Aste negatiivisella eksponentilla. Tutkinto - ominaisuudet, säännöt, toimenpiteet ja kaavat

Jatkamalla keskustelua luvun asteesta on loogista käsitellä tutkinnon arvon löytämistä. Tämä prosessi nimettiin potenssiinkorotus... Tässä artikkelissa tutkitaan vain eksponentisaation suorittamista koskettamalla kaikkia mahdollisia eksponentteja - luonnollisia, kokonaisia, rationaalisia ja irrationaalisia. Ja perinteen mukaan harkitsemme yksityiskohtaisesti esimerkkejä ratkaisuista numeron nostamiseksi eri valloille.

Sivun navigointi.

Mitä eksponentraatio tarkoittaa?

Aluksi pitäisi selittää mitä kutsutaan eksponentisaatioksi. Tässä on sopiva määritelmä.

Määritelmä.

Potenssiinkorotus - tämä on numeron tehon arvon löytäminen.

Siten luvun a tehon arvon löytäminen eksponentilla r ja luvun a nostaminen tehoon r ovat sama asia. Esimerkiksi, jos ongelma on “laske asteen (0,5) 5 arvo”, niin se voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: “Nosta luku 0.5 5: n tehoon”.

Nyt voit siirtyä suoraan sääntöihin, joilla eksponentraatio suoritetaan.

Numeron nostaminen luonnolliseen voimaan

Käytännössä tasa-arvoon perustuvaa sovelletaan yleensä muodossa. Toisin sanoen, kun nostetaan lukua a murtovoimaan m / n, uutetaan ensin luvun a n-juuri, jonka jälkeen tulos nostetaan kokonaislukutehoon m.

Harkitse ratkaisuja esimerkkeihin murtovoiman nostamisesta.

Esimerkki.

Laske tehoarvo.

Päätös.

Näytämme kaksi ratkaisutapaa.

Ensimmäinen tapa. Määritelmänsä mukaan murto-eksponentti. Laskemme juurimerkin alla olevan asteen arvon, jonka jälkeen otamme kuutiojuuren: .

Toinen tapa. Määritelmällä aste, jolla on murto-osa eksponentti ja perustuu juurten ominaisuuksiin, yhtäläisyydet ... Nyt poimimme juuri lopuksi nosta koko voimaan .

Ilmeisesti jaksotettuun tehoon nostamisen tulokset ovat selvästi samanlaisia.

Vastaus:

Huomaa, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa desimaaliluvun tai sekoitetun numeron muodossa, näissä tapauksissa se tulisi korvata vastaavalla tavallisella murto-osalla ja nostaa sitten tehoon.

Esimerkki.

Laske (44,89) 2,5.

Päätös.

Kirjoitetaan eksponentti tavallisen murto-osan muodossa (katso tarvittaessa artikkeli): ... Nyt suoritamme osittaisen eksponentisaation:

Vastaus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

On myös sanottava, että lukujen nostaminen rationaalisiin voimiin on melko työläs prosessi (varsinkin kun murto-eksponentin numeroijaan ja nimittäjään löytyy riittävän suuri määrä), joka yleensä suoritetaan tietotekniikan avulla.

Tämän kohdan päätteeksi pitäkäämme mielessämme nostamalla luku nolla murtovoimaan. Olemme antaneet seuraavan merkityksen murtoluvulle nollamuodolle: sillä meillä on , ja nollassa arvoon m / n ei ole määritelty. Joten, nolla murto-osassa positiivista tehoa on esimerkiksi nolla, ... Ja nolla murto-negatiivisessa voimassa ei ole mitään järkeä, esimerkiksi lausekkeilla ja 0 -4,3 ei ole järkeä.

Kasvaaminen irrationaaliseen voimaan

Joskus on tarpeen selvittää numeron voiman merkitys irrationaalisella eksponentilla. Tässä tapauksessa käytännön tarkoituksiin riittää yleensä riittävän asteen arvon saaminen tietylle merkille. Huomaamme heti, että käytännössä tämä arvo lasketaan elektronisia tietokoneita käyttämällä, koska irrationaalisen tehon nostaminen manuaalisesti vaatii paljon hankalia laskelmia. Mutta silti, me kuvaamme yleisesti toimien ydin.

Jotta saadaan likiarvo a-luvun tehosta irrationaalisella eksponentilla, eksponentin desimaalilähestyminen tehdään ja eksponentin arvo lasketaan. Tämä arvo on likimääräinen lukumäärän a tehon arvo irrationaalisen eksponentin kanssa. Mitä tarkempi luvun desimaalilähestyminen otetaan aluksi, sitä tarkempi astearvo saadaan lopussa.

Lasketaan esimerkkinä tehon likimääräinen arvo 2 1,174367 .... Otetaan seuraava irrationaalisen indikaattorin desimaaliluvutus :. Nyt nostamme 2 rationaaliseen voimaan 1,17 (kuvasimme tämän prosessin ydintä edellisessä kappaleessa), saamme 2 1,17 ≈2.250116. Täten, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Jos otamme esimerkiksi irrationaalisen eksponentin tarkemman desimaaliluvun, saadaan alkuperäisen eksponentin tarkempi arvo: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Luettelo viitteistä.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. MathematicsZh-oppikirja 5. luokalle. koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja luokalle 7 koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja luokalle 8 koulutusinstituutiot.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 9. luokalle. koulutusinstituutiot.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja 10 - 11 oppilaitoksen luokalle.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (opas teknisiin kouluihin hakeville).

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Mistä ne ovat sinulle hyödyllisiä? Miksi sinun täytyy ottaa aikaa tutkia niitä?

Lue tämä artikkeli saadaksesi tietoa kaikista asteista, mihin ne ovat, kuinka käyttää tietosi arjessa.

Ja tietysti tutkintojen tuntemus vie sinut lähemmäksi OGE: n tai USE: n onnistunutta läpiviemistä ja pääsemistä unelmiesi yliopistoon.

Mennään ... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos kaavojen sijasta näet pilaantumista, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL + F5 (Windows) tai Cmd + R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Laajennus on sama matemaattinen toimenpide kuin summaaminen, vähentäminen, kertoaminen tai jako.

Nyt selitän kaiken ihmisen kielellä käyttämällä hyvin yksinkertaisia \u200b\u200besimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat perustietoja, mutta ne selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Kummassakin on kaksi pulloa koolaa. Kuinka paljon kolaa siellä on? Se on totta - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama koolaesimerkki voidaan kirjoittaa eri tavalla :. Matemaatikot ovat taitavia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain malleja ja keksivät sitten tavan "laskea" ne nopeasti. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksasta ihmistä oli sama määrä kolapulloja ja he keksivät tekniikan, jota kutsutaan kertomiseksi. Olen samaa mieltä siitä, että sitä pidetään helpompana ja nopeampana kuin.

Joten laskeaksesi nopeammin, helpommin ja ilman virheitä sinun on vain muistettava kertotaulu... Voit tietysti tehdä kaiken hitaammin, vaikeammin ja virheellisesti! Mutta…

Tässä on kertolasku. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Mitä muita taitavia laskenta temppuja laiska matemaatikko on keksinyt? Oikea - nostaa numeron valtaan.

Numeron nostaminen valtaan

Jos joudut kertomaan luvun itsestään viisi kertaa, niin matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen voimaan. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kaksi - viides aste on. Ja he ratkaisevat sellaiset ongelmat päässään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Sinun tarvitsee vain tehdä muista, mitä numeroiden voimataulussa on korostettu... Usko minua, tämä tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista astetta kutsutaan neliö numerot, ja kolmas - kuutio? Mitä se tarkoittaa? Se on erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Elämäesimerkki # 1

Aloitetaan neliöllä tai luvun toisella voimalla.

Kuvittele neliömetri uima-altaalta. Allas on maatalossasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... uima-allas ilman pohjaa! Altaan pohja on peitettävä laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä uima-altaan ala.

Voit vain laskea sormellasi, että uima-altaan pohja koostuu metreittäin kuutioista. Jos sinulla on laatta metreittäin, tarvitset kappaleita. Se on helppoa ... Mutta mistä olet nähnyt sellaisia \u200b\u200blaattoja? Laatta on todennäköisemmin senttimetreinä. Ja silloin sinua kiusaa "sormen lukumäärä". Sitten sinun täytyy kertoa. Joten uima-altaan pohjan yhdelle puolelle sovitetaan laatat (kappaleet) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saadaan laatat ().

Oletko huomannut, että kerromme saman luvun itsestään uima-altaan alapinnan määrittämiseksi? Mitä se tarkoittaa? Kun sama lukumäärä on kerrottu, voimme käyttää "eksponentisaation" tekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi numeroa, voit silti kertoa ne tai nostaa ne valtaan. Mutta jos niitä on paljon, nousta valtaan on paljon helpompaa ja laskelmissa on myös vähemmän virheitä. Tentin kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten toisen asteen kolmekymmentä on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen numeron toinen teho voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on aina luvun toinen voima. Neliö on kuva luvun toisesta voimasta.

Todellisen elämän esimerkki # 2

Tässä on tehtävä sinulle, laske kuinka monta neliötä on shakkipöydällä numeron neliön avulla ... Solujen yhdellä puolella ja toisellakin. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... Jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jonka sivu on, niin voit neliön kahdeksan. Saat soluja. () Joten?

Tosielämän esimerkki nro 3

Nyt kuutio tai numeron kolmas voima. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän uima-altaaseen. Sinun on laskettava äänenvoimakkuus. (Tilavuudet ja nesteet muuten mitataan kuutiomereinä. Yllättävän, eikö?) Piirrä uima-allas: pohja on metriä kooltaan ja metriä syvä ja yritä laskea, kuinka monta kuutiometriä metriä kohti tulee uima-altaasi.

Osoita sormellasi ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä ... kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme ... Kuinka paljon se osoittautui? Etkö ole kadonnut? Onko se vaikeaa laskea sormella? Jotta! Ota esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme uima-altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helppoa, eikö niin?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja taitavia matemaatikot ovat, jos he myös yksinkertaistavat tätä. He pelkäsivät kaiken yhdeksi toiminnaksi. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten mitä lasket kerran sormella, ne tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa ovat yhtä suuret. Se on kirjoitettu näin :.

Vain jää muista astettaulukko... Jos olet tietysti yhtä laiska ja taitava kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskentaa sormella.

No, jotta voisimme lopulta vakuuttaa teille, että tyhjäkävijät ja ovelat keksivät tutkinnot ratkaistakseen elämäongelmansa eikä luoda sinulle ongelmia, tässä on vielä muutama esimerkki elämästä.

Tosielämän esimerkki nro 4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa teet uuden miljoonan jokaisesta miljoonasta. Toisin sanoen, jokainen miljoonasi jokaisen vuoden alussa kaksinkertaistuu. Kuinka paljon rahaa sinulla on vuosissa? Jos nyt istut ja “lasket sormella”, olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet fiksu! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - tapahtui vielä kaksi, kolmantena vuonna ... Lopeta! Huomasit, että numero kerrotaan itsestään kerran. Joten kaksi viidenteen voima on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja ne miljoonat saa se, joka laskee nopeammin. Kannattaako muistaa numeroiden asteet, mitä luulet?

Tosielämän esimerkki # 5

Sinulla on miljoona. Ansaitset kunkin vuoden alussa kaksi enemmän miljoonasta. Hienoa, eikö niin? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Kuinka paljon rahaa sinulla on vuosissa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska ymmärsit jo kaiken: kolme kertaa kerrotaan itsestään. Joten neljäs voima on yhtä suuri kuin miljoona. Sinun on vain muistettava, että kolme - neljäs voima on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla numero valtaan helpotat huomattavasti elämääsi. Katsotaanpa tarkemmin mitä voit suorittaa tutkintoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei sekoittuisi

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertainen - tämä on numero, joka on "huipulla" numeron voimalla. Ei tieteellinen, mutta ymmärrettävä ja helppo muistaa ...

No, samaan aikaan että tällainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on piirros olla varma.

No, yleisesti ottaen yleistämiseksi ja muistamiseksi paremmin ... Tutkinto, jossa kanta "" ja indikaattori "" luetaan "tutkintoksi" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Lukuaste luonnollisella eksponentilla

Olet arvata jo jo: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä lukuja, joita käytetään laskettaessa kohteita lueteltaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme esineitä, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano: "kolmasosa" tai "nollapiste, viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä lukuja luulet?

Numerot, kuten “miinus viisi”, “miinus kuusi”, “miinus seitsemän” viittaavat kokonaislukuja. Yleensä kokonaislukuihin sisältyy kaikki luonnolliset numerot, luonnollisia lukuja vastakkaiset numerot (ts. Miinusmerkillä otettu) ja luku. Nolla on helppo ymmärtää - tässä ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset numerot ("miinus") tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti velkojen ilmoittamiseksi: jos puhelimellasi on ruplaa, se tarkoittaa, että olet velkaa operaattorirupia.

Kaikki fraktiot ovat rationaalisia lukuja. Kuinka luulet heidän syntyneen? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esivanhempamme havaitsivat, että heistä puuttui luonnollisia lukuja pituuden, painon, pinta-alan jne. Mittaamiseksi. Ja he keksivat rationaaliset numerot... Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia numeroita. Mitä nämä numerot ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän sen halkaisijan mukaan, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määritetään tutkinnon käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa ensimmäisen virran luku on yhtä suuri kuin itse:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsestään:
3. Luku kuutioidaan tarkoittamalla sen kertomista kolme kertaa:

Määritelmä. Numeron nostaminen luonnolliseen voimaan tarkoittaa luvun kertomista kertoimella:
.

Tehon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet tulivat? Näytän sinulle nyt.

Katsotaanpa: mikä on ja ?

A-Priory:

Kuinka monta tekijää on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme kertoimet kertoimiin, ja kokonaismäärä on kertoimet.

Mutta määritelmän mukaan se on numeron aste eksponentilla, toisin sanoen, mitä vaaditaan todistamaan.

esimerkki: Yksinkertaista lauseketta.

Päätös:

Esimerkki: Yksinkertaista lauseketta.

Päätös: On tärkeää huomata, että meidän sääntömme välttämättä on oltava samat perustat!
Siksi yhdistämme asteet pohjaan, mutta pysyy erillisenä tekijänä:

vain tuotteesta astetta!

Älä missään tapauksessa kirjoita sitä.

2.sitä on - luvun kolmas voima

Kuten edellisessä ominaisuudessa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsestään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun kolmas voima:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "indikaattorin haarukointi". Mutta sinun ei pitäisi koskaan tehdä tätä kokonaan:

Muistakaamme lyhennetyt kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta tämä ei ole totta.

Aste negatiivisella pohjalla

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, minkä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteissa luonnollinen indikaattori perusta voi olla mikä tahansa numero... Itse asiassa, voimme kertoa mitä tahansa lukuja toisillaan, olivatpa ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa.

Ajattellaan mitä merkkejä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen voimia?

Esimerkiksi, onko luku positiivinen vai negatiivinen? JA? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: tuloksena on positiivinen riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerrotaan toisiltamme.

Mutta negatiivinen on vähän mielenkiintoisempi. Loppujen lopuksi muistamme 6. luokan yksinkertaisen säännön: “miinus miinus antaa plus”. Se on, tai. Mutta jos kerrotaan, se toimii.

Päätä itse, millä allekirjoituksella seuraavilla lausekkeilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivottavasti neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme vain alustaa ja eksponenttia ja sovellamme sopivaa sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei ole myöskään niin pelottavaa kuin miltä näyttää: ei ole väliä, minkä verran kanta on yhtä suuri - aste on tasainen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

No, paitsi kun emäs on nolla. Perusta ei ole sama, eikö niin? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin helppoa!

6 esimerkkiä kouluttamiseen

Ratkaisun jäsentäminen 6 esimerkkiä

Mitä kahdeksannesta asteesta lukuun ottamatta näemme täällä? Muistutamme 7. luokan ohjelmaa. Joten muistatko? Tämä on kaava lyhennetylle kertoamiselle, nimittäin neliöiden erolle! Saamme:

Katsotaanpa tarkkaan nimittäjää. Se on hyvin samanlainen kuin yksi numerointitekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä järjestys. Jos niitä peruutetaan, sääntöä voidaan soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Se osoittautuu erittäin helpoksi: nimittäjän tasainen aste auttaa meitä täällä.

Termit on maagisesti käännetty. Tätä "ilmiötä" voidaan käyttää mihin tahansa ilmaisuun tasaisesti: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samanaikaisesti!

Palataan takaisin esimerkkiin:

Ja jälleen kerran kaava:

Koko kutsumme niitä vastapäätä olevia luonnollisia numeroita (eli merkillä "" merkittyjä) ja numeroa.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen kuten edellisessä osassa.

Katsotaanpa nyt joitain uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa nolla-asteen luku on yhtä:

Kuten aina, kysyämme itseltämme: miksi näin on?

Mieti jonkin verran kantaa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun, ja saimme saman kuin se oli -. Ja minkä luvun sinun pitäisi kertoa, jotta mikään ei muutu? Aivan oikein. Keinoin.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa nolla-asteen luku on yhtä.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen tulisi olla mikä tahansa aste - riippumatta siitä kuinka paljon kerrot itse, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa nolla-asteen luvun, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä tästä on totta? Matemaatikot päättivät olla osallistumattomia ja kieltäytyivät nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt, emme voi vain jakaa nolla, vaan myös nostaa se nollaan teho.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi negatiiviset numerot kuuluvat kokonaislukuihin. Ymmärtääksesi, mikä negatiivinen teho on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan normaaliluku samalla negatiivisella voimalla:

Täältä on jo helppo ilmaista etsimäsi:

Nyt laajennamme tuloksena olevan säännön mielivaltaisella tavalla:

Joten muotoilemme sääntö:

Negatiivisen tehon luku on käänteinen samaan positiivisen voiman lukumäärään. Mutta samaan aikaan pohja ei voi olla tyhjä: (koska et voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Ilmausta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

II. Mikä tahansa nolla-asteen luku on yhtä:

III. Luku, joka ei ole nolla, on negatiivisella teholla käänteinen samalla numerolla positiivisella voimalla :.

Tehtävät itsenäiselle ratkaisulle:

No, ja kuten yleensä, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäiseksi ratkaisuksi:

Tiedän, tiedän, numerot ovat kauheita, mutta tentissä sinun on oltava valmis mihin tahansa! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisua, jos et pysty ratkaisemaan niitä ja opit kuinka selviytyä niistä helposti kokeella!

Jatkamme edelleen eksponentiksi "sopivan" numeroalueen laajentamista.

Mieti nyt rationaaliset numerot. Mitä numeroita kutsutaan rationaaliksi?

Vastaus: kaikki mitä voidaan esittää murto-osana, missä ja ovat kokonaislukuja, lisäksi.

Ymmärtää mikä on Murtoluku, ota murto:

Nostamme yhtälön molemmat puolet valtaan:

Muistakaamme nyt sääntö "Tutkinto":

Mitä numeroa on nostettava saadakseen voimaa?

Tämä formulaatio on juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun () th: n voiman juuri on numero, joka, kun se nostetaan voimaan, on yhtä suuri kuin.

Toisin sanoen th-juuri on käänteinen eksponentisaatiolle :.

Selviää siitä. Tätä tapausta voidaan tietysti jatkaa:

Nyt lisäämme osoittajan: mikä se on? Vastaus saadaan helposti käyttämällä aste-aste-sääntöä:

Mutta voiko perusta olla mikä tahansa numero? Loppujen lopuksi juuria ei voida purkaa kaikista numeroista.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa numero, joka on nostettu tasaiseen voimaan, on positiivinen luku. Toisin sanoen et voi poimia tasaisen asteen juuria negatiivisista lukuista!

Tämä tarkoittaa, että sellaisia \u200b\u200blukuja ei voida nostaa murtovoimaan tasaisen nimittäjän avulla, toisin sanoen lausekkeella ei ole merkitystä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä tulee ongelma.

Luku voidaan esittää esimerkiksi muuna, peruutettavana jakeena, tai.

Ja osoittautuu, että sitä on olemassa, mutta ei ole, mutta nämä ovat vain kaksi eri numeroa, joista sama numero on.

Tai toinen esimerkki: kerran voit kirjoittaa. Mutta jos kirjoitamme indikaattorin toisella tavalla, ja taas saamme haitan: (ts. Saimme aivan toisenlaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen raadiot murto-eksponentilla.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

esimerkkejä:

Rationaaliset eksponentit ovat erittäin hyödyllisiä muuntaakseen juurtuneita lausekkeita, esimerkiksi:

5 esimerkkiä kouluttamiseen

Analyysi viidestä koulutuksen esimerkistä

Ja nyt vaikein osa. Nyt analysoimme irrationaalinen tutkinto.

Kaikki tutkintojen säännöt ja ominaisuudet ovat täällä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin kanssa, lukuun ottamatta

Itse asiassa, irrationaaliset numerot ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtona, missä ja ovat kokonaislukuja (ts. Irrationaaliset numerot ovat kaikki todellisia lukuja paitsi rationaalisia).

Opiskellessamme tutkintoja luonnollisella, kokonaisella ja rationaalisella indikaattorilla, me joka kerta teimme "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin sanoin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku kerrottuna itsestään useita kertoja;

...nolla teho - se on sellaisenaan luku kerrottuna itsestään kerran, toisin sanoen sitä ei ole vielä aloitettu kertomiseen, mikä tarkoittaa, että numero itse ei ole edes esiintynyt - siksi tulos on vain eräänlainen "tyhjä luku", eli numero;

...negatiivinen kokonaisluku - oli kuin ikään kuin tapahtuisi jonkinlainen "käänteinen prosessi", ts. lukua ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tieteessä käytetään usein monimutkaisella indikaattorilla varustettua tutkintoa, ts. Indikaattori ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia \u200b\u200bvaikeuksia, sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Missä olemme varmoja siitä, että menet! (jos opit ratkaisemaan sellaisia \u200b\u200besimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavanomaisella säännöllä vallan nostamiseksi valtaan:

Katso nyt ilmaisinta. Muistuttaako hän sinua mistään? Palautamme mieleen kaavan vähentyneelle kertolaskelmalle, neliöiden erolle:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttien fraktiot samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Otetaan esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Mikään erityinen, käytämme tutkintojen tavanomaisia \u200b\u200bominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määrittäminen

Tutkinto on muodon ilmaisu:, missä:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Numeron nostaminen luonnolliseksi voimaksi n tarkoittaa luvun kertomista kertoimella:

Kokonaisluku (0, ± 1, ± 2, ...)

Jos eksponentti on koko positiivinen määrä:

Erektio nollaan:

Lauseke on määrittelemätön, koska yhtäältä missä tahansa määrin - tämä ja toisaalta - mikä tahansa luku kolmannessa asteessa - tämä.

Jos eksponentti on koko negatiivinen määrä:

(koska et voi jakaa).

Jälleen kerran nollasta: ilmaisua ei ole määritelty tapauskohtaisesti. Jos sitten.

esimerkkejä:

Järkevä arvosana

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

esimerkkejä:

Tehon ominaisuudet

Yritämme ymmärtää ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistetaan heille.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-Priory:

Joten tämän ilmaisun oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan se on numeron voima, jolla on eksponentti, eli:

M.o.t.

esimerkki : Yksinkertaista lauseketta.

Päätös : .

esimerkki : Yksinkertaista lauseketta.

Päätös : On tärkeää huomata, että meidän sääntömme välttämättäon oltava samat perustat. Siksi yhdistämme asteet pohjaan, mutta pysyy erillisenä tekijänä:

Vielä yksi tärkeä huomautus: tämä sääntö on - vain astetta!

Sitä ei missään nimessä pitäisi kirjoittaa.

Kuten edellisessä ominaisuudessa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään tämä pala seuraavasti:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsestään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun kolmas voima:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "indikaattorin haarukointi". Mutta sinun ei pitäisi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistakaamme lyhennetyt kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta tämä ei ole totta.

Aste negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, kuinka sen pitäisi olla indeksi asteen. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteissa luonnollinen indikaattori perusta voi olla mikä tahansa numero .

Itse asiassa, voimme kertoa mitä tahansa lukuja toisillaan, olivatpa ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa. Ajattellaan mitä merkkejä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen voimia?

Esimerkiksi, onko luku positiivinen vai negatiivinen? JA? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: tuloksena on positiivinen riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerrotaan toisiltamme.

Mutta negatiivinen on vähän mielenkiintoisempi. Loppujen lopuksi muistamme 6. luokan yksinkertaisen säännön: “miinus miinus antaa plus”. Se on, tai. Mutta jos kerrotaan (), saamme -.

Ja niin edelleen äärettömyyteen: jokaisella seuraavalla kertoimella merkki muuttuu. Voit laatia sellaiset yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - luku positiivinen.
2. Negatiivinen luku nostettu arvoon outo tutkinto, - luku negatiivinen.
3. Positiivinen luku missä tahansa määrin on positiivinen luku.
4. Ei nollaa mihinkään voimaan on nolla.

Päätä itse, millä allekirjoituksella seuraavilla lausekkeilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Onnistuitko? Tässä on vastauksia:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme vain alustaa ja eksponenttia ja sovellamme sopivaa sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei ole myöskään niin pelottavaa kuin miltä näyttää: ei ole väliä, minkä verran kanta on yhtä suuri - aste on tasainen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. No, paitsi kun emäs on nolla. Perusta ei ole sama, eikö niin? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Täältä sinun on selvitettävä mikä on vähemmän: vai? Jos muistat sen, käy selväksi, että pohja on alle nollan. Toisin sanoen, noudatamme sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme tutkintojen määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme pareihin ja saamme:

Ennen kuin tutkimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan \u200b\u200bmuutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

ratkaisut :

Mitä kahdeksannesta asteesta lukuun ottamatta näemme täällä? Muistutamme 7. luokan ohjelmaa. Joten muistatko? Tämä on kaava lyhennetylle kertoamiselle, nimittäin neliöiden erolle!

Saamme:

Katsotaanpa tarkkaan nimittäjää. Se on hyvin samanlainen kuin yksi numerointitekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä järjestys. Jos ne vaihdetaan, sääntöä 3 voitaisiin soveltaa. Mutta miten se tehdään? Se osoittautuu erittäin helpoksi: nimittäjän tasainen aste auttaa meitä täällä.

Jos kerrotaan sillä, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt käy ilmi, että seuraava:

Termit on maagisesti käännetty. Tätä "ilmiötä" voidaan käyttää mihin tahansa ilmaisuun tasaisesti: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samanaikaisesti!Sitä ei voida korvata muuttamalla vain yksi haitta, jota emme halua!

Palataan takaisin esimerkkiin:

Ja jälleen kerran kaava:

Joten nyt viimeinen sääntö:

Kuinka todistaa sen? Tietysti, kuten yleensä: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

Nyt avataan kiinnikkeet. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimien avulla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: oli vain kertoimia. Toisin sanoen se on määritelmän mukaan eksponentilla olevan lukun aste:

Esimerkki:

Irrationaalinen arvosana

Keskitason tutkinnoista annettavien tietojen lisäksi analysoimme astetta irrationaalisella eksponentilla. Kaikki asteen säännöt ja ominaisuudet ovat täällä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin kanssa asteelle, poikkeuksena - loppujen lopuksi, irrationaaliset numerot ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtona, missä ja ovat kokonaislukuja (ts. Irrationaaliset numerot ovat kaikki reaaliluvut paitsi rationaaliset).

Opiskellessamme tutkintoja luonnollisella, kokonaisella ja rationaalisella indikaattorilla, me joka kerta teimme "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin sanoin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku kerrottuna itsestään useita kertoja; luku nolla-asteeseen on, sellaisena kuin se on, kerrottuna itsestään kerran, ts. sitä ei ole vielä aloitettu kertomiseen, mikä tarkoittaa, että numero itse ei ole edes esiintynyt - siksi tulos on vain eräänlainen "tyhjä luku", eli luku; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen eksponentti, on kuin jos tapahtuisi tietty "käänteinen prosessi", ts. lukua ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Irrationaalisen eksponentin kanssa astetta on äärimmäisen vaikea kuvitella (aivan kuten 4-ulotteista tilaa on vaikea kuvitella). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen esine, jonka matemaatikot loivat laajentaakseen tutkinnon käsitettä koko lukualueelle.

Muuten, tieteessä käytetään usein monimutkaisella indikaattorilla varustettua tutkintoa, ts. Indikaattori ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia \u200b\u200bvaikeuksia, sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, kun näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme kaikin voimin päästä eroon! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

vastaukset:

1. Palautamme mieleen kaavan neliöeroon. Vastaus:.
2. Tuomme fraktiot samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi :.
3. Mitään erityistä, käytämme tavallisia tehoominaisuuksia:

YHTEENVETO OSASTA JA PERUSMUOTOISTA

aste kutsutaan muodon lausekkeeksi:, missä:

Kokonaisluku

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (ts. kokonaisvaltainen ja positiivinen).

Järkevä arvosana

aste, jonka eksponentti on negatiivinen ja murto-osa.

Irrationaalinen arvosana

aste, jonka eksponentti on ääretön desimaalijae tai juuri.

Tehon ominaisuudet

Tutkintojen ominaisuudet.

• Negatiivinen luku nostettu arvoon jopa tutkinto, - luku positiivinen.
• Negatiivinen luku nostettu arvoon outo tutkinto, - luku negatiivinen.
• Positiivinen luku missä tahansa määrin on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa aste.
• Mikä tahansa luku nolla-asteeseen on yhtä suuri.

NYT Sanaasi ...

Kuinka pidät artikkelista? Kirjoita kommentteihin, jos pidit siitä tai ei.

Kerro kokemuksestasi tutkinnon ominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Negatiivinen eksponentraatio on yksi matematiikan peruselementtejä, jota kohtataan usein ratkaistaessa algebrallisia ongelmia. Alla on yksityiskohtainen ohje.

Kuinka nousta negatiiviseen voimateoriaan

Kun olemme luku tavalliseen tehoon, kerrotaan sen arvo useita kertoja. Esimerkiksi 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Negatiivisella murto-osalla on päinvastoin. Kaavan yleiskuva on seuraava: a -n \u003d 1 / a n. Siten, kun haluat nostaa luvun negatiiviseen tehoon, sinun on jaettava yksikkö annetulla luvulla, mutta positiivisella voimalla.

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - esimerkkejä tavallisista numeroista

Yritämme yllä mainittua sääntöä ratkaisemalla muutamia esimerkkejä.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastaus: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastaus on -4 -2 \u003d 1/16.

Mutta miksi ensimmäisessä ja toisessa esimerkissä vastaus on sama? Tosiasia on, että kun negatiivinen luku nostetaan tasaiseen voimaan (2, 4, 6 jne.), Merkistä tulee positiivinen. Jos tutkinto oli tasainen, niin miinus säilyi:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuinka nostaa negatiiviseen tehoon - luvut nollasta 1: een

Muista, että kun nostat numeron välillä 0 - 1 positiiviseen tehoon, arvo pienenee voiman kasvaessa. Esimerkiksi 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25

Esimerkki 3: Laske 0,5 -2
Ratkaisu: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Vastaus: 0,5 -2 \u003d 4

Analyysi (toimien järjestys):

• Muunna desimaalin 0,5 murto-osaksi 1/2. Näin on helpompaa.
  Nosta 1/2 negatiiviseen voimaan. 1 / (2) -2. Jaa 1 1 / (2) 2: lla, saadaan 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Esimerkki 4: Laske 0,5-3
Ratkaisu: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Esimerkki 5: Laske -0,5 -3
Ratkaisu: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Vastaus: -0,5 -3 \u003d -8

Neljännen ja viidennen esimerkin perusteella voimme tehdä useita johtopäätöksiä:

• Positiiviselle luvulle välillä 0 - 1 (esimerkki 4), joka on nostettu negatiiviseen voimaan, tehon tasaisuus tai omituisuus ei ole tärkeä, lausekkeen arvo on positiivinen. Lisäksi mitä suurempi aste, sitä suurempi arvo.
• Negatiiviselle luvulle alueella 0 - 1 (esimerkki 5), joka on nostettu negatiiviseen tehoon, tehon tasaisuus tai omituisuus ei ole tärkeä, lausekkeen arvo on negatiivinen. Lisäksi mitä korkeampi aste, sitä matalampi arvo.

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - teho murto-osana

Tämän tyyppisillä lausekkeilla on seuraava muoto: a -m / n, missä a on tavallinen luku, m on tutkinnon osoittaja, n on tutkinnon nimittäjä.

Tarkastellaan esimerkkiä:
Laske: 8 -1/3

Ratkaisu (toimien järjestys):

• Muista sääntö, jolla numero lisätään negatiiviseen voimaan. Saamme: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Huomaa, että nimittäjä on 8 murto-osana. Yleinen näkymä murto-arvon laskemiseksi on seuraava: a m / n \u003d n √8 m.
• Siten 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Saadaan kahdeksan kuutiojuuri, joka on 2. Tämän perusteella 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Vastaus: 8 -1/3 \u003d 2

Koulusta lähtien me kaikki tiedämme sähköön nostamista koskevan säännön: mikä tahansa luku eksponentilla N on yhtä suuri kuin tulos kertomalla tämä luku itsessään N: nnen kerran. Toisin sanoen, 7 arvoon 3 on 7 kerrottuna itsestään kolme kertaa, ts. 343. Toinen sääntö on, että minkä tahansa arvon nostaminen 0-voimalle antaa yhden, ja negatiivisen arvon nostaminen on tavallisen eksponentisaation tulosta, jos se on tasainen, ja sama tulos miinusmerkillä, jos se on pariton.

Säännöt antavat vastauksen myös siitä, kuinka saada luku negatiiviseen voimaan. Tätä varten sinun on rakennettava vaadittu arvo tavalliseen tapaan osoittimen moduulin avulla ja jaettava yksikkö sitten tuloksella.

Näistä säännöistä käy selväksi, että todellisten tehtävien suorittaminen suuria määriä käytettäessä vaatii teknisiä keinoja. Manuaalisesti se osoittautuu monistavan itsestään enimmäisnumeroalueen, jopa kaksikymmentä tai kolmekymmentä, ja sitten enintään kolme tai neljä kertaa. Tämä ei ole puhumattakaan tosiasiasta, että myöhemmin jakaa yksikkö tuloksen perusteella. Siksi niille, joilla ei ole käsillä erityistä suunnittelulaskuria, kerromme sinulle kuinka nostaa luku negatiiviseen voimaan Excelissä.

Excel-ongelmien ratkaiseminen

Excel antaa sinun käyttää yhtä kahdesta vaihtoehdosta ongelmien ratkaisemiseksi virrankorotuksen yhteydessä.

Ensimmäinen on käyttää kaavaa, jossa on tavallinen korkkimerkki. Kirjoita seuraavat tiedot laskentataulukon soluihin:

Samalla tavalla voit nostaa vaaditun arvon mihin tahansa tehoon - negatiiviseen, murto-osaan. Suoritetaan seuraavat vaiheet ja vastataan kysymykseen kuinka nostaa luku negatiiviseen voimaan. Esimerkki:

Voit korjata \u003d B2 ^ -C2 oikein kaavassa.

Toinen vaihtoehto on käyttää valmiita toimintoa "Aste", joka ottaa kaksi vaadittua argumenttia - numeron ja osoittimen. Aloita sen käyttäminen laittamalla yhtälömerkki (\u003d) mihin tahansa vapaaseen soluun osoittaen kaavan alku ja kirjoittamalla yllä olevat sanat. Jäljelle jää valita kaksi solua, jotka osallistuvat toimintaan (tai määrittää tietyt numerot manuaalisesti), ja paina Enter-näppäintä. Katsotaanpa muutamia yksinkertaisia \u200b\u200besimerkkejä.

			Kaava	Tulos
			DEGREE (B2; C2)
			DEGREE (B3; C3)	0,002915

Kuten näette, ei ole mitään vaikeaa nostaa luku negatiiviseen voimaan ja tavalliseen arvoon käyttämällä Exceliä. Itse asiassa tämän ongelman ratkaisemiseksi voit käyttää sekä tuttua “cap” -symbolia että ohjelman sisäänrakennettua toimintoa, joka on helppo muistaa. Tämä on selvä plus!

Siirrymme eteenpäin monimutkaisempiin esimerkkeihin. Muistutettakoon sääntö, jolla voidaan lisätä luku negatiiviseen murtovoimaan, ja nähdään, että tämä tehtävä on erittäin helppo ratkaista Excelissä.

Murtoluvut

Lyhyesti sanottuna, algoritmi luvun laskemiseksi murto-eksponentilla on seuraava.

1. Muunna murto-osa eksponentiksi oikeaan tai väärään murto-osaan.
2. Nosta lukumme tuloksena olevan muunnetun jakeen numeroijaan.
3. Laske juuri juuri edellisessä kappaleessa saadusta luvusta sillä ehdolla, että ensimmäisessä vaiheessa saadun jakeen nimittäjä on juuren osoitin.

Hyväksy, että jopa pienillä numeroilla ja säännöllisillä murto-osilla toimiessaan sellaiset laskelmat voivat viedä paljon aikaa. On hyvä, että Excel-laskentataulukkoprosessori ei välitä mitä numeroa ja missä määrin nostaa. Yritä ratkaista seuraava esimerkki Excel-taulukossa:

Yllä olevien sääntöjen avulla voit tarkistaa ja varmistaa, että laskelmat on tehty oikein.

Artikkelimme lopussa annamme kaaviona ja tuloksina olevan taulukon muodossa useita esimerkkejä siitä, kuinka saadaan luku negatiiviseen voimaan, sekä useita esimerkkejä, joissa käytetään murto-numeroita ja voimia.

Esimerkkejä taulukko

Katso seuraavat esimerkit Excel-työkirjan taulukosta. Jotta kaikki toimisi oikein, sinun on käytettävä sekoitettua linkkiä kaavan kopioinnissa. Korjaa nostettavan numeron sisältävän sarakkeen numero ja mittaa sisältävän rivin numero. Kaavan tulisi näyttää tällaiselta: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Luku / aste

Huomaa, että positiiviset luvut (jopa muut kuin kokonaisluvut) lasketaan ilman ongelmia millekään indikaattorille. Lukujen nostamisella kokonaisiin indikaattoreihin ei ole ongelmia. Mutta negatiivisen luvun nostaminen murtovoimaan osoittautuu sinulle virheeksi, koska on mahdotonta noudattaa artikkelimme alussa mainittua sääntöä negatiivisten lukujen rakentamisesta, koska pariteetti on yksinomaan INTEGRAL-luvun ominaisuus.

Tehoon nostettu numero kutsutaan numeroksi, joka kerrotaan useita kertoja itsestään.

Negatiivisen arvon voimakkuus (a - n) voidaan määritellä samalla tavalla kuin kuinka saman luvun aste positiivisella eksponentilla määritetään (a n) ... Se vaatii kuitenkin myös lisämäärittelyä. Kaava on määritelty seuraavasti:

a - n \u003d (1 / a n)

Lukujen negatiivisten voimien ominaisuudet ovat samanlaisia \u200b\u200bkuin positiivisella eksponentilla varustetut voimat. Yhtälö esitetään m / a n \u003d a m-n voi olla reilua kuin

« Missään tapauksessa, kuten matematiikassa, johtopäätöksen selkeys ja tarkkuus eivät anna henkilön päästä eroon vastauksesta puhumalla kysymyksen ympärillä.».

A. D. Alexandrov

at n lisää m ja m lisää n ... Otetaan esimerkki: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Ensin on määritettävä luku, joka on tutkinnon määritelmä. b \u003d a (-n) ... Tässä esimerkissä -n on eksponentti, b - vaadittu numeerinen arvo, - tutkinnon perusta luonnollisena numeerisena arvona. Sitten määritetään moduuli, toisin sanoen negatiivisen luvun absoluuttinen arvo, joka toimii eksponendina. Laske tietyn määrän suhteellisen absoluuttisen luvun teho indikaattorina. Tehoarvo saadaan jakamalla yksi tuloksella saadulla numerolla.

Kuva. 1

Mieti negatiivisen murto-eksponentin lukumäärän tehoa. Kuvittele, että luku a on mikä tahansa positiivinen luku, luvut n ja m - kokonaislukuja. Määritelmän mukaan joka nostetaan valtaan - on yhtä kuin yksi jaettuna samalla numerolla positiivisella asteella (kuva 1). Kun luvun teho on murto, niin silloin käytetään vain positiivisia eksponentteja sisältäviä lukuja.

Muistamisen arvoinenettä nolla ei voi koskaan olla numeron eksponentti (jako nolla-säännöllä).

Tällaisen käsitteen leviämisestä lukumääräksi on tullut sellaisia \u200b\u200bmanipulaatioita kuin mittauslaskelmat sekä matematiikan kehitys tieteenä. Negatiivisten arvojen käyttöönotto johtui algebran kehityksestä, joka antoi yleisiä ratkaisuja aritmeettisiin ongelmiin riippumatta niiden spesifisestä merkityksestä ja alkuperäisestä numeerisesta tiedosta. Intiassa, luvun 6.-11. Vuosisatojen aikana, lukujen negatiivisia arvoja käytettiin systemaattisesti ongelmien ratkaisemisessa, ja niitä tulkittiin samalla tavalla kuin nykyään. Eurooppalaisessa tieteessä negatiivisia lukuja alettiin käyttää laajasti R. Descartesin ansiosta, joka antoi negatiivisen luvun geometrisen tulkinnan segmenttien suunnana. Se oli Descartes, joka ehdotti, että numero, joka on nostettu voimaan, esitettäväksi kaksikerroksisena kaavana a n .

Tässä artikkelissa selvitetään mikä on aste... Tässä annamme määritelmät luvun asteelle ottaen samalla yksityiskohtaisesti huomioon kaikki mahdolliset eksponentit, luonnollisesta eksponentista alkaen ja irrationaaliseen. Materiaalista löydät paljon esimerkkejä asteista, jotka kattavat kaikki esiintyvät hienoukset.

Sivun navigointi.

Aste luonnollisella eksponentilla, numeron neliö, numeron kuutio

Aloitetaan. Tulevaisuuteen sanomme, että luonnollisella eksponentilla n olevan a-asteen määritelmä on annettu a: lle, jota kutsumme perustutkinto, ja n, joita me kutsumme eksponentti... Huomaa myös, että luonnollisen eksponentin aste määritetään tuotteen kautta, joten alla olevan materiaalin ymmärtämiseksi sinulla on oltava käsitys numeroiden kertomiseen.

Määritelmä.

Luvun a teho luonnollisella eksponentilla n on lausekkeen muoto n, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista kukin on yhtä suuri kuin a, ts.
Erityisesti numeron a teho, jolla on eksponentti 1, on luku itse, ts. A 1 \u003d a.

Tutkintotodistusten luontosäännöistä pitäisi sanoa heti. Yleinen tapa lukea tietuetta n on seuraava: "a n: n voimaan". Joissakin tapauksissa myös seuraavat vaihtoehdot ovat hyväksyttäviä: "a-luvun n: nnen tehon" ja "luvun a-n: nnen tehon". Otetaan esimerkiksi voima 8 12, joka on “kahdeksan kahdentoista voiman kanssa” tai “kahdeksan kahdestoista voima” tai “kahdeksantoista voima kahdeksasta”.

Numeron toisella asteella sekä luvun kolmannella asteella on omat nimensä. Numeron toista tehoa kutsutaan neliön numeroesimerkiksi 7 2 lukee "seitsemän neliötä" tai "luvun seitsemän neliö". Numeron kolmanteen voimaan kutsutaan kuutionumerotesimerkiksi 5 3 voidaan lukea nimellä "kuutio viisi" tai sanoa "kuution numero 5".

On aika johtaa esimerkkejä asteista luonnollisilla indikaattoreilla... Aloitetaan voimalla 5 7, tässä 5 on voiman perusta ja 7 on eksponentti. Annetaan toinen esimerkki: 4.32 on emäs ja luonnollinen luku 9 on eksponentti (4.32) 9.

Huomaa, että viimeisessä esimerkissä 4,32-asteen perustiedot on kirjoitettu suluihin: sekaannusten välttämiseksi laitamme suluihin kaikki tutkinnon perusteet, jotka eroavat luonnollisista numeroista. Annamme esimerkiksi seuraavat asteet luonnollisilla indikaattoreilla , niiden emäkset eivät ole luonnollisia numeroita, joten ne on kirjoitettu suluihin. No, tässä kohdassa olevan selvyyden vuoksi näytämme eron lomakkeen (−2) 3 ja −2 3 merkintöjen välillä. Lause (−2) 3 on −2: n voima luonnollisella eksponentilla 3 ja lauseke −2 3 (se voidaan kirjoittaa muodolla - (2 3)) vastaa lukua, tehon arvoa 2 3.

Huomaa, että numeron a aste on merkitty eksponentilla n muodossa a ^ n. Lisäksi, jos n on moniarvoinen luonnollinen luku, eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4 ^ 9 on toinen merkintä 4 9: n voimalle. Ja tässä on joitain esimerkkejä astetta kirjoittamisesta käyttämällä "^" -merkkiä: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Seuraavaksi käytämme pääasiassa merkintää muodon a asteelle.

Yksi tehtävistä, käänteinen nousu valtaan luonnollisella eksponentilla, on ongelma löytää tutkinnon perusta tunnetun tutkinnon arvon ja tunnetun eksponentin perusteella. Tämä tehtävä johtaa.

On tunnettua, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaislukuista ja murto-osista, ja jokainen murto-osa voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murto-osana. Määrittelimme asteen kokonaisluvun eksponentilla edellisessä kappaleessa, joten asteen määritelmän saattamiseksi loppuun rationaalisella eksponendilla on annettava merkitys luvun a asteelle murto-eksponendilla m / n, missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tehdään se.

Mieti astetta muodon murto-eksponentilla. Jotta tutkinto-omaisuus olisi pätevä, tasa-arvo ... Jos otamme huomioon saadun tasa-arvon ja sen, kuinka määrittelimme sen, niin on loogista hyväksyä, mikäli lausekkeella on merkitys annetulle m, n ja a.

On helppo tarkistaa, että kaikille asteen ominaisuuksille, joilla on kokonaisluku eksponentti, (tämä tehdään osiossa asteen ominaisuuksista rationaalisen eksponentin kanssa).

Edellä esitetyn perusteella voimme tehdä seuraavat. ulostulo: Jos annetulle m, n ja lausekkeelle on järkeä, niin luvun a tehoa, jolla on murto-osa eksponentti m / n, kutsutaan a: nnenna juurena m: n voimaksi.

Tämä lausunto vie meidät hyvin lähelle asteen määrittämistä murto-eksponentilla. Jääe vain kuvata, joille lausekkeella m, n ja a on järkeä. M, n ja a: n rajoituksista riippuen on kaksi päälähestymistapaa.

Helpoin tapa on rajoittaa a olettamalla, että ≥0 positiivisella m ja a\u003e 0 negatiivisella m (koska m≤0 astetta 0 m ei ole määritelty). Sitten saamme seuraavan määritelmän murto-eksponentista.

Määritelmä.

Positiivisen luvun a teho murto-eksponentilla m / n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, kutsutaan luvun a: nnenna juurena m: n voimaan, ts.

Myös jakson nollateho määritetään sillä ehdolla, että indikaattorin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan teho positiivisella murto-eksponentilla m / n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, määritetään .
Kun astetta ei määritetä, ts. Luvun nolla asteella, jolla on murto-osa negatiivisella eksponentilla, ei ole merkitystä.

On huomattava, että tällaisella fraktiomuodon määritelmällä, jossa on murto-osa eksponentti, on yksi vivahdus: joillekin negatiivisille a ja joillekin m ja n lausekkeella on järkevä merkitys, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0. Esimerkiksi on järkevää kirjoittaa tai, ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murto-eksponentilla ovat merkityksettömiä, koska perusta ei saa olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa eksponentin määrittämiseksi murto-eksponentilla m / n on harkita erikseen juuren parillisia ja parittomia eksponentteja. Tämä lähestymistapa vaatii lisäedellytyksen: luvun a astetta, jonka indikaattorina pidetään luvun a voimakkuutta, jonka indikaattori on vastaava vähennyskelvoton murto (tämän ehdon merkitys selitetään jäljempänä). Toisin sanoen, jos m / n on pelkistymätön murto, minkä tahansa luonnollisen luvun k aste korvataan aiemmin luvulla.

Jopa n: n ja positiivisen m: n suhteen lauseke on järkevä jokaiselle ei-negatiiviselle a (negatiivisen luvun parillisen voiman juurella ei ole merkitystä), negatiivisella m: llä luvun a on silti oltava nolla (muuten jako nollalla). Ja parittomalla n ja positiivisella m: llä luku a voi olla mikä tahansa (pariton asteen juuri on määritetty mille tahansa todelliselle määrälle), ja negatiivisella m: llä luvun a on oltava nolla (niin että jakoa ei ole nolla).

Yllä oleva päätelmä johtaa meidät tällaiseen murto-eksponentin määritelmään.

Määritelmä.

Olkoon m / n redusoimaton murto, m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Mahdollisesti peruutettavissa olevan osan suhteen eksponentti korvataan. Lukumäärän teho, jolla on pelkistämätön murto-eksponentti, m / n on



Selitetään, miksi aste, jolla on pelkistettävä murto-eksponentti, korvataan aikaisemmin asteella ei-pelkistyvällä eksponentilla. Jos määrittelemme tutkinnon yksinkertaisesti ja emme tee varausta osan m / n murtokelpoisuudesta, kohtaamme seuraavanlaisia \u200b\u200btilanteita: koska 6/10 \u003d 3/5, niin tasa-arvon tulisi olla voimassa mutta ja.

Yhdessä aikaisemmissa artikkeleissa mainitsimme jo lukumäärän. Yritämme tänään suuntautua etsimään sen merkitystä. Tieteellisesti ajatellen selvitetään, kuinka voimaa nostaa oikein. Selvitämme, kuinka tämä prosessi suoritetaan, samalla koskettamalla kaikkia mahdollisia asteen indikaattoreita: luonnollista, irrationaalista, rationaalista, kokonaista.

Katsotaanpa lähemmin esimerkien ratkaisuja ja selvitetään, mitä se tarkoittaa:

1. Määritelmä käsitteelle.
2. Korotus negatiiviseen taiteeseen.
3. Koko indikaattori.
4. Numeron nostaminen irrationaaliseen voimaan.

Tässä on määritelmä, joka heijastaa tarkkaan merkitystä: "Exponentiation on numeron voiman merkityksen määritelmä."

Niinpä luvun a nostaminen Art. r ja prosessi eksponentin a arvon löytämiseksi eksponentilla r ovat identtisiä käsitteitä. Esimerkiksi, jos tehtävänä on laskea tehon arvo (0,6) 6 ″, niin se voidaan yksinkertaistaa lausekkeeseen “Nosta luku 0.6 arvoon 6”.

Sen jälkeen voit siirtyä suoraan rakennussääntöihin.

Negatiivinen eksponentraatio

Selvyyden vuoksi sinun tulisi kiinnittää huomiota seuraavaan ilmausketjuun:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 miinus 1 kpl,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 miinus 2 vaiheessa,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 miinus 3 st.,

110000 \u003d 0,00001 \u003d 1 * 10 miinus 4 astetta.

Näiden esimerkkien ansiosta voit selvästi nähdä kyvyn laskea hetkessä 10 mihin tahansa miinusvoimaan. Tätä tarkoitusta varten on melko ahkeraa siirtää desimaalikomponentti:

• 10 - -1 astetta - ennen yksikköä 1 nolla;
• kohdalla -3 - kolme nollaa ennen yhtä;
• -9 on 9 nollaa ja niin edelleen.

Tämän järjestelmän mukaan on myös helppo ymmärtää, kuinka paljon on 10 - 5 rkl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuinka nostaa luonnollinen luku

Palauttamalla mieleen määritelmä, otamme huomioon, että luonnollinen luku a. n on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista kukin on yhtä suuri kuin a. Kuvaillaan: (a * a * ... a) n, missä n on kertovien lukujen lukumäärä. Vastaavasti, jotta voidaan nostaa a-arvoon n, on tarpeen laskea seuraavan muodon tulos: a * a * ... ja jakaa n-kertaisesti.

Tästä käy ilmi, että erektio luonnon taiteessa. luottaa kykyyn kertoa (Tätä materiaalia käsitellään reaalilukujen kertomista koskevassa osiossa). Katsotaanpa ongelmaa:

Korjaa -2 4. krs.

Kyse on luonnollisesta indikaattorista. Vastaavasti päätöksen kulku on seuraava: (-2) taiteessa. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nyt jää vain suorittaa kokonaislukukertolasku: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Meillä on 16.

Vastaus ongelmaan:

(-2) taiteessa 4 \u003d 16.

Esimerkki:

Laske arvo: kolme pistettä kaksi seitsemää neliönä.

Tämä esimerkki on yhtä suuri kuin seuraava tuote: kolme pistettä kaksi seitsemäsosa kerrottuna kolmella pisteellä kaksi seitsemää. Muistellen kuinka sekoitettujen lukujen kertoaminen suoritetaan, suoritamme rakentamisen loppuun:

• 3 piste 2 seitsemäsosa kerrotaan itsestään;
• yhtä kuin 23 seitsemäs kertaa 23 seitsemäs;
• yhtä suuri kuin 529 neljäkymmentäyhdeksäs;
• leikkaamme ja saamme 10 kolmekymmentäyhdeksän neljäkymmentäyhdeksän.

Vastaus: 10 39/49

Irrationaaliseen indikaattoriin nostamisen osalta on huomattava, että laskelmat alkavat suorittaa sen jälkeen, kun tutkinnon perusta on alustavasti pyöristetty mihin tahansa luokkaan, joka mahdollistaisi arvon saamisen tietyllä tarkkuudella. Esimerkiksi, meidän on neliöitävä luku P (pi).

Aloitamme pyöristämällä P sadasosaan ja saadaan:

P: n neliö \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. Jos kuitenkin laskemme P: n kymmeneen tuhannesosaan, saadaan P \u003d 3,14159. Sitten neliöinti saa aivan toisen numeron: 9.8695877281.

Tässä on huomattava, että monissa ongelmissa ei ole tarpeen nostaa irrationaalisia lukuja valtaan. Vastaus kirjoitetaan pääsääntöisesti joko asteen muodossa, esimerkiksi 6: n juurena 3: n voimaan, tai jos lauseke sallii, sen muuntaminen suoritetaan: 5: n juuren seitsemänteen asteeseen \u003d 125: n 5: n juureen.

Kuinka nostaa numero kokonaiseen voimaan

Tämä algebrallinen käsittely on tarkoituksenmukaista ota huomioon seuraavissa tapauksissa:

• kokonaislukuja varten;
• nollaindikaattorille;
• koko positiiviselle indikaattorille.

Koska käytännössä kaikki positiiviset kokonaisluvut vastaavat luonnollisten lukujen massaa, niin positiiviseen kokonaislukuun asettaminen on sama prosessi kuin Art. luonnollinen. Kuvailemme tätä prosessia edellisessä kappaleessa.

Nyt puhutaan Art: n laskemisesta. nolla. Olemme jo selvittäneet yllä, että luvun a nolla aste voidaan määrittää mille tahansa nollalle a (todellinen), kun taas a. 0 on yhtä kuin 1.

Niinpä mikä tahansa reaaliluku nostetaan nollaan. antaa yhden.

Esimerkiksi 10 st. 0 \u003d 1, (-3,65) 0 \u003d 1 ja 0 st. 0 ei voida määrittää.

Koko voimaan nostamisen loppuun saattamiseksi on vielä päätettävä kokonaislukuisten negatiivisten arvojen vaihtoehdoista. Muistamme, että Art. alkaen kokonaisluvulla eksponentti -z määritetään murto-osana. Jakeen nimittäjä on st. jolla on positiivinen kokonaisluku, jonka arvon olemme jo oppineet löytämään. Nyt on vain harkittava esimerkkiä rakentamisesta.

Esimerkki:

Laske luvun 2 arvo kuutiossa, jonka kokonaisluku on negatiivinen.

Ratkaisuprosessi:

Asteen määritelmän mukaan, jolla on negatiivinen indikaattori, merkitsemme: kaksi miinus 3 rkl. on yksi tai kaksi kolmannessa asteessa.

Nimittäjä lasketaan yksinkertaisesti: kaksi kuutiota;

3 = 2*2*2=8.

Vastaus: kaksi miinus 3. rkl. \u003d yksi kahdeksasosa.