Yhdenmukaisten kolmioiden määritelmä ja niiden ominaisuudet. Kolmion ominaisuudet
Kahden kolmion sanotaan olevan yhteneväisiä, jos ne voidaan yhdistää päällekkäin. Kuvassa 1 on yhtä suuret kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1. Jokainen näistä kolmioista voidaan asettaa päällekkäin niin, että ne ovat täysin yhteensopivia, eli niiden kärjet ja sivut ovat yhteensopivia pareittain. On selvää, että näiden kolmioiden kulmat täsmäävät myös pareittain.
Jos siis kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä, yhden kolmion alkiot (eli sivut ja kulmat) ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion alkiot. Ota huomioon, että yhtä suurissa kolmioissa vastaavasti yhtäläisiä sivuja vasten(eli päällekkäin päällekkäin) yhtä suuret kulmat ja takaisin: Tasaiset sivut ovat vastakkain yhtä suuria kulmia.
Joten esimerkiksi samansuuruisissa kolmioissa ABC ja A 1 B 1 C 1, jotka on esitetty kuvassa 1, vastapäätä yhtäläisiä sivuja AB ja A 1 B 1, vastaavasti, ovat yhtä suuret kulmat C ja C 1. Merkitään kolmioiden ABC ja A 1 B 1 C 1 yhtäläisyys seuraavasti: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Osoittautuu, että kahden kolmion yhtäläisyys voidaan määrittää vertaamalla joitain niiden elementtejä.
Lause 1. Ensimmäinen merkki kolmioiden tasa-arvosta. Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma on vastaavasti yhtä suuri kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä (kuva 2).
Todiste. Tarkastellaan kolmioita ABC ja A 1 B 1 C 1, joissa AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (katso kuva 2). Osoitetaan, että Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Koska ∠ A = ∠ A 1, niin kolmio ABC voidaan asettaa kolmion A 1 B 1 C 1 päälle siten, että kärki A on linjassa kärjen A 1 kanssa ja sivut AB ja AC asetetaan vastaavasti säteiden A 1 B 1 ja A 1 päälle. C1. Koska AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, niin sivu AB on linjassa sivun A 1 B 1 kanssa ja sivu AC on linjassa sivun A 1 C 1 kanssa; erityisesti pisteet B ja B1, C ja C 1 osuvat yhteen. Näin ollen sivut BC ja B 1 C 1 ovat kohdakkain. Joten kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat täysin yhteensopivia, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuret.
Lause 2 todistetaan samalla tavalla superpositiomenetelmällä.
Lause 2. Kolmioiden tasa-arvon toinen merkki. Jos yhden kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä (kuva 34).
Kommentti. Lauseen 2 perusteella laaditaan Lause 3.
Lause 3. Kolmion minkä tahansa kahden sisäkulman summa on pienempi kuin 180°.
Lause 4 seuraa viimeisestä lauseesta.
Lause 4. Kolmion ulkokulma on suurempi kuin mikä tahansa sisäkulma, joka ei ole sen vieressä.
Lause 5. Kolmioiden tasa-arvon kolmas merkki. Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä ().
Esimerkki 1. Kolmioissa ABC ja DEF (kuva 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Vertaa kolmioita ABC ja DEF. Mikä kulma kolmiossa DEF on yhtä suuri kuin kulma B?
Ratkaisu. Nämä kolmiot ovat yhtä suuret ensimmäisen merkin mukaan. Kolmion DEF kulma F on yhtä suuri kuin kolmion ABC kulma B, koska nämä kulmat ovat vastakkain yhtä suuria sivuja DE ja AC.
Esimerkki 2. Jaksot AB ja CD (kuva 5) leikkaavat pisteessä O, joka on niiden keskipiste. Mikä on janan BD pituus, jos segmentti AC on 6 m?
Ratkaisu.
Kolmiot AOC ja BOD ovat yhtä suuret (ensimmäisen kriteerin mukaan): ∠ AOC = ∠ BOD (pysty), AO = OB, CO = OD (ehdon mukaan).
Näiden kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa, että niiden sivut ovat yhtä suuret, eli AC = BD. Mutta koska ehdon mukaan AC = 6 m, niin BD = 6 m.
Yleensä kahta kolmiota pidetään samanlaisina, jos niillä on sama muoto, vaikka ne olisivat erikokoisia, kierrettyjä tai jopa ylösalaisin.
Kuvassa esitetty kahden samanlaisen kolmion A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaattinen esitys on kirjoitettu seuraavasti:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Kaksi kolmiota ovat samanlaisia, jos:
1. Kolmion jokainen kulma on yhtä suuri kuin toisen kolmion vastaava kulma:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 Ja ∠C 1 = ∠C 2
2. Yhden kolmion sivujen suhteet toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Suhteet kaksi puolta yksi kolmio toisen kolmion vastaaville sivuille ovat keskenään yhtä suuret ja samaan aikaan
näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
tai
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
tai
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$
Älä sekoita samanlaisia kolmioita samanlaisiin kolmioihin. Tasaisilla kolmioilla on samat vastaavat sivujen pituudet. Siksi yhtenevät kolmiot:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Tästä seuraa, että kaikki yhtäläiset kolmiot ovat samanlaisia. Kaikki samanlaiset kolmiot eivät kuitenkaan ole samanarvoisia.
Vaikka yllä oleva merkintä osoittaa, että saadaksemme selville, ovatko kaksi kolmiota samanlaisia vai eivät, meidän on tiedettävä kunkin kolmion kolmen kulman arvot tai kolmen sivun pituudet, jotta samankaltaisten kolmioiden kanssa tehtävät ongelmat voidaan ratkaista. mitkä tahansa kolme edellä mainituista arvoista kullekin kolmiolle. Nämä määrät voivat olla eri yhdistelmissä:
1) kunkin kolmion kolme kulmaa (sinun ei tarvitse tietää kolmioiden sivujen pituuksia).
Tai vähintään yhden kolmion 2 kulman on oltava yhtä suuri kuin toisen kolmion 2 kulmaa.
Koska jos 2 kulmaa ovat yhtä suuret, myös kolmas kulma on yhtä suuri (kolmannen kulman arvo on 180 - kulma1 - kulma2)
2) kunkin kolmion sivujen pituudet (kulmia ei tarvitse tietää);
3) molempien sivujen pituudet ja niiden välinen kulma.
Seuraavaksi tarkastellaan joidenkin ongelmien ratkaisemista samanlaisilla kolmioilla. Ensin tarkastellaan ongelmia, jotka voidaan ratkaista suoraan käyttämällä yllä olevia sääntöjä, ja sitten keskustellaan käytännön ongelmista, jotka voidaan ratkaista käyttämällä samanlaista kolmiomenetelmää.
Harjoittele ongelmia samanlaisten kolmioiden kanssa
Esimerkki 1:
Osoita, että alla olevan kuvan kaksi kolmiota ovat samanlaisia. 
Ratkaisu:
Koska molempien kolmioiden sivujen pituudet tunnetaan, voidaan tässä soveltaa toista sääntöä:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Esimerkki 2:
Osoita, että kaksi annettua kolmiota ovat samanlaisia ja määritä sivujen pituudet PQ Ja PR.
Ratkaisu:
∠A = ∠P Ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(koska ∠C = 180 - ∠A - ∠B ja ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
Tästä seuraa, että kolmiot ΔABC ja ΔPQR ovat samanlaisia. Siten:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 dollaria ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollaria
Esimerkki #3:
Määritä pituus AB tässä kolmiossa. 
Ratkaisu:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ja ∠A yleinen => kolmiot ΔABC Ja ΔADE ovat samankaltaisia.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \oikea nuoli 2\ kertaa AB = AB + 4 \oikea nuoli AB = 4 $
Esimerkki #4:
Määritä pituus AD(x) geometrinen kuvio kuvassa. 
Kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia, koska AB || DE ja niillä on yhteinen yläkulma C.
Näemme, että yksi kolmio on skaalattu versio toisesta. Tämä on kuitenkin todistettava matemaattisesti.
AB || DE, CD || AC ja BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC
Yllä olevan perusteella ja ottaen huomioon yhteisen kulman olemassaolo C, voimme väittää, että kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia.
Siten:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \ kertaa 11)(7 ) = 23,57 dollaria
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Käytännön esimerkkejä
Esimerkki #5:
Tehdas käyttää kaltevaa kuljetushihnaa tuotteiden kuljettamiseen tasolta 1 tasolle 2, joka on 3 metriä korkeampi kuin taso 1, kuten kuvassa näkyy. Kalteva kuljetin huolletaan toisesta päästä tasolle 1 ja toisesta päästä 8 metrin etäisyydellä tason 1 toimintapisteestä sijaitsevalle työpaikalle. 
Tehdas haluaa päivittää kuljettimen päästäkseen uudelle tasolle, joka on 9 metriä tason 1 yläpuolella, säilyttäen samalla kuljettimen kaltevuuskulman.
Määritä etäisyys, jolle uusi työpiste on asennettava varmistaaksesi, että kuljetin toimii uudessa päässään tasolla 2. Laske myös lisämatka, jonka tuote kulkee siirtyessään uudelle tasolle.
Ratkaisu:
Merkitään ensin jokainen risteyspiste tietyllä kirjaimella, kuten kuvassa näkyy.
Edellä aiemmissa esimerkeissä esitetyn päättelyn perusteella voimme päätellä, että kolmiot ΔABC ja ΔADE ovat samanlaisia. Siten,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \ kertaa 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Uusi piste on siis asennettava 16 metrin etäisyydelle olemassa olevasta pisteestä.
Ja koska rakenne koostuu suorakulmaisista kolmioista, voimme laskea tuotteen liikeetäisyyden seuraavasti:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Vastaavasti $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mikä on matka, jonka tuote tällä hetkellä kulkee saavuttaessaan nykyisen tason.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
tämä on lisämatka, joka tuotteen on kuljettava saavuttaakseen uuden tason.
Esimerkki #6:
Steve haluaa käydä ystävänsä luona, joka muutti äskettäin uuteen kotiin. Kuvassa on reittikartta Steven ja hänen ystävänsä taloon sekä Steven tuntemat etäisyydet. Auta Steveä pääsemään ystävänsä kotiin mahdollisimman nopeasti. 
Ratkaisu:
Tiekartta voidaan esittää geometrisesti seuraavassa muodossa, kuten kuvassa näkyy. 
Näemme, että kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia, joten:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Ongelmalausunnossa sanotaan, että:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km
Näiden tietojen avulla voimme laskea seuraavat etäisyydet:
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \kertaa CD)(BC) = \frac(13,13 \kertaa 4,41) (13,23) = 4,38 km$
Steve pääsee ystävänsä kotiin seuraavia reittejä pitkin:
A -> B -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Siksi reitti nro 3 on lyhin ja sitä voidaan tarjota Stevelle.
Esimerkki 7:
Trisha haluaa mitata talon korkeuden, mutta hänellä ei ole oikeita työkaluja. Hän huomasi talon edessä kasvavan puun ja päätti käyttää kekseliäisyyttään ja koulussa hankkimiaan geometriatietojaan rakennuksen korkeuden määrittämiseen. Hän mittasi etäisyyden puusta taloon, tulos oli 30 m. Sitten hän seisoi puun edessä ja alkoi liikkua taaksepäin, kunnes rakennuksen yläreuna tuli näkyviin puun latvan yläpuolelle. Trisha merkitsi tämän paikan ja mittasi etäisyyden siitä puuhun. Tämä etäisyys oli 5 m.
Puun korkeus on 2,8 m ja Trishan silmien korkeus on 1,6 m Auta Trishaa määrittämään rakennuksen korkeus. 
Ratkaisu:
Ongelman geometrinen esitys on esitetty kuvassa. 
Ensin käytämme kolmioiden ΔABC ja ΔADE samankaltaisuutta.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Oikeanuoli 2.8 \kertaa AC = 1.6 \kertaa (5) + AC) = 8 + 1,6 \ kertaa AC$
$(2,8 - 1,6) \ kertaa AC = 8 \Oikea nuoli AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $
Voimme sitten käyttää kolmioiden ΔACB ja ΔAFG tai ΔADE ja ΔAFG samankaltaisuutta. Valitaan ensimmäinen vaihtoehto.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \nuoli oikealle H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$
Yksinkertaisin monikulmio, jota koulussa tutkitaan, on kolmio. Se on opiskelijoille ymmärrettävämpää ja siinä on vähemmän vaikeuksia. Huolimatta siitä, että on olemassa erilaisia kolmioita, joilla on erityisiä ominaisuuksia.
Mitä muotoa kutsutaan kolmioksi?
Muodostuu kolmesta pisteestä ja segmentistä. Ensimmäisiä kutsutaan pisteiksi, toisia sivuiksi. Lisäksi kaikki kolme segmenttiä on yhdistettävä siten, että niiden välille muodostuu kulmia. Tästä johtuu "kolmio" -hahmon nimi.
Erot nimissä kulmissa
Koska ne voivat olla teräviä, tylpäitä ja suoria, kolmioiden tyypit määräytyvät näiden nimien mukaan. Näin ollen tällaisia lukuja on kolme ryhmää.
- Ensimmäinen. Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, sitä kutsutaan teräväksi. Kaikki on loogista.
- Toinen. Yksi kulmista on tylppä, mikä tarkoittaa, että kolmio on tylppä. Se ei voisi olla yksinkertaisempaa.
- Kolmanneksi. On olemassa 90 asteen kulma, jota kutsutaan suoraksi kulmaksi. Kolmiosta tulee suorakaiteen muotoinen.
Nimierot sivuilla
Sivujen ominaisuuksista riippuen erotetaan seuraavat kolmiot:
yleinen tapaus on scalene, jossa kaikki sivut ovat mielivaltaisen pituisia;
tasakylkiset, joiden kahdella sivulla on samat numeroarvot;
tasasivuinen, sen kaikkien sivujen pituudet ovat samat.
Jos ongelma ei määritä tietyntyyppistä kolmiota, sinun on piirrettävä mielivaltainen kolmio. Jossa kaikki kulmat ovat teräviä ja sivuilla eri pituisia.
Kaikille kolmioille yhteiset ominaisuudet
- Jos lasket yhteen kaikki kolmion kulmat, saat luvun, joka on yhtä suuri kuin 180º. Eikä sillä ole väliä minkä tyyppinen se on. Tämä sääntö pätee aina.
- Kolmion minkä tahansa sivun numeerinen arvo on pienempi kuin kaksi muuta yhteenlaskettua. Lisäksi se on suurempi kuin niiden ero.
- Jokaisella ulkokulmalla on arvo, joka saadaan lisäämällä kaksi sisäkulmaa, jotka eivät ole sen vieressä. Lisäksi se on aina suurempi kuin sen vieressä oleva sisäinen.
- Pienin kulma on aina vastapäätä kolmion pienempää sivua. Ja päinvastoin, jos sivu on suuri, kulma on suurin.
Nämä ominaisuudet ovat aina voimassa riippumatta siitä, minkä tyyppisiä kolmioita tehtävissä tarkastellaan. Kaikki loput johtuvat tietyistä ominaisuuksista.
Tasakylkisen kolmion ominaisuudet
- Pohjan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
- Korkeus, joka on vedetty pohjaan, on myös mediaani ja puolittaja.
- Kolmion sivusivuille rakennetut korkeudet, mediaanit ja puolittajat ovat vastaavasti yhtä suuret.
Tasasivuisen kolmion ominaisuudet
Jos tällainen luku on, niin kaikki hieman yllä kuvatut ominaisuudet pitävät paikkansa. Koska tasakylki on aina tasakylkinen. Mutta ei päinvastoin, tasakylkinen kolmio ei välttämättä ole tasasivuinen.
- Kaikki sen kulmat ovat keskenään yhtä suuret ja niiden arvo on 60º.
- Mikä tahansa tasasivuisen kolmion mediaani on sen korkeus ja puolittaja. Lisäksi ne ovat kaikki tasa-arvoisia keskenään. Niiden arvojen määrittämiseksi on kaava, joka koostuu sivun ja 3:n neliöjuuren tulosta jaettuna kahdella.
Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet
- Kaksi terävää kulmaa laskevat yhteen 90º.
- Hypotenuusan pituus on aina suurempi kuin minkään jalan pituus.
- Hypotenuusaan vedetyn mediaanin numeerinen arvo on yhtä suuri kuin sen puolikas.
- Jalka on sama arvo, jos se on 30º kulman vastapäätä.
- Korkeudella, joka on vedetty kärjestä arvolla 90º, on tietty matemaattinen riippuvuus jaloista: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Tässä: a, b - jalat, n - korkeus.
Ongelmia erityyppisten kolmioiden kanssa
Nro 1. Annettu tasakylkinen kolmio. Sen ympärysmitta on tiedossa ja se on 90 cm. Meidän on selvitettävä sen sivut. Lisäehtona: sivupuoli on 1,2 kertaa pienempi kuin pohja.
Kehyksen arvo riippuu suoraan määristä, jotka on löydettävä. Kaikkien kolmen sivun summa antaa 90 cm Nyt sinun on muistettava kolmion merkki, jonka mukaan se on tasakylkinen. Eli molemmat puolet ovat tasa-arvoisia. Voit luoda yhtälön kahdella tuntemattomalla: 2a + b = 90. Tässä a on sivu, b on kanta.
Nyt on lisäehdon aika. Sen jälkeen saadaan toinen yhtälö: b = 1.2a. Voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisellä. Osoittautuu: 2a + 1.2a = 90. Muutosten jälkeen: 3.2a = 90. Siten a = 28.125 (cm). Nyt on helppo selvittää perusteet. Tämä on parasta tehdä toisesta ehdosta: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Voit tarkistaa lisäämällä kolme arvoa: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Oikein.
Vastaus: Kolmion sivut ovat 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
Nro 2. Tasasivuisen kolmion sivu on 12 cm Sinun on laskettava sen korkeus.
Ratkaisu. Vastauksen löytämiseksi riittää palata hetkeen, jossa kolmion ominaisuudet kuvattiin. Tämä on kaava tasasivuisen kolmion korkeuden, mediaanin ja puolittajan löytämiseksi.
n = a * √3 / 2, missä n on korkeus ja a on sivu.
Korvaus ja laskeminen antavat seuraavan tuloksen: n = 6 √3 (cm).
Tätä kaavaa ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat, että korkeus jakaa kolmion kahteen suorakaiteen muotoiseen. Lisäksi se osoittautuu jalaksi, ja siinä oleva hypotenuusa on alkuperäisen sivu, toinen jalka on puolet tunnetusta sivusta. Nyt sinun on kirjoitettava Pythagoraan lause ja johdettava kaava korkeudelle.
Vastaus: korkeus on 6√3 cm.
Nro 3. Kun MKR on kolmio, jossa kulma K on 90 astetta, sivut MR ja KR ovat yhtä suuria kuin 30 ja 15 cm. Meidän on selvitettävä kulman P arvo.
Ratkaisu. Jos piirrät, käy selväksi, että MR on hypotenuusa. Lisäksi se on kaksi kertaa suurempi kuin KR:n kylki. Jälleen sinun on käännyttävä ominaisuuksiin. Yksi niistä liittyy kulmiin. Siitä on selvää, että KMR-kulma on 30º. Tämä tarkoittaa, että haluttu kulma P on 60º. Tämä seuraa toisesta ominaisuudesta, jonka mukaan kahden terävän kulman summan on oltava 90º.
Vastaus: kulma P on 60º.
Nro 4. Meidän on löydettävä tasakylkisen kolmion kaikki kulmat. Siitä tiedetään, että ulkoinen kulma kulmasta pohjassa on 110º.
Ratkaisu. Koska vain ulkoinen kulma on annettu, sinun on käytettävä tätä. Se muodostaa taittamattoman kulman sisäisen kanssa. Tämä tarkoittaa, että yhteensä ne antavat 180º. Eli kolmion pohjan kulma on 70º. Koska se on tasakylkinen, toisella kulmalla on sama arvo. On vielä laskettava kolmas kulma. Kaikille kolmioille yhteisen ominaisuuden mukaan kulmien summa on 180º. Tämä tarkoittaa, että kolmas määritellään 180º - 70º - 70º = 40º.
Vastaus: Kulmat ovat 70º, 70º, 40º.
Nro 5. Tiedetään, että tasakylkisessä kolmiossa kantaa vastapäätä oleva kulma on 90º. Pohjaan on merkitty piste. Suoraan kulmaan yhdistävä segmentti jakaa sen suhteessa 1:4. Sinun on selvitettävä pienemmän kolmion kaikki kulmat.
Ratkaisu. Yksi kulmista voidaan määrittää välittömästi. Koska kolmio on suorakulmainen ja tasakylkinen, ne, jotka sijaitsevat sen pohjalla, ovat kukin 45º, eli 90º/2.
Toinen niistä auttaa sinua löytämään ehdossa tunnetun suhteen. Koska se on 1-4, niin osat, joihin se on jaettu, ovat vain 5. Tämä tarkoittaa, että kolmion pienemmän kulman selvittämiseksi tarvitset 90º/5 = 18º. On vielä selvitettävä kolmas. Tätä varten sinun on vähennettävä 45º ja 18º 180º:sta (kolmion kaikkien kulmien summa). Laskelmat ovat yksinkertaisia, ja saat: 117º.
Geometriatiede kertoo meille, mitä kolmio, neliö ja kuutio ovat. Nykymaailmassa kaikki poikkeuksetta opiskelevat sitä kouluissa. Myös tiede, joka tutkii suoraan mitä kolmio on ja mitä ominaisuuksia sillä on, on trigonometria. Hän tutkii yksityiskohtaisesti kaikkia tietoihin liittyviä ilmiöitä. Puhumme artikkelissamme siitä, mikä kolmio on tänään. Niiden tyypit kuvataan alla sekä joitain niihin liittyviä lauseita.
Mikä on kolmio? Määritelmä
Tämä on tasainen monikulmio. Siinä on kolme kulmaa, kuten sen nimestä käy ilmi. Siinä on myös kolme sivua ja kolme kärkeä, joista ensimmäinen on segmenttejä, toinen pisteitä. Kun tiedät, mitä kaksi kulmaa ovat yhtä suuria, voit löytää kolmannen vähentämällä kahden ensimmäisen summan luvusta 180.
Millaisia kolmioita on olemassa?
Ne voidaan luokitella eri kriteerien mukaan.
Ensinnäkin ne jaetaan teräväkulmaisiin, tylppäkulmaisiin ja suorakaiteen muotoisiin. Ensin mainituilla on terävät kulmat, toisin sanoen ne, jotka ovat pienempiä kuin 90 astetta. Tylppäissä kulmissa yksi kulmista on tylppä, eli yksi, joka on suurempi kuin 90 astetta, kaksi muuta ovat teräviä. Terävät kolmiot sisältävät myös tasasivuiset kolmiot. Tällaisten kolmioiden kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Ne ovat kaikki 60 astetta, tämä voidaan helposti laskea jakamalla kaikkien kulmien summa (180) kolmella.
Suorakulmainen kolmio
On mahdotonta olla puhumatta siitä, mikä on suorakulmainen kolmio.
Tällaisella kuviolla on yksi kulma, joka on 90 astetta (suora), eli sen kaksi sivua ovat kohtisuorassa. Loput kaksi kulmaa ovat teräviä. Ne voivat olla yhtä suuret, silloin se on tasakylkinen. Pythagoraan lause liittyy suorakulmaiseen kolmioon. Sen avulla voit löytää kolmannen puolen, tietäen kaksi ensimmäistä. Tämän lauseen mukaan, jos lisäät yhden jalan neliön toisen jalan neliöön, saat hypotenuusan neliön. Jalan neliö voidaan laskea vähentämällä tunnetun jalan neliö hypotenuusan neliöstä. Puhuessamme siitä, mitä kolmio on, voimme myös muistaa tasakylkisen kolmion. Tämä on sellainen, jossa kaksi sivua ovat yhtä suuret ja kaksi kulmaa ovat myös yhtä suuret.
Mitä ovat jalka ja hypotenuusa?
Jalka on yksi kolmion sivuista, joka muodostaa 90 asteen kulman. Hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva jäljellä oleva puoli. Voit laskea siitä kohtisuoran jalkaan. Viereisen puolen suhdetta hypotenuusaan kutsutaan kosiniksi ja vastakkaista puolta kutsutaan siniksi.
- mitkä ovat sen ominaisuudet?
Se on suorakaiteen muotoinen. Sen jalat ovat kolme ja neljä, ja sen hypotenuusa on viisi. Jos näet, että tietyn kolmion jalat ovat kolme ja neljä, voit olla varma, että hypotenuusa on yhtä suuri kuin viisi. Tämän periaatteen avulla voit myös helposti määrittää, että jalka on yhtä suuri kuin kolme, jos toinen on neljä ja hypotenuusa on viisi. Tämän väitteen todistamiseksi voit soveltaa Pythagoraan lausetta. Jos kaksi jalkaa ovat 3 ja 4, niin 9 + 16 = 25, luvun 25 juuri on 5, eli hypotenuusa on 5. Egyptin kolmio on myös suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 6, 8 ja 10; 9, 12 ja 15 sekä muut numerot suhteessa 3:4:5.
Mitä muuta kolmio voisi olla?
Kolmiot voidaan myös kirjoittaa tai rajata. Kuvaa, jonka ympärillä ympyrä on kuvattu, kutsutaan piirretyksi, kaikki sen kärjet ovat ympyrän päällä olevia pisteitä. Rajoitettu kolmio on sellainen, johon ympyrä on piirretty. Sen kaikki sivut koskettavat sitä tietyissä kohdissa.
Miten se sijaitsee?
Minkä tahansa hahmon pinta-ala mitataan neliöyksiköinä (neliömetrinä, neliömillimetrinä, neliösenttinä, neliösenttimetrinä jne.) Tämä arvo voidaan laskea monin eri tavoin kolmion tyypistä riippuen. Minkä tahansa kulmilla varustetun hahmon pinta-ala saadaan kertomalla sen sivu siihen kohtisuoralla, joka on pudotettu siihen vastakkaisesta kulmasta, ja jakamalla tämä kuva kahdella. Voit myös löytää tämän arvon kertomalla kaksi puolta. Kerro sitten tämä luku näiden sivujen välisen kulman sinillä ja jaa tämä tulos kahdella. Kun tiedät kolmion kaikki sivut, mutta et tiedä sen kulmia, voit löytää alueen toisella tavalla. Tätä varten sinun on löydettävä puolet kehästä. Vähennä sitten vuorotellen tästä luvusta eri puolet ja kerro saadut neljä arvoa. Etsi seuraavaksi ilmestyneestä numerosta. Piirretyn kolmion pinta-ala saadaan kertomalla kaikki sivut ja jakamalla saatu luku sen ympärille piirretyllä numerolla kerrottuna neljällä.
Piirretyn kolmion pinta-ala löydetään tällä tavalla: kerromme puolet kehästä siihen piirretyn ympyrän säteellä. Jos sitten sen pinta-ala löytyy seuraavasti: neliötä sivu, kerro tuloksena oleva luku kolmen juurella ja jaa sitten tämä luku neljällä. Samalla tavalla voit laskea kolmion korkeuden, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret, jotta voit tehdä tämän, sinun on kerrottava yksi niistä kolmen juurella ja jaettava sitten tämä luku kahdella.
Kolmioon liittyvät lauseet
Tärkeimmät tähän kuvioon liittyvät lauseet ovat edellä kuvattu Pythagoraan lause ja kosinit. Toinen (sineistä) on, että jos jaat minkä tahansa sivun sitä vastakkaisen kulman sinillä, saat sen ympärille kuvatun ympyrän säteen kerrottuna kahdella. Kolmas (kosinit) on, että jos kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo, kerrottuna kahdella, ja niiden välissä olevan kulman kosini, niin saadaan kolmannen sivun neliö.
Dali-kolmio - mikä se on?
Monet tämän käsitteen kohdatessaan ajattelevat aluksi, että tämä on jonkinlainen geometrian määritelmä, mutta näin ei ole ollenkaan. Dali-kolmio on yleinen nimi kolmelle paikalle, jotka liittyvät läheisesti kuuluisan taiteilijan elämään. Sen "huippuja" ovat talo, jossa Salvador Dali asui, linna, jonka hän antoi vaimolleen, sekä surrealististen maalausten museo. Näissä paikoissa tehdyn kiertueen aikana voit oppia monia mielenkiintoisia faktoja tästä ainutlaatuisesta luovasta taiteilijasta, joka tunnetaan kaikkialla maailmassa.
Aiheesta "Kolmio" voisi luultavasti kirjoittaa kokonaisen kirjan. Mutta koko kirjan lukeminen kestää liian kauan, eikö niin? Siksi tässä tarkastelemme vain tosiseikkoja, jotka liittyvät mihin tahansa kolmioon yleensä, ja kaikenlaisia erityisiä aiheita, kuten jne. erotettu erillisiksi aiheiksi - lue kirja osiin. No, kuten mikä tahansa kolmio.
1. Kolmion kulmien summa. Ulkokulma.
Muista lujasti äläkä unohda. Emme todista tätä (katso seuraavat teoriatasot).
Ainoa asia, joka saattaa hämmentää sinua muotoilussamme, on sana "sisäinen".
Miksi se on täällä? Mutta juuri korostaaksemme, että puhumme kulmista, jotka ovat kolmion sisällä. Onko ulkona oikeasti muita kulmia? Kuvittele vain, niitä tapahtuu. Kolmiolla on edelleen ulkoiset kulmat. Ja tärkein seuraus siitä, että määrä sisäiset kulmat kolmio on yhtä suuri kuin, koskettaa vain ulompaa kolmiota. Joten selvitetään mikä tämä kolmion ulkokulma on.
Katso kuvaa: ota kolmio ja (oletetaan) jatka toiselta puolelta.
Tietysti voisimme jättää puolen ja jatkaa puolella. Kuten tämä:
Mutta sitä ei voi sanoa kulmasta missään olosuhteissa. se on kielletty!
Joten jokaista kolmion ulkopuolella olevaa kulmaa ei voida kutsua ulkoiseksi kulmaksi, vaan vain muodostunutta kulmaa toisella puolella ja jatkoa toiselle.
Mitä meidän pitäisi tietää ulkoisista kulmista?
Katso, kuvassamme tämä tarkoittaa sitä.
Miten tämä liittyy kolmion kulmien summaan?
Selvitetään se. Sisäkulmien summa on
mutta - koska ja - ovat vierekkäisiä.
No, täältä se tulee: .
Näetkö kuinka yksinkertaista se on?! Mutta hyvin tärkeä. Muista siis:
Kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri ja kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.
2. Kolmion epäyhtälö
Seuraava tosiasia ei koske kulmia, vaan kolmion sivuja.
Se tarkoittaa sitä
Oletko jo arvannut, miksi tätä tosiasiaa kutsutaan kolmion epätasa-arvoksi?
No, missä tästä kolmion epätasa-arvosta voi olla hyötyä?
Kuvittele, että sinulla on kolme ystävää: Kolya, Petya ja Sergei. Ja niin Kolya sanoo: "Kotoani Petyaan suoraan." Ja Petya: "Kotoani Sergein taloon, metriä suorassa linjassa." Ja Sergei: "Se on hyvä sinulle, mutta talostani Kolinoyeen on suora viiva." No, tässä sinun on sanottava: "Lopeta, lopeta! Jotkut teistä valehtelevat!"
Miksi? Kyllä, koska jos Kolyasta Petyaan on m ja Petyasta Sergeihin on m, niin Kolyasta Sergeihin on ehdottomasti oltava vähemmän () metriä - muuten sama kolmion epätasa-arvo rikotaan. No, tervettä järkeä rikotaan ehdottomasti, luonnollisesti: loppujen lopuksi kaikki tietävät lapsuudesta lähtien, että polun suoralle viivalle () tulisi olla lyhyempi kuin polku pisteeseen. (). Joten kolmion epäyhtälö heijastaa vain tätä tunnettua tosiasiaa. No, nyt tiedät kuinka vastata vaikkapa kysymykseen:
Onko kolmiolla sivuja?
Sinun on tarkistettava, onko totta, että mikä tahansa kaksi näistä kolmesta luvusta on enemmän kuin kolmas. Tarkistetaan: tämä tarkoittaa, että ei ole olemassa sellaista asiaa kuin kolmio, jossa on sivut! Mutta sivuilla - se tapahtuu, koska
3. Kolmioiden yhtäläisyys
No, entä jos kolmioita ei ole yksi, vaan kaksi tai useampia. Kuinka voit tarkistaa, ovatko ne samanarvoisia? Itse asiassa määritelmän mukaan:
Mutta... tämä on hirveän hankala määritelmä! Kuinka, rukoilkaapa, voi mennä päällekkäin kaksi kolmiota jopa vihkossa?! Mutta onneksi meillä on kolmioiden yhtäläisyyden merkkejä, joiden avulla voit toimia mielesi mukaan vaarantamatta muistikirjojasi.
Ja lisäksi, heittäen pois kevytmielisiä vitsejä, kerron sinulle salaisuuden: matemaatikolle sana "kolmioiden päällekkäisyys" ei tarkoita niiden leikkaamista ja asettamista päällekkäin, vaan useiden, monien, monien sanojen sanomista, jotka todistavat, että kaksi kolmiota osuvat yhteen, kun ne asetetaan päällekkäin. Joten älä missään tapauksessa kirjoita työhösi "Tarkastin - kolmiot osuvat kohdakkain, kun niitä sovelletaan" - he eivät laske sitä sinulle, ja ne ovat oikeassa, koska kukaan ei takaa, että et ole tehnyt virhettä hakeessasi, sanotaan neljännes millimetriä.
Joten jotkut matemaatikot sanoivat joukon sanoja, emme toista näitä sanoja niiden jälkeen (paitsi ehkä teorian viimeisellä tasolla), mutta käytämme aktiivisesti kolme kolmioiden tasa-arvomerkkiä.
Jokapäiväisessä (matemaattisessa) käytössä tällaiset lyhennetyt formulaatiot hyväksytään - ne on helpompi muistaa ja soveltaa.
- Ensimmäinen merkki on kahdella sivulla ja niiden välinen kulma;
- Toinen merkki on kahdessa kulmassa ja viereisellä puolella;
- Kolmas merkki on kolmella sivulla.
KOLMIO. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA
Kolmio on geometrinen kuvio, joka muodostuu kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
Peruskonseptit.
Perusominaisuudet:
- Minkä tahansa kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri, ts.
- Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä, ts.
tai - Kolmion minkä tahansa kahden sivun pituuksien summa on suurempi kuin kolmion kolmannen sivun pituus, ts.
- Kolmiossa suurempi sivu on suurempaa kulmaa vastapäätä ja suurempi kulma isompaa sivua vastapäätä, ts.
jos sitten ja päinvastoin,
jos sitten.
Kolmioiden tasa-arvon merkit.
1. Ensimmäinen merkki- kahdella sivulla ja niiden välisessä kulmassa.
2. Toinen merkki- kahdessa kulmassa ja viereisellä sivulla.
3. Kolmas merkki- kolmelta puolelta.
No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.
Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!
Nyt se tärkein asia.
Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.
Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...
Minkä vuoksi?
Menestyksekkäästä Unified State Exam -kokeen läpäisystä, korkeakouluun pääsystä budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.
En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...
Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.
Mutta tämä ei ole pääasia.
Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...
Mutta ajattele itse...
Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?
SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.
Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.
Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.
Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.
Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.
Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!
Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.
Jotta voisit käyttää tehtäviämme paremmin, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.
Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:
- Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
- Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 RUR
Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.
Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.
Tiivistettynä...
Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.
"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.
Etsi ongelmia ja ratkaise ne!
