen löydetyn luvun kanssa. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: ei.
Tehtävä perustuu GIA:n todelliseen versioon:
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:
a n \u003d -4 + 6,8n
Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.
Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.
Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaavaa on muutettu. Aritmeettisen progression ensimmäinen termi siinä piilotettu. Ei mitään, löydämme sen nyt.)
Kuten edellisissäkin tehtävissä, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!
Samoin etsimme kymmenennen termiä:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Siinä kaikki.
Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)
Oletetaan, että unohdit vaikeassa taistelutilanteessa GIA:n tai Unified State Examinationin hyödyllinen kaava aritmeettisen progression n:s jäsen. Jotain tulee mieleen, mutta jotenkin epävarma... Onko n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?
Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukka, mutta olla varma ja oikea päätös se riittää!) Johtopäätökseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.
Piirrämme numeerisen akselin ja merkitsemme sille ensimmäisen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomioi ero d jäsenten välillä. Kuten tämä:
Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mikä on toinen termi? Toinen yksi d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mikä on kolmas termi? Kolmanneksi termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Ymmärrätkö? En laita lihavoituja sanoja turhaan. Okei, vielä yksi askel.)
Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon asti n, aukkojen lukumäärä tahtoa n-1. Joten kaava on (ei vaihtoehtoja!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin ... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää koko tehokkaan matematiikan arsenaalin ratkaisuun - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi laittaa kuvaa yhtälöön...
Tehtävät itsenäiseen päätökseen.
Lämmittelyä varten:
1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Etsi 3.
Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa ... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma on ratkaistu sekä kuvan että kaavan avulla. Tunne erilaisuus!)
Ja tämä ei ole enää lämmittely.)
2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .
Mitä, haluttomuus piirtää kuvaa?) Silti! Se on parempi kaavassa, kyllä...
3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.
Tässä tehtävässä eteneminen annetaan toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin asti... Kaikki eivät voi tehdä sellaista suoritusta.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!
4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.
5. Etsi tehtävän 4 ehdon mukaisesti etenemisen pienimpien positiivisten ja suurimpien negatiivisten jäsenten summa.
6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdestoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.
Ei helpoin tehtävä, kyllä...) Tässä menetelmä "sormilla" ei toimi. Sinun täytyy kirjoittaa kaavoja ja ratkaista yhtälöitä.
Vastaukset (sekaisin):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Tapahtui? Se on kiva!)
Eikö kaikki suju? Se tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelmaa luettaessa vaaditaan tarkkaavaisuutta. Ja logiikkaa.
Kaikkien näiden ongelmien ratkaisua käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen hetki kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavan ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on maalattu. Suositella.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Aritmeettiset etenemisongelmat ovat olleet olemassa muinaisista ajoista lähtien. He ilmestyivät ja vaativat ratkaisua, koska heillä oli käytännön tarve.
Joten, yhdessä papyruksista muinainen Egypti, jossa on matemaattista sisältöä - Rhind-papyrus (XIX vuosisata eKr.) - sisältää seuraavan tehtävän: jaa kymmenen leipämittaa kymmeneen ihmiseen edellyttäen, että niiden välinen ero on yksi kahdeksasosa mittasta.
Ja muinaisten kreikkalaisten matemaattisissa teoksissa on elegantteja lauseita, jotka liittyvät aritmeettiseen etenemiseen. Joten, Aleksandrian Gipsicles (II vuosisata, mikä oli paljon mielenkiintoisia tehtäviä ja lisäämällä neljäntoista kirjan Eukleideen "periaatteisiin" muotoiltiin ajatus: "Aritmeettisessa progressiossa, jolla on tasaluku jäseniä, toisen puoliskon jäsenten summa on suurempi kuin 1. puoliskon jäsenten summa neliöllä 1/2 jäsenten lukumäärästä.
Sekvenssi an on merkitty. Jakson numeroita kutsutaan sen jäseniksi, ja niitä merkitään yleensä kirjaimilla, joissa on osoitteita, jotka osoittavat sarjanumero tämä jäsen (a1, a2, a3 ... lue: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ja niin edelleen).
Sarja voi olla ääretön tai äärellinen.
Mikä on aritmeettinen progressio? Se ymmärretään saatuna lisäämällä edellinen termi (n), jolla on sama luku d, joka on etenemisen erotus.
Jos d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, niin tällaisen etenemisen katsotaan kasvavan.
Aritmeettisen progression sanotaan olevan äärellinen, jos vain muutama sen ensimmäisistä termeistä otetaan huomioon. Hyvin suurissa määrissä jäseniä on jo ääretön edistysaskel.
Mikä tahansa aritmeettinen progressio saadaan seuraavalla kaavalla:
an =kn+b, kun taas b ja k ovat joitain lukuja.
Väite, joka on päinvastainen, on täysin totta: jos sekvenssi annetaan samanlaisella kaavalla, niin tämä on täsmälleen aritmeettinen progressio, jolla on ominaisuudet:
- Jokainen progression jäsen on edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo.
- Päinvastoin: jos 2:sta alkaen jokainen termi on edellisen ja seuraavan termin aritmeettinen keskiarvo, ts. jos ehto täyttyy, annettu sekvenssi on aritmeettinen progressio. Tämä tasa-arvo on samalla merkki etenemisestä, joten sitä kutsutaan yleensä etenemisen tunnusomaiseksi ominaisuudeksi.
Samalla tavalla tätä ominaisuutta heijastava lause on tosi: jono on aritmeettinen progressio vain, jos tämä yhtälö on tosi jollekin sekvenssin jäsenelle alkaen 2.:sta.
Aritmeettisen jakson minkä tahansa neljän luvun ominaisominaisuus voidaan ilmaista kaavalla an + am = ak + al, jos n + m = k + l (m, n, k ovat progression numeroita).
Aritmeettisessa progressiossa mikä tahansa tarvittava (N:s) termi voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa:
Esimerkiksi: aritmeettisen progression ensimmäinen termi (a1) on annettu ja on yhtä suuri kuin kolme ja erotus (d) on neljä. Sinun on löydettävä tämän etenemisen neljäskymmenesviides termi. a45 = 1+4(45-1)=177
Kaavan an = ak + d(n - k) avulla voit määrittää aritmeettisen etenemisen n:nnen jäsenen minkä tahansa sen k:nnen jäsenen kautta, jos se tiedetään.
Aritmeettisen progression jäsenten summa (olettaen, että lopullisen progression 1. n jäsentä) lasketaan seuraavasti:
Sn = (a1+an) n/2.
Jos myös ensimmäinen termi tunnetaan, toinen kaava on kätevä laskemiseen:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Aritmeettisen progression summa, joka sisältää n termiä, lasketaan seuraavasti:
Laskentakaavojen valinta riippuu tehtävien ehdoista ja lähtötiedoista.
Minkä tahansa numeron luonnollinen sarja, kuten 1,2,3,...,n,...- yksinkertaisin esimerkki aritmeettinen progressio.
Aritmeettisen progression lisäksi on olemassa myös geometrinen, jolla on omat ominaisuutensa ja ominaisuutensa.
Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(kahdeksan\); \(yksitoista\); \(14\)… on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava elementti eroaa edellisestä kolmella (saat edellisestä lisäämällä kolmin):
Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.
Kuitenkin \(d\) voi myös olla negatiivinen numero. esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.
Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.
Aritmeettinen etenemismerkintä
Edistyminen on merkitty pienellä latinalaisella kirjaimella.
Progression muodostavia lukuja kutsutaan nimellä jäsenet(tai elementtejä).
Ne on merkitty samalla kirjaimella kuin aritmeettinen eteneminen, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.
Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.
Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Tehtävän ratkaiseminen aritmeettisella progressiolla
Periaatteessa yllä oleva tieto riittää jo ratkaisemaan lähes minkä tahansa aritmeettisen progression ongelman (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:
Vastaus: \(b_5=23\)
Esimerkki (OGE).
Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Ratkaisu:
|
Meille annetaan sekvenssin ensimmäiset elementit ja tiedämme, että se on aritmeettinen progressio. Eli jokainen elementti eroaa viereisestä samalla numerolla. Selvitä kumpi vähentämällä edellinen seuraavasta elementistä: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Nyt voimme palauttaa etenemisemme haluttuun (ensimmäiseen negatiiviseen) elementtiin. |
|
|
Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen. |
Vastaus: \(-3\)
Esimerkki (OGE).
Aritmeettiselle progressiolle annetaan useita peräkkäisiä elementtejä: \(...5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) merkitty elementin arvo.
Ratkaisu:
|
|
Löytääksemme \(x\) meidän on tiedettävä kuinka paljon seuraava elementti eroaa edellisestä, toisin sanoen etenemisero. Etsitään se kahdesta tunnetusta viereisestä elementistä: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Ja nyt löydämme etsimämme ilman ongelmia: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen. |
Vastaus: \(7,5\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen progressio annettu seuraavat ehdot: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:
|
Meidän on löydettävä etenemisen kuuden ensimmäisen ehdon summa. Mutta emme tiedä niiden merkityksiä, meille annetaan vain ensimmäinen elementti. Siksi laskemme ensin arvot vuorotellen käyttämällä meille annettua: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Pyydetty summa on löytynyt. |
Vastaus: \(S_6=9\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Ratkaisu:
Vastaus: \(d=7\).
Tärkeitä aritmeettisia etenemiskaavoja
Kuten näette, monet aritmeettiset etenemisongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen (ero etenemisestä).
Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa on erittäin hankalaa ratkaista "otsassa". Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Mikä se on, me \ (385 \) kertaa lisäämme neljä? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Laskeminen on hämmentävää...
Siksi ne eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise "otsalla", vaan käyttävät erityisiä aritmeettiseen etenemiseen johdettuja kaavoja. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava ensimmäisten termien summalle \(n\).
Kaava \(n\):nnelle jäsenelle: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen jäsen;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) on etenemisen jäsen numerolla \(n\).
Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää ainakin kolmen sadasosan, jopa miljoonasosan, tietäen vain ensimmäisen ja etenemiseron.
Esimerkki.
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Ratkaisu:
Vastaus: \(b_(246)=1850\).
Ensimmäisen n ehdon summan kaava on: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa
\(a_n\) on viimeinen summatermi;
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Ratkaisu:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Kahdenkymmenenviiden ensimmäisen elementin summan laskemiseksi meidän on tiedettävä ensimmäisen ja kahdennenkymmenennenviidennen termin arvo. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Etsitään nyt kahdeskymmenesviides termi korvaamalla kaksikymmentäviisi \(n\) sijaan. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
No, nyt laskemme tarvittavan määrän ilman ongelmia. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Vastaus on valmis. |
Vastaus: \(S_(25)=1090\).
Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:
Ensimmäisen n termin summan kaava on: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), jossa
\(S_n\) – ensimmäisten elementtien vaadittu summa \(n\);
\(a_1\) on ensimmäinen termi, joka summataan;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) - summan elementtien lukumäärä.
Esimerkki.
Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Ratkaisu:
Vastaus: \(S_(33)=-231\).
Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat
Nyt sinulla on kaikki tarvittavat tiedot lähes minkä tahansa aritmeettisen progression ongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse soveltaa vain kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)
Esimerkki (OGE).
Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-yhdeksäntoista\); \(-18,7\)…
Ratkaisu:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tehtävä on hyvin samanlainen kuin edellinen. Aloitamme ratkaisemisen samalla tavalla: etsimme ensin \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Nyt korvaamme summan kaavassa \(d\) ... ja tästä tulee pieni vivahde - emme tiedä \(n\). Toisin sanoen emme tiedä, kuinka monta termiä on lisättävä. Kuinka selvittää? Mietitään. Lopetamme elementtien lisäämisen, kun pääsemme ensimmäiseen positiiviseen elementtiin. Eli sinun on selvitettävä tämän elementin numero. Miten? Kirjataan ylös kaava minkä tahansa aritmeettisen progression elementin laskemiseksi: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meidän tapauksessamme. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Arvon \(a_n\) on oltava suurempi kuin nolla. Selvitetään, miksi \(n\) tämä tapahtuu. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Jaamme epäyhtälön molemmat puolet \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Siirrämme miinus yksi, unohtamatta vaihtaa kylttejä |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Lasketaan... |
|
|
\(n> 65 333…\) |
…ja käy ilmi, että ensimmäisellä positiivisella elementillä on numero \(66\). Vastaavasti viimeisellä negatiivisella arvolla on \(n=65\). Tarkastellaanpa sitä varmuuden vuoksi. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Siksi meidän on lisättävä ensimmäiset \(65\)-elementit. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Vastaus on valmis. |
Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\)th - \(42\) elementti mukaan lukien.
Ratkaisu:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Tässä tehtävässä sinun on myös löydettävä elementtien summa, mutta alkaen ei ensimmäisestä, vaan \(26\)th:sta. Meillä ei ole kaavaa tälle. Miten päättää? |
|
|
Etenemisellemme \(a_1=-33\) ja erolle \(d=4\) (lisäämme loppujen lopuksi neljä edelliseen elementtiin löytääksemme seuraavan). Kun tiedämme tämän, löydämme ensimmäisten \(42\)-uh-elementtien summan. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Nyt ensimmäisen \(25\):nnen elementin summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ja lopuksi laskemme vastauksen. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Vastaus: \(S=1683\).
Aritmeettista progressiota varten on useita muita kaavoja, joita emme ole tarkastelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.
Joku käsittelee sanaa "eteneminen" varoen, koska se on erittäin monimutkainen termi korkeamman matematiikan osioista. Sillä välin yksinkertaisin aritmeettinen progressio on taksilaskurin työ (jossa ne vielä ovat). Ja aritmeettisen sekvenssin olemuksen ymmärtäminen (ja matematiikassa ei ole mitään tärkeämpää kuin "ymmärtää ydin") ei ole niin vaikeaa, kun on analysoitu muutama peruskäsite.
Matemaattinen numerosarja
Numeerista sarjaa on tapana kutsua numerosarjaksi, joilla jokaisella on oma numeronsa.
ja 1 on sekvenssin ensimmäinen jäsen;
ja 2 on sekvenssin toinen jäsen;
ja 7 on sekvenssin seitsemäs jäsen;
ja n on sekvenssin n:s jäsen;
Mikään mielivaltainen luku- ja numerosarja ei kuitenkaan kiinnosta meitä. Keskitämme huomiomme numeeriseen sekvenssiin, jossa n:nnen jäsenen arvo on suhteutettu sen järjestysnumeroon matemaattisesti selvästi formuloitavalla riippuvuudella. Toisin sanoen: n:nnen luvun numeerinen arvo on jokin n:n funktio.
a - numeerisen sekvenssin jäsenen arvo;
n on sen sarjanumero;
f(n) on funktio, jossa numeerisen sekvenssin n järjestysluku on argumentti.
Määritelmä
Aritmeettista progressiota kutsutaan yleensä numeeriseksi sarjaksi, jossa jokainen seuraava termi on suurempi (pienempi) kuin edellinen samalla numerolla. Aritmeettisen sekvenssin n:nnen jäsenen kaava on seuraava:
a n - aritmeettisen progression nykyisen jäsenen arvo;
a n+1 - seuraavan luvun kaava;
d - ero (tietty luku).
On helppo todeta, että jos ero on positiivinen (d>0), jokainen seuraava tarkasteltavan sarjan jäsen on suurempi kuin edellinen, ja tällainen aritmeettinen eteneminen on kasvava.
Alla olevasta kaaviosta on helppo nähdä, miksi numerosarjaa kutsutaan "kasvavaksi".
Tapauksissa, joissa ero on negatiivinen (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Määritetyn jäsenen arvo
Joskus on tarpeen määrittää jonkin aritmeettisen progression mielivaltaisen termin a n arvo. Voit tehdä tämän laskemalla peräkkäin kaikkien aritmeettisen progression jäsenten arvot ensimmäisestä haluttuun. Tämä tapa ei kuitenkaan ole aina hyväksyttävä, jos on tarpeen löytää esimerkiksi viiden tuhannesosan tai kahdeksan miljoonan jäsenen arvo. Perinteinen laskenta kestää kauan. Tiettyä aritmeettista etenemistä voidaan kuitenkin tutkia käyttämällä tiettyjä kaavoja. On myös kaava n:nnelle termille: aritmeettisen progression minkä tahansa jäsenen arvo voidaan määrittää progression ensimmäisen jäsenen summana etenemisen erotuksen kanssa, kerrottuna halutun jäsenen lukumäärällä miinus yksi .
Kaava on universaali etenemisen lisäämiseen ja hidastumiseen.
Esimerkki tietyn jäsenen arvon laskemisesta
Ratkaistaan seuraava ongelma aritmeettisen progression n:nnen jäsenen arvon löytämisestä.
Ehto: on aritmeettinen progressio parametreilla:
Sarjan ensimmäinen jäsen on 3;
Ero numerosarjoissa on 1,2.
Tehtävä: On tarpeen löytää 214 termin arvo
Ratkaisu: määrittääksesi tietyn jäsenen arvon käytämme kaavaa:
a(n) = a1 + d(n-1)
Korvaamalla ongelmalauseen tiedot lausekkeeseen, meillä on:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Vastaus: Sekvenssin 214. jäsen on yhtä suuri kuin 258,6.
Tämän laskentamenetelmän edut ovat ilmeisiä - koko ratkaisu kestää enintään 2 riviä.
Tietyn määrän termejä summa
Hyvin usein tietyssä aritmeettisessa sarjassa on määritettävä joidenkin sen segmenttien arvojen summa. Sen ei myöskään tarvitse laskea kunkin termin arvoja ja sitten laskea niitä yhteen. Tätä menetelmää voidaan soveltaa, jos termien määrä, joiden summa on löydettävä, on pieni. Muissa tapauksissa on kätevämpää käyttää seuraavaa kaavaa.
Aritmeettisen progression 1:stä n:n jäsenten summa on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja n:nnen jäsenen summa kerrottuna jäsenmäärällä n ja jaettuna kahdella. Jos kaavassa n:nnen jäsenen arvo korvataan artikkelin edellisen kappaleen lausekkeella, saadaan:
Laskuesimerkki
Ratkaistaan esimerkiksi ongelma seuraavilla ehdoilla:
Jakson ensimmäinen termi on nolla;
Ero on 0,5.
Tehtävässä on määritettävä sarjan ehtojen summa 56:sta 101:een.
Ratkaisu. Käytämme kaavaa etenemisen summan määrittämiseen:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Ensin määritämme etenemisen 101 jäsenen arvojen summan korvaamalla ongelmamme annetut ehdot kaavaan:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
On selvää, että 56:sta 101:een etenemisen ehtojen summan selvittämiseksi on välttämätöntä vähentää S 55 arvosta S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Joten tämän esimerkin aritmeettisen progression summa on:
s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5
Esimerkki aritmeettisen progression käytännön soveltamisesta
Artikkelin lopussa palataan ensimmäisessä kappaleessa annetun aritmeettisen sekvenssin esimerkkiin - taksimittari (taksiautomittari). Tarkastellaanpa tällaista esimerkkiä.
Taksiin pääsy (johon sisältyy 3 km) maksaa 50 ruplaa. Jokainen seuraava kilometri maksetaan 22 ruplaa / km. Matkan pituus 30 km. Laske matkan hinta.
1. Hylätään ensimmäiset 3 km, jonka hinta sisältyy laskeutumiskuluihin.
30 - 3 = 27 km.
2. Lisälaskenta ei ole muuta kuin aritmeettisen lukusarjan jäsentämistä.
Jäsennumero on ajettujen kilometrien lukumäärä (miinus kolme ensimmäistä).
Jäsenen arvo on summa.
Ensimmäinen termi tässä tehtävässä on yhtä suuri kuin 1 = 50 ruplaa.
Etenemisero d = 22 p.
meitä kiinnostava luku - aritmeettisen progression jäsenen (27 + 1) arvo - mittarin lukema 27. kilometrin lopussa - 27.999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Mielivaltaisen pitkän ajanjakson kalenteritietojen laskelmat perustuvat tiettyjä numeerisia sarjoja kuvaaviin kaavoihin. Tähtitiedessä kiertoradan pituus on geometrisesti riippuvainen taivaankappaleen etäisyydestä valaisimeen. Lisäksi erilaisia numeerisia sarjoja käytetään menestyksekkäästi tilastoissa ja muilla matematiikan soveltavilla aloilla.
Toinen numerosarja on geometrinen
Geometriselle progressiolle on ominaista suuri muutosnopeus verrattuna aritmeettiseen. Ei ole sattumaa, että politiikassa, sosiologiassa, lääketieteessä usein sanotaan, että prosessi kehittyy eksponentiaalisesti osoittaakseen tietyn ilmiön, esimerkiksi taudin leviämisen suuren nopeuden epidemian aikana.
Geometrisen numerosarjan N:s jäsen eroaa edellisestä siinä, että se kerrotaan jollain vakioluvulla - nimittäjä, esimerkiksi ensimmäinen jäsen on 1, nimittäjä on vastaavasti 2, sitten:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - geometrisen etenemisen nykyisen jäsenen arvo;
b n+1 - geometrisen etenemisen seuraavan jäsenen kaava;
q on geometrisen progression (vakioluku) nimittäjä.
Jos aritmeettisen progression kuvaaja on suora, niin geometrinen kuvaaja piirtää hieman erilaisen kuvan:
Kuten aritmeettisessakin tapauksessa, geometrisella progressiolla on kaava mielivaltaisen jäsenen arvolle. Mikä tahansa geometrisen progression n:s termi on yhtä suuri kuin ensimmäisen jakson tulo ja progression nimittäjä n:n potenssiin vähennettynä yhdellä:
Esimerkki. Meillä on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on 3 ja etenemisen nimittäjä on 1,5. Etsi etenemisen 5. termi
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Tietyn jäsenmäärän summa lasketaan myös erityisellä kaavalla. Geometrisen progression n ensimmäisen jäsenen summa on yhtä suuri kuin etenemisen n:nnen jäsenen ja sen nimittäjän tulon ja etenemisen ensimmäisen jäsenen välinen erotus jaettuna nimittäjällä, joka on vähennetty yhdellä:
Jos b n korvataan yllä kuvatulla kaavalla, tarkasteltavan lukusarjan ensimmäisen n jäsenen summa on seuraavanlainen:
Esimerkki. Geometrinen eteneminen alkaa ensimmäisellä termillä, joka on yhtä suuri kuin 1. Nimittäjäksi asetetaan 3. Etsitään kahdeksan ensimmäisen termin summa.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
