Koti › Hoitomenetelmät › 1 muotoile suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit. Mitkä ovat suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyden merkit? IV

1 muotoile suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit. Mitkä ovat suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyden merkit? IV

Muista edellisen oppitunnin materiaalista, että suorakulmaista kolmiota kutsutaan kolmioksi, jos sillä on vähintään yksi suoran kulmista (eli 90 o).

Harkitse ensimmäinen merkki kolmion yhtäläisyys: jos yhden suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneviä.

Havainnollistetaan tämä tapaus:

Riisi. 1. Tasaiset suorakulmaiset kolmiot

Todiste:

Muista mielivaltaisten kolmioiden ensimmäinen yhtäläisyys.

Riisi. 2

Jos yhden kolmion ja vastaavien kahden sivun kaksi sivua ja niiden välinen kulma ja toisen kolmion välinen kulma ovat yhtä suuret, niin nämä kolmiot ovat yhteneväisiä. Tämä ilmaistaan kolmioiden tasa-arvon ensimmäisellä merkillä, joka on:

Samanlainen todistus on suorakulmaisille kolmioille:

Kolmiot ovat samat ensimmäisessä merkissä.

Tarkastellaan toista suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä. Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Riisi. 3

Todiste:

Riisi. 4

Käytetään toista kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä:

Samanlainen todiste suorakulmioista:

Kolmiot ovat yhtä suuret toisessa kriteerissä.

Tarkastellaan kolmatta suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä: jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja sen vieressä oleva kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin hypotenuusa ja toisen kolmion vieressä oleva kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneviä.

Todiste:

Riisi. 5

Muista kolmioiden yhtäläisyyden toinen kriteeri:

Riisi. 6

Nämä kolmiot ovat yhteneväisiä, jos:

Koska tiedetään, että yksi terävä kulmien pari suorakulmaisissa kolmioissa on yhtä suuri kuin (∠А = ∠А 1), niin toisen kulmaparin (∠B = ∠B 1) yhtäläisyys todistetaan seuraavasti:

Koska AB \u003d A 1 B 1 (ehdon mukaan), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Siksi kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat yhtä suuria toisessa merkissä.

Harkitse seuraavaa kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä:

Jos yhden kolmion jalka ja hypotenuusa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion jalka ja hypotenuusa, tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Riisi. 7

Todiste:

Laitetaan päällekkäin kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1. Oletetaan, että kärjet A ja A 1 sekä C ja C 1 menevät päällekkäin, mutta kärki B ja piste B 1 eivät täsmää. Tämä tapaus on esitetty seuraavassa kuvassa:

Riisi. 8

Tässä tapauksessa voimme havaita tasakylkisen kolmion ABB 1 (määritelmän mukaan - ehdolla AB = AB 1). Siksi ominaisuuden mukaan ∠AB 1 B = ∠ABV 1 . Harkitse ulkokulman määritelmää. ulkokulma kolmio on kulma, joka on kolmion minkä tahansa kulman vieressä. Sen astemitta on yhtä suuri kuin kolmion niiden kahden kulman summa, jotka eivät ole sen vieressä. Kuvassa näkyy tämä suhde:

Riisi. 9

Kulma 5 on kolmion ulkokulma ja on yhtä suuri kuin ∠5 = ∠1 + ∠2. Tästä seuraa, että ulkoinen kulma on suurempi kuin kukin kulmista, jotka eivät ole sen vieressä.

Siten ∠ABB 1 on kolmion ABC ulkoinen kulma ja on yhtä suuri kuin summa ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Siten ∠AB 1 B (joka on terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa ABB 1) ei voi olla yhtä suuri kuin kulma ∠ABB 1, koska tämä kulma on todistetusti tylpä.

Tämä tarkoittaa, että olettamuksemme pisteiden B ja B 1 sijainnista osoittautui vääräksi, joten nämä pisteet ovat samat. Tämä tarkoittaa, että kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat päällekkäin. Siksi ne ovat samanarvoisia (määritelmän mukaan).

Näitä ominaisuuksia ei siis esitetä turhaan, koska niitä voidaan käyttää joidenkin ongelmien ratkaisemiseen.

Omskin osavaltion yliopisto ().
Viiteportaali calc.ru ().
Opettajaportaali ().

1. Nro 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., toimittanut Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Education. 2010

2. Merkitse mahdolliset yhtä suuret kolmiot kuvan tietojen perusteella.

3. Merkitse mahdolliset yhtä suuret kolmiot kuvan tietojen perusteella. Muista, että AC = AF.

4. Suorakulmaisessa kolmiossa mediaani ja korkeus piirretään hypotenuusaan. Niiden välinen kulma on 20 o. Määritä annetun suorakulmaisen kolmion jokaisen terävän kulman koko.

1. Suorakulmaisten kolmioiden kaksi ensimmäistä yhtäläisyyden merkkiä.

Jotta kaksi kolmiota olisivat yhtä suuret, riittää, että yhden kolmion kolme alkiota ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion vastaavat alkiot, ja näiden alkioiden lukumäärään on sisällyttävä vähintään yksi sivu.

Koska kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuret, suorakulmaisilla kolmioilla on jo yksi yhtä suuri elementti, nimittäin yksi suora kulma.

Tästä seuraa, että suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret:

jos yhden kolmion jalat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen kolmion jalat (kuvio 153);

jos yhden kolmion jalka ja viereinen terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma (Kuva 154).

Todistamme nyt kaksi lausetta, jotka asettavat kaksi lisäkriteeriä suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyydelle.

Lauseet suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyysmerkeistä

Lause 1. Jos yhden kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Tämän lauseen todistamiseksi rakennamme kaksi suorakaiteen muotoista kaaria ABC ja A'B'C', joissa kulmat A ja A' ovat yhtä suuret, hypotenuusat AB ja A'B' ovat myös yhtä suuret ja kulmat C ja C' ovat oikealla (kuva 157) .

Asetetaan kolmio A'B'C'kolmioon ABC siten, että kärki A' osuu yhteen kärjen A kanssa, hypotenuusa A'B' osuu samaan hypotenuusan AB kanssa. Sitten kulmien A ja A ' yhtäläisyydestä johtuen haara A'C' kulkee haaraa AC pitkin; haara B'C' on linjassa haaran BC kanssa: molemmat ovat kohtisuorat yhdestä pisteestä B yhdelle suoralle AC. Tämä tarkoittaa, että kärjet C ja C' ovat kohdakkain.

Kolmio ABC on kohdistettu kolmion A'B'C' kanssa.

Siksi \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Tämä lause antaa 3. kriteerin suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyydelle (hypotenuusan ja terävän kulman mukaan).

Lause 2. Jos yhden kolmion hypotenuusa ja haara ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion hypotenuusa ja haara, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Tämän todistamiseksi rakennamme kaksi suorakulmaista kolmiota ABC ja A'B'C', joissa kulmat C ja C' ovat suoria, jalat AC ja A'C' ovat yhtä suuret, hypotenuusat AB ja A'B' ovat myös yhtä suuret (kuva 158).

Piirretään suora MN ja merkitään siihen piste C, josta vedetään kohtisuora SC suoraa MN vastaan. Sitten asetetaan kolmion ABC oikea kulma oikeaan kulmaan KSM siten, että niiden kärjet ovat kohdakkain ja jalka AC kulkee sädettä SK pitkin, sitten haara BC kulkee sädettä CM pitkin. Asetamme kolmion A'B'C' oikean kulman oikeaan kulmaan KCN niin, että niiden kärjet ovat kohdakkain ja haara A'C' kulkee sädettä SK pitkin, sitten haara C'B' kulkee sädettä CN pitkin. . Huippupisteet A ja A' osuvat yhteen, johtuen haarojen AC ja A'C' yhtäläisyydestä.

Kolmiot ABC ja A'B'C' muodostavat yhdessä tasakylkisen kolmion BAB', jossa AC on korkeus ja puolittaja ja siten kolmion BAB' symmetria-akseli. Tästä seuraa, että \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.

Tämä lause antaa 4. kriteerin suorakulmaisten kolmioiden (hypotenuusaa ja jalkaa pitkin) yhtäläisyydelle.

Joten kaikki suoran kolmion yhtäläisyyden merkit:

1. Jos yhden suorakulmaisen kolmion kaksi haaraa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
2. Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
3. Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
4. Jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
5. Jos yhden suorakulmaisen kolmion haara ja hypotenuusa ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja hypotenuusa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Muista edellisen oppitunnin materiaalista, että suorakulmaista kolmiota kutsutaan kolmioksi, jos sillä on vähintään yksi suoran kulmista (eli 90 o).

Havainnollistetaan tämä tapaus:

Riisi. 1. Tasaiset suorakulmaiset kolmiot

Todiste:

Muista mielivaltaisten kolmioiden ensimmäinen yhtäläisyys.

Riisi. 2

Samanlainen todistus on suorakulmaisille kolmioille:

Kolmiot ovat samat ensimmäisessä merkissä.

Riisi. 3

Todiste:

Riisi. 4

Käytetään toista kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä:

Samanlainen todiste suorakulmioista:

Kolmiot ovat yhtä suuret toisessa kriteerissä.

Todiste:

Riisi. 5

Muista kolmioiden yhtäläisyyden toinen kriteeri:

Riisi. 6

Nämä kolmiot ovat yhteneväisiä, jos:

Koska tiedetään, että yksi terävä kulmien pari suorakulmaisissa kolmioissa on yhtä suuri kuin (∠А = ∠А 1), niin toisen kulmaparin (∠B = ∠B 1) yhtäläisyys todistetaan seuraavasti:

Koska AB \u003d A 1 B 1 (ehdon mukaan), ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1. Siksi kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat yhtä suuria toisessa merkissä.

Harkitse seuraavaa kolmioiden yhtäläisyyden kriteeriä:

Jos yhden kolmion jalka ja hypotenuusa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion jalka ja hypotenuusa, tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Riisi. 7

Todiste:

Riisi. 8

Riisi. 9

Kulma 5 on kolmion ulkokulma ja on yhtä suuri kuin ∠5 = ∠1 + ∠2. Tästä seuraa, että ulkoinen kulma on suurempi kuin kukin kulmista, jotka eivät ole sen vieressä.

Näitä ominaisuuksia ei siis esitetä turhaan, koska niitä voidaan käyttää joidenkin ongelmien ratkaisemiseen.

Omskin osavaltion yliopisto ().
Viiteportaali calc.ru ().
Opettajaportaali ().

1. Nro 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., toimittanut Sadovnichiy V.A. Geometry 7. M .: Education. 2010

2. Merkitse mahdolliset yhtä suuret kolmiot kuvan tietojen perusteella.

3. Merkitse mahdolliset yhtä suuret kolmiot kuvan tietojen perusteella. Muista, että AC = AF.

4. Suorakulmaisessa kolmiossa mediaani ja korkeus piirretään hypotenuusaan. Niiden välinen kulma on 20 o. Määritä annetun suorakulmaisen kolmion jokaisen terävän kulman koko.

Osat: Matematiikka

Aihe: "Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit"

Tarkoitus: tiedon lujittaminen (suorien kolmioiden ominaisuudet), tutustuminen joihinkin suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkkeihin.

Tuntien aikana:

I. Organisatorinen hetki.
II. Suullisesti.

1. Vastaa kysymyksiin:

Nimeä suorakulmaisen kolmion elementit.
Mitkä ovat suorakulmaisen kolmion elementtien ominaisuudet?
Todista, että suorakulmaisen kolmion haara kulmaa 30 0 vastapäätä on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.
Osoita, että jos suorakulmaisen kolmion haara on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta, niin tämän haaran vastainen kulma on 30 0 .
Etsi x. Valitse vastauksesi kolmiosta. Sanan kirjaimet ovat kolmion sektoreissa. Parikeskustelu (3 min).

Kuva 1.

He keksivät sanan "merkki".

III. Uuden materiaalin oppiminen

Kolmioita tutkiessamme sanomme, että sillä on tiettyjä ominaisuuksia ja ominaisuuksia. Mitä merkkejä kolmion tasa-arvosta tiedät? Olemme muotoilleet ja todistaneet suorakulmaisten kolmioiden ominaisuudet, ja tänään tarkastelemme suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyden merkkejä, ratkaisemme ongelmia niiden avulla.

Todistaen kolmioiden yhtäläisyyden, kuinka monta paria vastaavasti yhtäläisiä alkioita löydettiin? Onko mahdollista todistaa suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyys kahdella jalalla?

Ennen kuin olet kaksi suorakulmaista kolmiota ABC ja A 1 B 1 C 1, niiden jalat ovat vastaavasti yhtä suuret. Todista, jos mahdollista, heidän tasa-arvonsa.

Nro 1. (kahdella jalalla)

Kuva 2.

Annettu: ABC ja A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1

Todista: ABC = A 1 B 1 C 1

Miltä merkki kuulostaa? (Sitten tehtävä nro 1)

Nro 2. (jalan ja sen vieressä olevan terävän kulman mukaan)

Kuva 3

Annettu: ABC ja A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, BC \u003d B 1 C 1, C \u003d C 1

Todista: ABC = A 1 B 1 C 1

Miltä merkki kuulostaa? (Sitten tehtävä nro 2)

Nro 3. (hypotenuusan ja terävän kulman mukaan)

Kuva 4

Annettu: ABC ja A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, AC \u003d A 1 C 1, A \u003d A 1

Todista: ABC = A 1 B 1 C 1

Miltä merkki kuulostaa? (Sitten tehtävä nro 3)

Tehtävät. Etsi yhtäläiset kolmiot ja todista niiden yhtäläisyys.

Kuva 5

IV. Oppitunnilla opitun lujittaminen.

Ratkaise seuraava ongelma.

Kuva 6

Annettu: ABC, A 1 B 1 C 1, DAB \u003d CBA \u003d 90 0, AD \u003d BD

Todista: CAB=DBA.

Keskustelu neljän hengen ryhmissä (3 min).

Miksi tehtävä oppikirjasta nro 261, jossa on huomautus.

Kuva 7

Annettu: ABC - tasakylkiset, AD ja CE - ABC:n korkeus

Todista: AD=CE

Todiste:

V. Kotitehtävät.

P.35 (kolme merkkiä), nro 261 (todista, että AOS on tasakylkinen), nro 268 (merkki suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyydestä jalkaa pitkin ja vastakkaisella kulmalla).

Seuraavalla geometrian oppitunnilla jatkamme tutustumista suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkkeihin. Kirjoitan myös arvosanat ensi kerralla 2 oppitunnin tulosten perusteella.

Lisäksi. Etsi yhtä suuret kolmiot.

Lippu numero 14

Monikulmio. Monikulmion elementit. Polygonien tyypit. Kuperan monikulmion kulmien summa.

Tarkastellaan segmenteistä AB, BC, CD, ..., EF, FA muodostuvaa kuvaa, jotta vierekkäiset segmentit (eli segmentit AB ja BC, BC ja CD, ..., FA ja AB) eivät ole samalla suoralla. viiva, ja vierekkäisillä segmenteillä ei ole yhteisiä pisteitä. Tällaista kuviota kutsutaan monikulmioksi. Pisteitä A, B, C, ..., E, F kutsutaan pisteiksi ja segmenttejä AB, BC, CD, ..., EF, FA kutsutaan monikulmion sivuiksi.

Kaikkien sivujen pituuksien summaa kutsutaan monikulmion kehäksi.

Monikulmio kanssa P huippuja kutsutaan P-gon.

Monikulmion kahta samalle puolelle kuuluvaa kärkeä kutsutaan naapuriksi. Janaa, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi ei-viereistä kärkeä, kutsutaan monikulmion diagonaaliksi.

Mikä tahansa monikulmio jakaa tason kahteen osaan, joista toista kutsutaan sisäiseksi ja toista monikulmion ulkoiseksi alueeksi.

Monikulmion sanotaan olevan kupera, jos se on jokaisen sen kahden vierekkäisen kärjen kautta kulkevan suoran toisella puolella. (Monikulmio ABCD on kupera, loput eivät ole kuperia)

Kuperan kulmien summa P-gon on yhtä suuri kuin ( P-2) 180°.

Seuraukset: 1) Minkä tahansa kolmion kulmien summa on 180 0

2) Minkä tahansa nelikulmion kulmien summa on 360 0

Lippu numero 15

Todista yksi suuntaviivan ominaisuuksista.

1°. Suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

2°. Leikkauspiste jakaa suunnikkaan diagonaalit.

Pythagoraan lause.

Lause: Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

reilua lause käännetään Pythagoraan lauseeseen

Lause : Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio.

Tämän lauseen avulla, kun tiedät kolmion sivut, voit määrittää, onko se suorakulmainen kolmio.

2. Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini, kosini, tangentti. Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot ovat 30 0 , 45 0 , 60 0 .

Määritelmä: Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä: Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä: Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen haaraan.

	30 0	45 0	60 0
Sin A
Cos A
Tg A

Lippu numero 17

Lippu numero 18

lause: Jos yhden kolmion 3 sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Lippu numero 14

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit. todiste yhdestä heistä.

Suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyydestä on neljä merkkiä:

Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen jalat, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. (AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1)

Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen haara ja sen vieressä oleva terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. (esimerkiksi AC=A 1 C 1 , RA=RA 1)

Jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. (esimerkiksi AB \u003d A 1 B 1, RA \u003d RA 1)

Jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja jalka ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen hypotenuusa ja haara, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. (esimerkiksi AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1)

Todistetaan testi hypotenuusalla ja terävällä kulmalla.

Suosittu luokassa: