Löydä tarkka ratkaisu yhtälöön. Eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaiseminen matematiikassa

Kvadraattisia yhtälöitä tutkitaan luokassa 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on ehdottoman välttämätöntä.

Neljännellinen yhtälö on muodon ax 2 + bx + c \u003d 0 yhtälö, jossa kertoimet a, b ja c ovat mielivaltaisia \u200b\u200blukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkitaan erityisiä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki neliömäiset yhtälöt voidaan jakaa ehdollisesti kolmeen luokkaan:

1. Ei ole juuria;
2. On juuri yksi juuri;
3. Heillä on kaksi erillistä juuria.

Tämä on tärkeä ero kvadraattisten ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrität kuinka monella juurella yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - diskriminantti.

diskriminantti

Annetaan neliömäinen yhtälö ax 2 + bx + c \u003d 0. Sitten erottelija on vain luku D \u003d b 2 - 4ac.

Tämä kaava on tunnettava sydämestäsi. Mistä se tulee - sillä ei ole väliä nyt. Toinen asia on tärkeä: syrjinnän merkillä voit määrittää, kuinka monta juuria neliömäinen yhtälö on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D \u003d 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D\u003e 0, siellä on kaksi juuria.

Huomaa: syrjivä osoittaa juurten määrän eikä ollenkaan merkkejä, kuten jostain syystä monet uskovat. Katso esimerkkejä - ja sinä ymmärrät kaiken:

Tehtävä. Kuinka monella juurella on kvadraattiset yhtälöt:

1. x2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Kirjoita meille ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydä erottelija:
a \u003d 1, b \u003d −8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2 - 4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Joten erotin on positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi erilaista juuria. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d −131.

Erottaja on kielteinen, juuria ei ole. Viimeinen yhtälö pysyy:
a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2 - 4 1 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Erottaja on nolla - siellä on yksi juuri.

Huomaa, että kertoimet on kirjoitettu jokaiselle yhtälölle. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia ja et tee tyhmiä virheitä. Valitse itsellesi: nopeus tai laatu.

Muuten, jos "täytät käden", hetken kuluttua sinun ei enää tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toimenpiteet päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tämän jonnekin, kun 50–70 yhtälöt on ratkaistu - yleensä ei niin paljon.

Toissijaiset juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos erottava D\u003e 0, juuret löytyvät kaavoista:

Peruskaava neliömäisen yhtälön juurille

Kun D \u003d 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2 x 3 - 0 \u003d 0 a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (−2) 2 - 4 1 (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Löydämme ne:

Toinen yhtälö:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d -2; c \u003d 15;
D \u003d (−2) 2 - 4 (−1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ yhtälöllä on taas kaksi juuria. Löydämme ne

\\ [\\ aloita (kohdista) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ vasen (-1 \\ oikea)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ vasen (-1 \\ oikea)) \u003d 3. \\\\ \\ loppu (kohdista) \\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkkeistä voidaan nähdä, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tiedät kaavat ja osaat laskea, ongelmia ei tule. Useimmiten virheitä tapahtuu korvaamalla kaavassa negatiiviset kertoimet. Tässä taas auttaa yllä kuvattu tekniikka: tarkastele kaavaa kirjaimellisesti, kuvaile jokaista vaihetta - ja pääset pian eroon virheistä.

Epätäydelliset asteen yhtälöt

Tapahtuu, että neliömäinen yhtälö eroaa jonkin verran määritelmässä annetusta. Esimerkiksi:

1. x2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaisia \u200b\u200bneliömäisiä yhtälöitä on vielä helpompi ratkaista kuin tavanomaisia: niiden ei tarvitse edes laskea erottavaa. Joten esitellään uusi käsite:

Yhtälöä ax 2 + bx + c \u003d 0 kutsutaan epätäydelliseksi neliömäiseksi yhtälöksi, jos b \u003d 0 tai c \u003d 0, ts. kerroin muuttujassa x tai vapaassa elementissä on nolla.

Tietenkin erittäin vaikea tapaus on mahdollista, kun molemmat kertoimet ovat yhtä kuin nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muoto ax 2 \u003d 0. On selvää, että tällä yhtälöllä on yksi juuri: x \u003d 0.

Tarkastellaan muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme muodon ax 2 + c \u003d 0. epätäydellisen asteen yhtälön. Muunnamme sitä hiukan:

Koska aritmeettinen neliöjuuri esiintyy vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeinen tasa-arvo on järkevä vain (−c / a) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätasa-arvo (−c / a) ≥ 0 pysyy muodon ax 2 + c \u003d 0 epätäydellisessä kvadraattisessa yhtälössä, siellä on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (−c / a)< 0, корней нет.

Kuten näette, erottelijaa ei vaadittu - epätäydellisissä kvadraattisissa yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia \u200b\u200blaskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epätasa-arvoa (−c / a) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan \u200b\u200barvo x 2 ja katsotaan, mikä seisoo yhtälön toisella puolella. Jos on positiivinen luku, siellä on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei tule ollenkaan.

Nyt käsitellään muodon ax 2 + bx \u003d 0 yhtälöitä, joissa vapaa elementti on yhtä suuri kuin nolla. Kaikki on täällä yksinkertaista: siellä on aina kaksi juuria. Riittää, että poistetaan polynomi:

Faktorointi yhteinen tekijä

Tuote on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tästä ovat juuret. Lopuksi analysoimme useita tällaisia \u200b\u200byhtälöitä:

Tehtävä. Ratkaise neliömäiset yhtälöt:

1. x2 - 7x \u003d 0;
2. 5x2 + 30 \u003d 0;
3. 4x2 - 9 \u003d 0.

x2 - 7x \u003d 0 x x (x - 7) \u003d 0 x x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. Juuria ei ole, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x2 - 9 \u003d 0 - 4x2 \u003d 9 x 2 \u003d 9/4 x x \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d −1,5.

Tarkastellaan kahden tyyppisiä ratkaisuja yhtälöjärjestelmiin:

1. Järjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä.
2. Järjestelmän ratkaisu lisäämällä (vähentämällä) järjestelmän yhtälöt termillä kerrallaan.

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. Me ilmaisemme. Ilmoita yksi muuttuja mistä tahansa yhtälöstä.
2. Korvaa. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijasta.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termiin liittämisellä (vähennys) tarvitsee:
1. Valitse muuttuja, jolle tehdään samat kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöt, lopulta saadaan yhtälö yhdellä muuttujalla.
3. Ratkaise tuloksena oleva lineaarinen yhtälö. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisu on funktion kuvaajien leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan \u200b\u200bkorvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä

2x + 5y \u003d 1 (1 yhtälö)
x-10y \u003d 3 (2 yhtälö)

1. Ilmaisee
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, joten osoittautuu, että muuttujaa x on helpointa ilmaista toisesta yhtälöstä.
x \u003d 3 + 10 vuotta

2. Kun olemme ilmaisseet, korvaamme 3 + 10y ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x sijasta.
2 (3 + 10 vuotta) + 5 vuotta \u003d 1

3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla.
2 (3 + 10 v) + 5 v \u003d 1 (laajenna suluja)
6 + 20 v + 5 v \u003d 1
25y \u003d 1-6
25y \u003d -5 |: (25)
y \u003d -5: 25
y \u003d -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on kuvaajien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x: stä ja y: stä. Löydä x, ensimmäisessä kappaleessa, jossa ilmaisimme, korvaamme y: n.
x \u003d 3 + 10 vuotta
x \u003d 3 + 10 * (- 0,2) \u003d 1

On tapana kirjoittaa pisteitä ensin kirjoittamalla muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaislaan tapauskohtaisesti lisäämällä (vähentämällä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen lisäysmenetelmällä

3x-2y \u003d 1 (1 yhtälö)
2x-3y \u003d -10 (2 yhtälö)

1.Valitse muuttuja, esimerkiksi, valitse x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujalla x on kerroin 3, toisessa 2. Kertoimet on tehtävä yhtä suuret, jotta meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Ensimmäinen yhtälö kerrotaan 2: lla ja toinen 3: lla, ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2y \u003d 1 | * 2
6x-4y \u003d 2

2x-3y \u003d -10 | * 3
6x-9y \u003d -30

2. Vähennä muuttuja x vähentämällä toinen ensimmäisestä yhtälöstä. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y \u003d 2

5y \u003d 32 | :viisi
y \u003d 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y millä tahansa yhtälöllä, sanotaan ensimmäisessä yhtälössä.
3x-2y \u003d 1
3x-2 * 6,4 \u003d 1
3x-12,8 \u003d 1
3x \u003d 1 + 12,8
3x \u003d 13,8 |: 3
x \u003d 4,6

Leikkauspiste on x \u003d 4,6; y \u003d 6,4
Vastaus: (4,6; 6,4)

Haluatko opiskella tenttejä ilmaiseksi? Online-ohjaaja on ilmainen... Ihan totta.

Viimeisen testin valmisteluvaiheessa lukiolaisten on parannettava tietämistään aiheesta "Eksponentiaaliset yhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat tiettyjä vaikeuksia koululaisille. Siksi lukiolaisten on koulutuksestaan \u200b\u200briippumatta hallittava perusteellisesti teoria, muistettava kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Saatuaan tietää, miten selviytyä tämän tyyppisistä ongelmista, valmistuneet voivat luottaa hyviin pisteisiin suorittaessaan matematiikan tentin.

Valmistaudu koekäyttöön Shkolkovon avulla!

Tarkastellessaan tarkasteltavia materiaaleja monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää kaavoja yhtälöiden ratkaisemiseksi. Koulun oppikirja ei ole aina käsillä, ja Internetissä tarvittavan tiedon valitseminen aiheesta vie kauan.

Koulutusportaali "Shkolkovo" kehottaa opiskelijoita käyttämään tietopohjamme. Otamme käyttöön täysin uuden menetelmän valmistautua lopulliseen testaukseen. Opiskelemalla sivustollemme voit tunnistaa puutteet tiedossa ja kiinnittää huomiota juuri niihin tehtäviin, jotka aiheuttavat suurimmat vaikeudet.

Shkolkovon opettajat keräsivät, systematisoivat ja esittivät kaiken yhtenäisen valtiontentin onnistuneen läpikäynnin edellyttämän materiaalin yksinkertaisimmassa ja helpoimmassa muodossa.

Perusmääritelmät ja kaavat esitetään "Teoreettinen viite" -osiossa.

Aineiston paremman omaksumisen kannalta suosittelemme tehtävien harjoittelua. Katso tarkkaan esimerkkejä eksponentiaal yhtälöistä tällä sivulla esitetyllä ratkaisulla ymmärtääksesi laskenta-algoritmi. Jatka sen jälkeen "Hakemistot" -kohdan tehtäviin. Voit aloittaa helpoimmista ongelmista tai siirtyä suoraan monimutkaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseen useiden tuntemattomien kanssa tai. Verkkosivumme harjoittelupohjaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Ne esimerkit indikaattoreilla, jotka ovat aiheuttaneet sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä suosikkeihisi. Tällä tavalla voit löytää ne nopeasti ja keskustella ratkaisusta opettajasi kanssa.

Tutki Shkolkovo-portaalissa joka päivä, jotta USE menestyisi onnistuneesti!

Tässä videossa analysoimme koko joukko lineaarisia yhtälöitä, jotka on ratkaistu samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Aluksi määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja mikä on yksinkertaisin niistä?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin algoritmia käyttämällä:

1. Laajenna suluja, jos sellaisia \u200b\u200bon;
2. Siirrä muuttujaa sisältävät termit yhtämerkin yhdelle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle;
3. Tuo samanlaiset termit yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa tuloksena oleva yhtälö muuttujan $ x $ kertoimella.

Tietysti tämä algoritmi ei aina auta. Tosiasia, että joskus kaikkien näiden machinaatioiden jälkeen muuttujan $ x $ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa ovat mahdollisia:

1. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun saat jotain 0 dollaria \\ cdot x \u003d 8 $, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla ei-nolla numero. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä kerralla, miksi tällainen tilanne on mahdollista.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, kun tämä on mahdollista - yhtälö on pienennetty rakenteeseen $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $ x $ korvaamme, siitä tulee silti "nolla nolla", ts. oikea numeerinen tasa-arvo.

Katsotaan nyt, kuinka se kaikki toimii tosielämän ongelmissa.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään on kyse lineaarisista yhtälöistä, ja vain yksinkertaisimmista. Lineaarinen yhtälö tarkoittaa yleensä yhtälöä, joka sisältää tarkalleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan \u200b\u200bsuunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on laajennettava sulkeita, jos sellaisia \u200b\u200bon (kuten viimeisessä esimerkissä);
2. Sitten tuo samanlainen
3. Lopuksi tarttu muuttujaan, ts. kaikki muuttujaan liittyvät termit - termit, joihin se sisältyy - liikkuvat yhteen suuntaan, ja kaikki, mikä on jätetty ilman sitä, siirtyy toiselle puolelle.

Sitten sinun on yleensä tuotava samanlaisia \u200b\u200bmolemmille puolille saatua tasa-arvoa, ja sen jälkeen jää vain jakamaan kertoimella "x", ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää hyvältä ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokenut lukiolainen voi tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Yleensä virheitä tehdään joko laajentamalla suluja tai laskettaessa "plussia" ja "miinus".

Lisäksi sattuu niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja tai niin, että ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Analysoimme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnissa. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, yksinkertaisimmilla tehtävillä.

Kaavio yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Aluksi haluan kirjoittaa vielä kerran koko järjestelmän yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna hakasulkeita, jos sellaisia \u200b\u200bon.
2. Valitsemme muuttujat, ts. kaikki, joka sisältää "x", siirretään toiselle puolelle, ja ilman "x" - toiselle.
3. Esitämme samanlaisia \u200b\u200btermejä.
4. Jaamme kaiken kertoimeen "x": lla.

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, siinä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt tulemme tuntemaan ne.

Ratkaistaan \u200b\u200btosielämän esimerkkejä yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Ongelma numero 1

Ensimmäisessä vaiheessa meidän on laajennettava kiinnikkeet. Mutta he eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on tartuttava muuttujiin. Huomaa: puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan:

Esitämme samanlaisia \u200b\u200btermejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\\ [\\ frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Joten saimme vastauksen.

Ongelma numero 2

Tässä ongelmassa voimme havaita suluja, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman rakenteen, mutta jatkamme algoritmin mukaan, ts. erittelemme muuttujat:

Tässä on samanlaisia:

Missä juurissa se suoritetaan. Vastaus: kaikille. Siksi voimme kirjoittaa, että $ x $ on mikä tahansa luku.

Ongelma numero 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on jo mielenkiintoisempi:

\\ [\\ vasen (6-x \\ oikea) + \\ vasen (12 + x \\ oikea) - \\ vasen (3-2x \\ oikea) \u003d 15 \\]

On olemassa muutamia sulkuja, mutta niitä ei kerrota millään, niiden edessä on vain erilaisia \u200b\u200bmerkkejä. Laajennetaan niitä:

Suoritamme toisen meille jo tunnetun vaiheen:

\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

Lasketaan:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaamme kaiken kertoimella "x":

\\ [\\ frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Asiat, jotka tulee muistaa ratkaistaessa lineaarisia yhtälöitä

Liian yksinkertaisten tehtävien lisäksi haluaisin sanoa seuraavan:

• Kuten edellä totesin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuria olisi, niiden joukossa voi olla nolla - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama numero kuin muut, sinun ei pitäisi syrjiä sitä millään tavalla tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy sulkujen laajentamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa muutamme merkit vastapäätä... Ja sitten voimme avata sen tavanomaisten algoritmien mukaan: saamme mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän yksinkertaisen tosiaseman ymmärtäminen antaa sinun välttää tyhmiä ja vahingollisia virheitä lukiossa, kun sellaisia \u200b\u200btoimia pidetään itsestään selvinä.

Ratkaistaan \u200b\u200bmonimutkaisia \u200b\u200blineaarisia yhtälöitä

Siirrytään eteenpäin monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet muuttuvat monimutkaisemmiksi ja kvadraattinen funktio ilmestyy suoritettaessa erilaisia \u200b\u200bmuunnoksia. Sinun ei kuitenkaan pidä pelätä tätä, koska jos kirjoittajan aikomuksen mukaan ratkaistaan \u200b\u200blineaarinen yhtälö, niin muutosprosessissa kaikki neliöfunktiota sisältävät monomiaalit peruutuvat välttämättä.

Esimerkki 1

On selvää, että ensimmäinen askel on sulkujen laajentaminen. Tehdään se erittäin huolellisesti:

Nyt yksityisyyttä varten:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Tässä on samanlaisia:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten kirjoitamme vastaukseen:

\\ [\\ ei lainkaan \\]

tai ei juuria.

Esimerkki 2

Seuraamme samoja vaiheita. Ensimmäinen askel:

Siirrä kaikki muuttujan avulla vasemmalle ja ilman sitä oikealle:

Tässä on samanlaisia:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen seuraavasti:

\\ [\\ ei mitään]

tai ei ole juuria.

Ratkaisuvivaanit

Molemmat yhtälöt on ratkaistu kokonaan. Käyttämällä näitä kahta lauseketta esimerkkinä, varmisimme jälleen kerran, että edes yksinkertaisimmissa lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei välttämättä ole niin yksinkertaista: siellä voi olla joko yksi juuri tai ei yhtään, tai äärettömän monta. Tässä tapauksessa harkitsimme kahta yhtälöä, kummassakaan juuressa ei yksinkertaisesti ole olemassa.

Mutta haluaisin kiinnittää huomionne toiseen tosiseikkaan: kuinka työskennellä sulkujen kanssa ja kuinka avata niitä, jos niiden edessä on miinusmerkki. Mieti tätä ilmaisua:

Ennen paljastamista kaikki on kerrottava X: llä. Huomaa: kertoo jokainen yksittäinen termi... Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrottuna.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on suoritettu, voit laajentaa sulkua siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muutokset ovat valmistuneet, muistamme, että sulkujen edessä on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki, mikä menee alas, vain muuttaa merkkejä. Tässä tapauksessa kiinnikkeet katoavat itsestään ja mikä tärkeintä, myös etuosa "miinus" katoaa.

Teemme samoin toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin tosiasioihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sekvenssiä, jolloin kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja osaavasti yksinkertaisia \u200b\u200btoimia johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat jälleen ratkaisemaan sellaisia \u200b\u200byksinkertaisia \u200b\u200byhtälöitä.

Tietenkin päivä tulee ja sinä viimeistelet nämä taidot automatismiin. Sinun ei enää tarvitse suorittaa niin monta muunnosta joka kerta, kirjoitat kaiken yhdellä rivillä. Mutta kun opit vain, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Ratkaistaan \u200b\u200bvielä monimutkaisempia lineaarisia yhtälöitä

Mitä ratkaisemme nyt, on jo vaikeaa kutsua yksinkertaisimpaan tehtävään, mutta merkitys pysyy samana.

Ongelma numero 1

\\ [\\ vasen (7x + 1 \\ oikea) \\ vasen (3x-1 \\ oikea) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään yksityisyyttä:

Tässä on samanlaisia:

Suoritamme viimeisen vaiheen:

\\ [\\ frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että kertoimien ratkaisemisessa kvadraattisella funktiolla, ne keskinäisesti tuhoutuivat, mikä tekee yhtälöstä tarkalleen lineaarisen, ei kvadraattisen.

Ongelma numero 2

\\ [\\ vasen (1-4x \\ oikea) \\ vasen (1-3x \\ oikea) \u003d 6x \\ vasen (2x-1 \\ oikea) \\]

Tehdään ensimmäinen vaihe siististi: kerrotaan jokaisen ensimmäisen hakasen elementti jokaisella toisella. Kaikkiaan muutosten jälkeen pitäisi olla neljä uutta termiä:

Suoritetaan nyt tarkka kertolasku jokaisella termillä:

Siirretään termit "x": llä vasemmalle ja ilman - oikealle:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Tässä on samanlaisia \u200b\u200btermejä:

Jälleen kerran saimme lopullisen vastauksen.

Ratkaisuvivaanit

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: Heti kun alamme kertoa sulkuja, joissa on enemmän kuin se on termi, niin tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otamme ensimmäisen lauseen ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisen elementin kanssa toisesta; sitten otamme toisen elementin ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla kunkin elementin kanssa toisesta. Seurauksena on, että saamme neljä ehtoa.

Algebrallinen summa

Viimeisen esimerkin avulla haluaisin muistuttaa opiskelijoille, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa 1–7 dollarilla tarkoitamme yksinkertaista rakennetta: vähennä seitsemän yhdestä. Algebralla tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen numeron, nimittäin "miinus seitsemän". Näin algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Kun suoritat kaikkia muunnoksia, kutakin summausta ja kertolaskua, alat nähdä samanlaisia \u200b\u200brakenteita kuin edellä on kuvattu, sinulla ei yksinkertaisesti ole algebrassa ongelmia työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi tarkastellaan muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin mitä juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman vakioalgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murto-osalla

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi meidän on lisättävä vielä yksi vaihe algoritmeihimme. Mutta ensin muistutan algoritmiamme:

1. Laajenna hakasulkeita.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlaisia.
4. Jaa kerroin.

Valitettavasti tämä erinomainen algoritmi kaikesta tehokkuudestaan \u200b\u200bei ole täysin sopiva, kun edessämme on fraktioita. Ja mitä näemme alla, meillä on murtuma vasemmalla ja oikealla molemmissa yhtälöissä.

Kuinka työskennellä tässä tapauksessa? Kaikki on hyvin yksinkertaista! Voit tehdä tämän lisäämällä vielä yhden vaiheen algoritmiin, joka voidaan suorittaa sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin eroon murtoista. Siten algoritmi on seuraava:

1. Päästä eroon murto-osista.
2. Laajenna hakasulkeita.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlaisia.
5. Jaa kerroin.

Mitä tarkoittaa "eroon murto-osista"? Ja miksi tämä voidaan tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murto-osat ovat nimittäjän mukaan numeerisia, ts. kaikkialla nimittäjessä on vain luku. Siksi, jos kerrotaan yhtälön molemmat puolet tällä numerolla, niin päästämme eroon murto-osista.

Esimerkki 1

\\ [\\ fra (\\ vasen (2x + 1 \\ oikea) \\ vasen (2x-3 \\ oikea)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Päästämme eroon tämän yhtälön murto-osista:

\\ [\\ fra (\\ vasen (2x + 1 \\ oikea) \\ vasen (2x-3 \\ oikea) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ vasen (((x) ^ (2)) - 1 \\ oikea) \\ cdot 4 \\]

Kiinnitä huomiota: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. Se, että sinulla on kaksi sulkua, ei tarkoita, että sinun on kerrottava jokainen neljällä. Kirjoitetaan:

\\ [\\ vasen (2x + 1 \\ oikea) \\ vasen (2x-3 \\ oikea) \u003d \\ vasen (((x) ^ (2)) - 1 \\ oikea) \\ cdot 4 \\]

Nyt avataan:

Ratkaise muuttuja:

Suoritamme samanlaisten ehtojen vähentämisen:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ jäljellä | : \\ vasen (-4 \\ oikea) \\ oikea. \\]

\\ [\\ frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Meillä on lopullinen ratkaisu, siirrytään seuraavaan yhtälöön.

Esimerkki 2

\\ [\\ fra (\\ vasen (1-x \\ oikea) \\ vasen (1 + 5x \\ oikea)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Täällä suoritamme kaikki samat toiminnot:

\\ [\\ frac (\\ vasen (1-x \\ oikea) \\ vasen (1 + 5x \\ oikea) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

Ongelma on ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki mitä halusin kertoa tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat seuraavat:

• Tunne algoritmi lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
• Kyky avata kiinnikkeet.
• Älä huoli, jos sinulla on jonkin verran kvadraattisia toimintoja, todennäköisimmin ne kutistuvat uusien muutosten yhteydessä.
• Lineaaristen yhtälöiden juuret, jopa yksinkertaisimmat, ovat kolmen tyyppisiä: yksi ainoa juuri, koko numerorivi on juuri, juuria ei ole ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertainen, mutta erittäin tärkeä aihe kaiken matematiikan ymmärtämiseksi. Jos jokin ei ole selvää, mene sivustolle, ratkaise siinä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla paljon mielenkiintoisempia asioita!