Rinnakkaisviivat ovat tasossa. Suoran ja tason keskinäinen järjestely avaruudessa
Linjaa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Jos viiva, joka ei ole tietyssä tasossa, on yhdensuuntainen jonkin tällä tasossa olevan viivan kanssa
1.Jos taso kulkee tietyn viivan kautta yhdensuuntaisena toisen tason kanssa ja leikkaa tämän tason, niin tasojen leikkausviiva on yhdensuuntainen tämän viivan kanssa.
2. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta viivasta on yhdensuuntainen annetun tason kanssa ja toisella viivalla on yhteinen piste tason kanssa, niin tämä viiva on tällä tasolla. taso, niin se on yhdensuuntainen itse koneen kanssa.
Tapaukset, joissa suora ja suora linja järjestetään keskenään:a) viiva on tasossa;
b) viivalla ja tasolla on vain yksi yhteinen piste; c) viivalla ja tasolla ei ole yhtä yhteistä pistettä.
2. Suoran yleisen sijainnin segmentin luonnollisen koon määrittäminen suorakulmaisen kolmion menetelmällä.
Segmentin AB todellinen koko (n.v.) suorassa yleisasennossa on oikean kolmion AVK hypoteenus. Tässä kolmiossa AK-haara on yhdensuuntainen projektiotason kanssa π1 ja on yhtä suuri kuin segmentin A "B" vaakasuuntainen projektio. Jalka BK on yhtä suuri kuin pisteiden A ja B etäisyyden tasosta π1 \u200b\u200bero.
Yleisessä tapauksessa suoraviivaisen segmentin luonnollisen arvon määrittämiseksi on välttämätöntä rakentaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusi, jonka toinen haara on segmentin vaaka (etuseinämä) ja toinen haara on segmentti, joka on yhtä suuri kuin segmentin ääripisteiden algebrallinen koordinaattiero Z (Y).
Oikeasta kolmiosta löydät kulma α - linjan kallistuskulma projektioiden vaakatasoon.
Suoran viivan kallistuskulman määrittämiseksi ulkonemien etutasoon nähden on tarpeen suorittaa samanlaiset rakenteet segmentin etuprojektiossa.
3. Tason päälinjat (vaaka-, etuosa).
Tason P vaaka on suora viiva, joka sijaitsee tällä tasolla ja on yhdensuuntainen vaakatason kanssa. Vaakatasossa suorana linjana, joka on yhdensuuntainen vaakasuoran tason kanssa, on ulkonema ѓ x-akselin suuntainen.
Tason P etuosa on suora viiva, joka sijaitsee tällä tasolla ja on yhdensuuntainen etutasoon nähden.
Etupinta on suora viiva etutasoon nähden ja sen vaakasuora projektio on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.
4. Linjojen keskinäinen sijainti avaruudessa. Näkyvyyden määrittäminen kilpailevien pisteiden avulla.Kahdessa avaruuden viivalla voi olla erilainen järjestely: A) leikkaavat (sijaitsevat samassa tasossa). Erityinen leikkaus tapaus on suorakulmainen; B) voi olla yhdensuuntainen (sijaitsevat yhdessä tasossa); C) osua yhteen - yhdensuuntaisuuden erityistapaus; D) poikki (sijaitsevat eri tasoissa eivätkä leikkaudu).
Pisteitä, joiden projektiot P1: ssä ovat samat, kutsutaan kilpailevien suhteessa tasoon P1, ja pisteitä, joissa projektiot P2: lle ovat samat, kutsutaan kilpailevien suhteessa tasoon P2.
Pisteet K ja L kilpailevat tason P1 suhteen, koska tasossa P1 kohdat K ja L heijastuvat yhteen pisteeseen: K1 \u003d L1.
Piste K on korkeampi kuin piste L, koska K2 on pisteen L2 yläpuolella, joten K1 P1: ssä on näkyvissä.
Lause
Jos viiva, joka ei kuulu tasoon, on yhdensuuntainen jonkin viivan kanssa tässä tasossa, niin se on yhdensuuntainen itse tason kanssa.
näyttö
Olkoon α taso, a on suora viiva, joka ei makaa siinä, ja a1 on suora viiva tasossa α, joka on yhdensuuntainen viivan a kanssa. Piirrä taso α viivojen a ja a1 läpi. Tasot α ja α1 leikkaavat viivaa a1 pitkin. Jos viiva a leikkaa tason α, niin leikkauspiste kuuluisi viivaan a1. Mutta tämä on mahdotonta, koska viivat a ja a1 ovat yhdensuuntaiset. Siksi viiva a ei leikkaa tasoa α, ja sen vuoksi se on yhdensuuntainen tason α kanssa. Lause todistetaan.
18. PLANES
Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa kolmannen, silloin suorat leikkaukset ovat yhdensuuntaiset (Kuva 333).
Itse asiassa määritelmän mukaan yhdensuuntaiset viivat ovat viivoja, jotka sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaudu toisiinsa. Linjamme sijaitsevat yhdessä tasossa - perätasossa. Ne eivät leikkaa, koska niitä sisältävät rinnakkaiset tasot eivät leikkaudu.
Siksi viivat ovat yhdensuuntaiset tarpeen mukaan
Ominaisuudet
§ Jos taso α on yhdensuuntainen toisessa tasossa β olevien kahden leikkautuvan viivan kanssa, nämä tasot ovat yhdensuuntaiset
§ Jos kolmas ristelee kaksi yhdensuuntaista tasoa, niiden leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset
§ Tämän tason ulkopuolella olevan pisteen kautta voit piirtää tason samansuuntaisesti, ja lisäksi vain yhden
§ Rinnakkaisviivojen segmentit, jotka rajoittavat kaksi yhdensuuntaista tasoa, ovat yhtä suuret
§ Kaksi kulmaa, joilla on vastaavasti yhdensuuntaiset ja yhtä suunnatut sivut, ovat yhtä suuret ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa
19.
Jos kaksi viivaa on samassa tasossa, niiden välinen kulma on helppo mitata - esimerkiksi sytyttimen avulla. Ja kuinka mitata kulma linjan ja tason välillä?
Anna viivan leikata tasoa, ei suorassa, vaan jossain muussa kulmassa. Tätä linjaa kutsutaan kalteva.
Pidetään kohtisuora mistä tahansa pisteestä, joka on kallistettu tasoon. Yhdistämme kohtisuoran pohjan kaltevan tason leikkauspisteeseen. Meillä on tason projektio.
Kulma linjan ja tason välillä on kulma linjan ja sen ulkoneman välillä tietyllä tasolla.
Huomaa - linjan ja tason väliseksi kulmaksi valitsemme akuutin kulman.
Jos viiva on yhdensuuntainen tason kanssa, silloin linjan ja tason välinen kulma on nolla.
Jos viiva on kohtisuorassa tasoon nähden, sen projektio tasoon on piste. On selvää, että tässä tapauksessa viivan ja tason välinen kulma on 90 °.
Viiva on kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuora mihin tahansa tämän tason viivaan.
Tämä on määritelmä. Mutta miten työskennellä hänen kanssaan? Kuinka varmistaa, että tietty viiva on kohtisuorassa kaikissa tasossa olevissa viivoissa? Loppujen lopuksi heitä on äärettömän paljon.
Käytännössä sovellettu merkki suoran ja tason kohtisuorasta:
Viiva on kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuora kahdelle risteävälle suoralle viivalle, jotka sijaitsevat tässä tasossa.
21. Kaksoissuuntainen kulma - spatiaalinen geometrinen kuva, jonka muodostavat kaksi suoraa linjaa tulevat puolitasot, samoin kuin näiden puolitasojen rajoittama tila.
Kaksi tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kaksikulmainen kulma on 90 astetta.
§ Jos taso kulkee suoran linjan kautta, joka on kohtisuora toiseen tasoon nähden, nämä tasot ovat kohtisuorassa.
§ Jos pisteestä, joka kuuluu kahteen kohtisuoraan tasoon, vetää kohtisuorassa toiseen tasoon nähden, tämä kohtisuora sijaitsee täysin ensimmäisessä tasossa.
§ Jos toisessa kahdesta kohtisuorasta tasosta vetää kohtisuora niiden leikkausviivaan nähden, tämä kohtisuora on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden.
Kaksi risteävää tasoa muodostavat neljä kaksireunaista kulmaa, joilla on yhteinen reuna: pystysuoran kulman parit ovat yhtä suuret ja kahden vierekkäisen kulman summa on 180 °. Jos yksi neljästä kulmasta on suora, niin myös muut kolme ovat yhtä suuret ja suorat. Kaksi tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on suora.
Lause. Jos taso kulkee suoran kohtisuoran toiseen tasoon nähden, nämä tasot ovat kohtisuorassa.
Annetaan olla kaksi tasoa, jotka kulkevat linjan AB läpi, kohtisuorassa siihen nähden ja leikkaavat sitä pisteessä A (kuva 49). Todistetaan, että _ | _. Tasot ja leikkaavat jonkin verran suoraa viivaa AC, ja AB_ | _ AC, koska AB _ | _. Piirrä viiva AD tasoon, joka on kohtisuora linjaan AC nähden.
Sitten kulma BAD on jakson muodostaman kaksisuuntaisen kulman lineaarinen kulma. mutta< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Monihalkaisija on runko, jonka pinta koostuu rajallisesta määrästä tasomaisia \u200b\u200bmonikulmioita.
1. Minkä tahansa monikulmion muodostavista monikulmioista pääset mihin tahansa niistä menemällä sen viereen ja siitä vuorostaan \u200b\u200bsen vierekkäisiin jne.
Näitä monikulmioita kutsutaan kasvojaheidän puolin - kylkiluutja niiden huiput - kärkipisteet polyhedron. Yksinkertaisimmat esimerkit moniulotteisista ovat kuperia moniraitaisia, toisin sanoen euklidisen tilan rajoitetun alajoukon raja, joka on äärellisen määrän puolivälien leikkauskohta.
Yllä oleva polyedronin määritelmä saa erilaisen merkityksen sen mukaan, kuinka määritetään monikulmio, jolle seuraavat kaksi vaihtoehtoa ovat mahdollisia:
§ Litteät suljetut polyliinit (jopa itse ristikkäiset);
§ Katkoviivoilla rajoitetut tason osat.
Ensimmäisessä tapauksessa saamme käsityksen rajatusta monihalkaisijasta. Toisessa polyhedron on monikulmaisista kappaleista koostuva pinta. Jos tämä pinta ei leikkaa itseään, niin se on jonkin geometrisen kappaleen, jota kutsutaan myös monihalkaisijaksi, koko pinta. Tämä antaa aihetta polyedronin kolmanteen määritelmään geometrisimpanä kappaleena
Suora prisma
Prisma nimeltään suorajos sen kylkiluut ovat kohtisuorassa pohjoihin nähden.
Prisma nimeltään kaltevajos sen sivuttaiset kylkiluut eivät ole kohtisuorassa pohjoihin nähden.
Kasvojen suorassa prismassa - suorakulmioita.
Prisma nimeltään oikeajos sen emäkset ovat säännöllisiä monikulmioita.
Prisman sivupinta-ala kutsutaan sivupintojen alueiden summaksi.
Täydellinen prisman pinta yhtä suuri kuin sivupinnan ja pohjien pinta-alan summa
Prisman elementit:
Pisteitä - kutsutaan kärkipisteiksi
Rivisegmenttejä kutsutaan sivureunoiksi
Polygoneja ja - kutsutaan emäksiksi. Kutsutaan myös itse kantoja ovat lentokoneet ja
24. Rinnakkaispuolinen (kreikan kielestä. παράλλος - yhdensuuntainen ja kreikkalainen. επιπεδον - taso) - prisma, jonka perusta on yhdensuuntainen kaavio, tai (vastaavasti) monihalkaisija, jolla on kuusi pintaa ja jokainen niistä on suuntauskuva.
§ Suuntaissärmiö on symmetrinen diagonaalinsa keskelle.
§ Kaikki segmentit, joiden päät kuuluvat ruudun pintaan ja kulkevat sen diagonaalin keskikohdan läpi, jaetaan kahteen osaan; erityisesti kaikki suuntaissärmiön diagonaalit leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakavat sen kahteen osaan.
§ Suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhdensuuntaiset.
§ Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaalin pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.
Suorakulmaisen suuntaissärmiön pinta-ala yhtä suuri kuin kahdesti tämän ruudun kolmen pinnan pinta-alojen summa:
| 1. | S= 2(S a+S b+S c)= 2(ab+ BC+ ac) |
25 Pyramid ja sen elementit
Tarkastellaan tasoa, siinä olevan monikulmion ja pisteen S, joka ei ole siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin kärkiin. Tuloksena olevaa monihalkaisijaa kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivu kylkiluiksi. 
Monikulmioa kutsutaan emäkseksi ja piste S on pyramidin yläosa. Lukosta n riippuen pyramidiä kutsutaan kolmion muotoiseksi (n \u003d 3), nelikulmaiseksi (n \u003d 4), viisikulmaiseksi (n \u003d 5) ja niin edelleen. Kolmikulmaisen pyramidin vaihtoehtoinen nimi on tetraedri. Pyramidin korkeutta kutsutaan kohtisuoraksi, laskettuna sen yläosasta pohjan tasoon. 
Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos monikulmio on säännöllinen ja pyramidin korkeuden perusta (kohtisuoran pohja) on sen keskipiste.
Ohjelma on suunniteltu laskemaan säännöllisen pyramidin sivupinta-ala.
Pyramidi on monihalkaisija, jolla on pohja monikulmion muodossa, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. 
Kaava säännöllisen pyramidin sivupinnan laskemiseksi:
missä p on pohjan kehä (monikulmio ABCDE),
a - apoteemi (OS);
Apoteemi on säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, joka on vedetty sen yläosasta.
Löydä säännöllisen pyramidin sivupinnan alue kirjoittamalla pyramidin ja apoteeman kehän arvot ja napsauttamalla sitten "LASKAA" -painiketta.Ohjelma määrittää oikean pyramidin sivupinnan alueen, jonka arvo voidaan sijoittaa leikepöydälle.
Lyhennetty pyramidi
| Katkaistu pyramidi on osa kokonaista pyramidiä, joka on suljettu pohjan ja sen kanssa yhdensuuntaisen osan väliin. | |
| Osa nimeltään katkaistun pyramidin yläosaja täyden pyramidin perusta on pohjapohja katkaistu pyramidi. (Pohjat ovat samanlaisia.) Katkaistun pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaita. Typistetyssä pyramidissa 3 nkylkiluut, 2 n kärkipisteet n + 2 puolta n(n - 3) vinot. Ylemmän ja alemman pohjan välinen etäisyys on katkaistun pyramidin korkeus (segmentti on leikattu kokonaisen pyramidin korkeudesta). |  |
| Katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sen pintojen pinta-ala. | |
| Katkaistun pyramidin tilavuus ( S ja s - tonttipinta-ala, H - korkeus) |  |
Kehon kierto jota kutsutaan kappaleeksi, joka muodostuu linjan pyörimisestä suoran ympäri.
Suora pyöreä sylinteri on merkitty palloon, jos sen pohjien ympyrät sijaitsevat pallon päällä. Sylinterin pohja on pieniä palloympyröitä, pallon keskipiste vastaa sylinterin akselin keskikohtaa. [ 2 ]
Suora pyöreä sylinteri on merkitty palloon, jos sen pohjien ympyrät sijaitsevat pallon päällä. Kuulan keskusta ei tietenkään ole sylinterin akselin keskellä. [ 3 ]
Minkä tahansa sylinterin tilavuus yhtä suuri kuin peruspinta-alan tulo korkeuden mukaan:
| 1. | V=π R 2 h |
Sylinterin kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sylinterin sivupinnan ja sylinterin pohjan kaksinkertaisen pinta-alan summa.
Kaava sylinterin kokonaispinnan laskemiseksi:
27. Pyöreä kartio voidaan saada pyörittämällä suoraa kolmiota yhden jalkansa ympäri, siksi pyöreää kartiaa kutsutaan myös kiertokartioksi. Katso myös Pyöreän kartion tilavuus.
Pyöreän kartion kokonaispinta-ala yhtä suuri kuin kartion sivupinnan ja sen pohjan pinta-alojen summa. Kartion pohja on ympyrä ja sen pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alan kaavalla:
| 2. | S=π r l+π R 2 \u003d π R(r+ l) |
28. Katkaistu kartio Osoittautuu, jos kartiossa piirretään osa pohjan suuntaisesti. Runkoa, jota rajoittaa tämä osa, pohja ja kartion sivupinta, kutsutaan katkaistuksi kartioksi. Katso myös katkaistun kartion tilavuus.
Katkaistun kartion kokonaispinta-ala yhtä suuri kuin katkaisun kartion sivupinnan ja sen pohjien summa. Katkaistun kartion pohjat ovat ympyröitä ja niiden pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alan mukaan: S= π (r 1 2 + (r 1 + R 2) l+ R 2 2)
29. Pallo on geometrinen kappale, jota rajaa pinta ja jonka kaikki pisteet ovat yhtä etäisyydellä keskustasta. Tätä etäisyyttä kutsutaan pallon sädeksi.
pallo (Kreikkalainen σφαῖρα - pallo) - suljettu pinta, pisteiden geometrinen paikka avaruudessa yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan pallon keskipisteeksi. Pallo on ellipsoidin erityistapaus, jossa kaikki kolme akselia (puoliakselit, säteet) ovat yhtä suuret. Pallo on pallon pinta.
Pallomaisen segmentin (pallomainen sektori) ja pallomaisen kerroksen pallomaisen pinnan pinta-ala riippuu vain niiden korkeudesta ja pallon sädestä ja on yhtä suuri kuin pallon suuren ympyrän kehä kerrottuna korkeudella
Pallo tilavuus yhtä suuri kuin pyramidin tilavuus, jonka pohjan pinta-ala on sama kuin pallon pinnan, ja korkeus on pallon säde
Kuulatilavuus on puolitoista kertaa pienempi kuin sen ympärillä kuvattu sylinterin tilavuus.
Palloelementit
Pallomainen segmentti Kiinnitystaso jakaa pallon kahteen pallomaiseen segmenttiin. H - segmentin korkeus, 0< H < 2 R,
r - segmentin pohjan säde,  Pallo segmentin tilavuus  Pallomaisen segmentin pallomainen pinta-ala |  |
| Pallomainen kerros Pallomainen kerros on pallon osa, joka on suljettu kahden yhdensuuntaisen osan väliin. Etäisyys ( H) osioiden välillä kutsutaan kerroksen korkeus, ja itse osiot pohjakerros. Pallomainen pinta-ala ( tilavuus) pallomainen kerros voidaan löytää pallomaisten segmenttien pallomaisten pintojen (tilavuuksien) erotuksena. |  |
1. Vektorin kertolasku luvulla (Kuva 56).
Vektorin tuote numeron mukaan λ kutsutaan vektoriksi jonka moduuli on yhtä suuri kuin vektorimoduulin tulo lukumoodia kohden λ :
Suunta ei muutu, jos λ > 0 ; kääntää, jos λ < 0 . jos λ \u003d −1sitten vektori
Sitä kutsutaan vektoriksi vastakkaiseksi vektoriksi , ja on merkitty
2. Vektorien lisääminen. Kahden vektorin summan löytämiseksi ja vektori
Silloin summa on vektori, jonka alku on samanlainen kuin ensimmäisen alku ja loppu - toisen lopun. Tätä vektorien lisäyssääntöä kutsutaan "kolmion sääntöksi" (kuva 57). on välttämätöntä kuvata vektoritermejä siten, että toisen vektorin alku osuu yhden ensimmäisen loppuun.
On helppo todistaa, että vektorien osalta ”summa ei muutu termien paikanvaihdosta”.
Osoitamme vielä yhden vektorien lisäämissäännön - ”rinnansuuntaussääntö”. Jos yhdistämme summand-vektoreiden alun ja rakennamme niille suuntakuvan, niin summa on vektori, joka vastaa tämän suuntakuvan diagonaalia (kuva 58).
On selvää, että "rinnansuuntaussääntö" mukainen lisäys johtaa samaan tulokseen kuin "kolmio-säännön" mukaan.
"Kolmion sääntö" on helppo yleistää (useiden termien tapauksessa). Vektoreiden summan löytämiseksi
On välttämätöntä yhdistää toisen vektorin alku ensimmäisen ensimmäisen loppuun, kolmannen alku toisen sekunnin loppuun jne. Sitten vektorin alku C osuu ensimmäisen ja lopun alkuun C - jälkimmäisen lopulla (kuva 59).
3. Vektoreiden vähennys. Vähennysoperaatio pienenee kahteen aikaisempaan operaatioon: Kahden vektorin erotus on ensimmäisen summa toisella vastakkaisella vektorilla:
Voit myös formuloida "kolmion säännön" vähentämällä vektoreita: vektoreiden alku on välttämätöntä yhdistää ja silloin niiden ero on vektori
Piirretty vektorin lopusta vektorin loppuun (Kuva 60).
Jatkossa puhumme materiaalipisteen siirtymävektorista, ts. Vektorista, joka yhdistää pisteen alku- ja loppukohdan. Ymmärrä, että käyttöön otetut vektorien vaikutussäännöt ovat melko ilmeisiä siirtymävektoreille.
4. Vektorien skalaarituote. Kahden vektorin skalaarituotteen tulos ja on luku c, joka on yhtä suuri kuin vektorien moduulien tulo kulman kosinuksella α välillä
Vektorien skalaarituoteoperaatio on erittäin laajalti käytetty fysiikassa. Tulevaisuudessa joudumme usein käsittelemään tällaista operaatiota.
Artikkelissa tarkastellaan linjan ja tason välisen rinnakkaisuuden käsitteitä, annetaan perusmääritelmät ja esimerkit. Tarkastellaan viivaa, joka osoittaa linjan suuntaisuuden tasoon tarvittavien ja riittävien parallelismin olosuhteiden kanssa, ratkaisemme esimerkkejä tehtävistä yksityiskohtaisesti.
Yandex.RTB R-A-339285-1 määritelmä 1
Linjaa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiajos heillä ei ole yhteisiä pisteitä, ts. he eivät leikkaa.
Samaan aikaan merkitään "« ". Jos oletuksena viiva a ja taso α ovat yhdensuuntaiset, niin merkinnällä on muoto ∥ α. Tarkastele alla olevaa kuvaa.
Uskotaan, että viivan, joka on yhdensuuntainen tason a kanssa, ja tason a, joka on samansuuntainen viivan a kanssa, ovat vastaavia, ts. Linja ja taso ovat joka tapauksessa yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
Linjan ja tason rinnakkaisuus - merkki ja suuntauksen olosuhteet
Ei aina ole selvää, että viiva ja taso ovat samansuuntaiset. Usein tämä on todistettava. On välttämätöntä käyttää riittävää ehtoa, joka takaa samansuuntaisuuden. Tätä ominaisuutta kutsutaan yhdensuuntaiseksi viivaksi ja tasasuuntaiseksi merkiksi, ja on suositeltavaa tutkia rinnakkaisviivojen määritelmää.
Lause 1
Jos tietty viiva a, joka ei ole tasossa α, on yhdensuuntainen viivan b kanssa, joka kuuluu tasoon α, niin viiva a on yhdensuuntainen tason α kanssa.
Tarkastellaan laitetta, jota käytetään määrittämään viivan suuntaisuus tason kanssa.
Lause 2
Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta viivasta on yhdensuuntainen tason kanssa, niin toinen viiva on tässä tasossa tai samansuuntainen.
Yksityiskohtaista todistetta tarkastellaan luokkien 10–11 oppikirjassa. Tarvittava ja riittävä ehto suoran suuntaisuuden suhteen tasoon on mahdollista, jos on määritelty suoran suuntavektori ja tason normaali vektori.
Lause 3
Suoran α, joka ei kuulu tasoon α, ja tämän tason yhdensuuntaisuudelle välttämätön ja riittävä ehto on viivan suuntavektorin kohtisuora suhde annetun tason normaalivektoriin.
Ehto on sovellettavissa, kun rinnakkaisuus on tarpeen todistaa kolmiulotteisen tilan suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Harkitse yksityiskohtaista näyttöä.
näyttö
Oletetaan, että viiva a koordinaattijärjestelmässä O x y määritetään aallon viivan kanonisilla yhtälöillä, joiden muoto on x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az tai viivan parametriset yhtälöt avaruudessa x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay · λ z \u003d z 1 + az · λ, taso α tason A x + B y + C z + D \u003d 0 yleisillä yhtälöillä.
Siksi a → \u003d (a x, y, a z) on ohjaava vektori, jonka koordinaatit ovat viiva a, n → \u003d (A, B, C) - tietyn alfa-tason normaali vektori.
N → \u003d (A, B, C) ja a \u003d \u003d (a x, a, y, z) kohtisuoraksi todistamiseksi meidän on käytettävä skalaarisen tuotteen käsitettä. Eli kun tulo a →, n → \u003d a x · A + a y · B + a z · C, tuloksen tulisi olla nolla vektoreiden kohtisuoran olosuhteista.
Tämä tarkoittaa, että välttämätön ja riittävä ehto viivan ja tason suuntaisuudelle kirjoitetaan muodossa →, n → \u003d a x · A + a y · B + a z · C. Siksi a → \u003d (a x, a, y, z) on linjan a ohjausvektori koordinaateilla ja n → \u003d (A, B, C) on tason α normaali vektori.
Esimerkki 1
Määritä, onko viiva x \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 + 3 · λ z \u003d 2 - 4 · λ on yhdensuuntainen tason x + 6 y + 5 z + 4 \u003d 0 kanssa.
päätös
Saamme, että annettu linja ei kuulu tasoon, koska linjan M koordinaatit (1, - 2, 2) eivät ole sopivia. Kun korvaamme, saamme, että 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 \u003d 0 ⇔ 3 \u003d 0.
On tarpeen tarkistaa viivan ja tason samansuuntaisuuden välttämätön ja riittävä edellytys. Saadaan, että linjan x \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 + 3 · λ z \u003d 2 - 4 · λ suuntavektorin koordinaateilla on arvot a → \u003d (2, 3, - 4).
Normaalivektori x + 6 y + 5 z + 4 \u003d 0 -tasolle on n → \u003d (1, 6, 5). Jatkamme vektorien a → ja n → skalaarituotteen laskemista. Saadaan, että a →, n → \u003d 2 · 1 + 3 · 6 + (- 4) · 5 \u003d 0.
Siksi vektorien a → ja n → kohtisuoraisuus on ilmeinen. Tästä seuraa, että viiva tason kanssa on yhdensuuntainen.
Vastaus on:suora suora, yhdensuuntainen.
Esimerkki 2
Määritä linjan AB suuntaisuus koordinaattitasossa O y z, kun koordinaatit A (2, 3, 0), B (4, - 1, - 7) on annettu.
päätös
Ehdon perusteella voidaan nähdä, että piste A (2, 3, 0) ei ole Ox-akselilla, koska x: n arvo ei ole yhtä suuri kuin 0.
O x z -tasolle vektoria, jonka koordinaatit i → \u003d (1, 0, 0), pidetään tämän tason normaalina vektorina. Merkitsemme viivan A B suuntavektoria nimellä A B →. Nyt, laskemalla alun ja lopun koordinaatit, lasketaan vektorin A B koordinaatit. Saadaan, että A B \u003d \u003d (2, - 4, - 7). Vektoreiden A B → \u003d (2, - 4, - 7) ja i → \u003d (1, 0, 0) välttämättömän ja riittävän kunnon toteutettavuus on tarkistettava niiden kohtisuoran määrittämiseksi.
Me kirjoitamme A B →, i → \u003d 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 \u003d 2 ≠ 0.
Tästä seuraa, että suora viiva AB koordinaattitason Oy z kanssa ei ole yhdensuuntainen.
Vastaus on: ei rinnakkain.
Ei aina annettu olosuhteet edistävät todistuksen helppoa määrittämistä viivan ja tason samansuuntaisuudesta. On tarpeen tarkistaa, että viiva a kuuluu tasoon α. On myös toinen riittävä edellytys, jolla rinnakkaisuus todistetaan.
Annetaan suora viiva a käyttämällä kahden leikkautuvan tason yhtälöä A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 tason α kanssa tason A yleisen yhtälön kanssa x + B y + C z + D \u003d 0.
Lause 4
Vaadittava ja riittävä edellytys viivan a ja tason α samansuuntaisuudelle on muodon A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisujen puuttuminen \u003d 0 A x + B y + C z + D \u003d 0.
näyttö
Määritelmästä seuraa, että viivalla a tason α kanssa ei tulisi olla yhteisiä pisteitä, ts. Älä leikkaa, vain tässä tapauksessa niitä pidetään yhdensuuntaisina. Siksi koordinaattijärjestelmässä О x у z ei tulisi olla siihen kuuluvia pisteitä, jotka täyttävät kaikki yhtälöt:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, samoin kuin tason yhtälö A x + B y + C z + D \u003d 0.
Siksi yhtälöjärjestelmä muodossa A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 A x + B y + C z + D \u003d 0: ta kutsutaan yhteensopimattomaksi.
Päinvastoin on totta: järjestelmän ratkaisujen puuttuessa A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 A x + B y + C z + D \u003d 0: ssa ei ole pisteitä 0 x y z: ssä, jotka täyttävät kaikki annetut yhtälöt samanaikaisesti. Saamme, että ei ole sellaista pistettä, jolla olisi koordinaatit, jotka voisivat olla välittömästi kaikkien yhtälöiden A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 ratkaisut ja yhtälöt A x + B y + C z + D \u003d 0. Siksi meillä on suuntaus linjan ja tason välillä, koska niiden leikkauspisteet puuttuvat.
Yhtälöiden järjestelmällä A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 A x + B y + C z + D \u003d 0 ei ole ratkaisua, kun päämatriisin sijoitus on pienempi kuin laajennetun. Tämän varmentaa Kronecker-Capelli-lause lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Voit soveltaa Gauss-menetelmää sen yhteensopimattomuuden määrittämiseen.
Esimerkki 3
Osoita, että viiva x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 on yhdensuuntainen tason 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 kanssa.
päätös
Tämän esimerkin ratkaisemiseksi meidän pitäisi siirtyä linjan kaanonisesta yhtälöstä kahden leikkaavan tason yhtälön muotoon. Me kirjoitamme sen näin:
x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 ⇔ - 1 · x \u003d - 1 (y + 2) 3 · x \u003d - 1 · z 3 · (y + 2) \u003d - 1 · z ⇔ x - y - 2 \u003d 0 3 x + z \u003d 0
Todistaaksesi annetun viivan x - y - 2 \u003d 0 3 x + z \u003d 0 tason 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 suuntaisuuden, on tarpeen muuttaa yhtälöt yhtälöjärjestelmään x - y - 2 \u003d 0 3 x + z \u003d 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0.
Näemme, että sitä ei voida ratkaista, joten turvaudumme Gauss-menetelmään.
Kun olet kirjoittanut yhtälöt, saadaan, että 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3.
Tästä päättelemme, että yhtälöjärjestelmä ei ole yhteensopiva, koska viiva ja taso eivät leikkaudu, ts. Niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
Johtopäätöksenä on, että viiva x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 ja taso 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 ovat yhdensuuntaisia, koska välttämätön ja riittävä edellytys tason suuntaisuudelle annetun viivan kanssa täyttyi.
Vastaus on:viiva ja taso ovat yhdensuuntaiset.
Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter
Oppitunnin kysymykset:
· Pidämme viivan ja tason samansuuntaisuutta yhtenä kolmesta mahdollisesta vaihtoehdosta niiden keskinäiselle järjestelylle avaruudessa;
· Muotoilemme ja todistamme lauseen viivan ja tason samansuuntaisuudesta;
· Todistamme vielä kaksi lausetta, joita käytetään usein ongelmien ratkaisemisessa.
Oppitunnin materiaali.
Olemme jo oppineet stereometrian aksioomat. Tässä oppitunnissa tarvitsemme toisen aksiooman: jos viivan kaksi pistettä kuuluvat tasoon, niin koko viiva kuuluu tasoon.
Seuraa tästä kolme tapausta, joissa suora ja linja järjestetään keskinäisesti avaruudessa.
Ensimmäinen tapaus. Linja on tasossa, ts. jokainen viivan piste on tasossa. Esimerkiksi, jos SABC on kolmionmuotoinen pyramidi, niin viiva CB on tasossa ABC.
Toinen tapaus. Linja ja taso leikkaavat toisin sanoen on vain yksi yhteinen kohta. Esimerkiksi viiva B 1 B leikkaa suuntaissärmiön ABCDA 1 B 1 C 1 D1 pinnan ABCD tason.
Ja kolmas tapaus. Linjalla ja tasolla ei ole yhtä yhteistä pistettä. Esimerkiksi, jos ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on kuutio, niin viiva A 1 D 1 ja taso, jolla pinta ABCD sijaitsevat, eivät leikkaudu.
Määritelmä. Linjaa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
Viivan a ja tason α suuntaisuus esitetään seuraavasti. Lue: ”Suora yhdensuuntainen tason α kanssa.
Segmenttiä (sädettä) kutsutaan tason suuntaiseksi, jos se on suoralla linjalla, joka on tämän tason suuntainen.
Annamme joitain esimerkkejä linjan ja tason välisestä samansuuntaisuudesta.
Tässä otetaan esimerkiksi kitara. Jännitetty kitaran kieli ja niskataso ovat yhdensuuntaiset. Voimajohdot ovat yhdensuuntaiset maan tason kanssa.
Toinen esimerkki on seinän ja katon leikkauslinja. Tämä viiva on yhdensuuntainen lattiatason kanssa.
Huomaa, että lattiatasossa on myös tämän linjan suuntainen viiva. Tällainen suora viiva on esimerkiksi lattian ja saman seinän leikkauslinja.
Rivit, joista juuri puhuimme, on merkitty kirjaimilla a ja b. Osoittautuu, että jos tasossa α on linja b, joka on yhdensuuntainen viivan a kanssa, ei makaa tasossa α, niin viiva a ja taso α ovat yhdensuuntaiset.
Tämä lausunto (lause) on merkki, jonka avulla voidaan päätellä, että viiva a ja taso α ovat yhdensuuntaiset.
Lause. Jos viiva, joka ei ole tietyssä tasossa, on yhdensuuntainen jonkin tällä tasossa olevan viivan kanssa, niin se on yhdensuuntainen tämän tason kanssa.
Todistetaan lause.Oletetaan, että meillä on kaksi yhdensuuntaista viivaa a ja b ja taso α. Lisäksi ne sijaitsevat siten, että viiva b on tasossa α ja viiva a ei ole tässä tasossa. Todistetaan, että viiva a on yhdensuuntainen tason α kanssa.
Oletetaan, että viiva a leikkaa tason α jossain pisteessä M. Siksi linjan b on myös leikattava taso α tason leikkauskohdassa rinnakkaisviivojen kanssa. Mutta tämä on mahdotonta, koska suora b on oletuksessa tasossa α. Siksi olettamuksemme on virheellinen. Ja viiva a ei leikkaa tasoa α. Hypoteesin mukaan se ei ole tasossa α. Siksi viiva a on yhdensuuntainen tason α kanssa. Lause todistetaan.
Kuvassa näkyy suuntaissärmiöinen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. suora 1 B 1 yhdensuuntainen tason α kanssa, jossa pintaABCD. Itse asiassa viiva A 1 B 1 on yhdensuuntainen linjan AB kanssa, joka sijaitsee tasossa α. Siksi viivan ja tason A 1 B 1 yhdensuuntaisuuden merkillä α.
Todistamme vielä kaksi lausetta, joita käytetään usein ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen lausunto. Jos taso kulkee tietyn viivan kautta yhdensuuntaisena toisen tason kanssa ja leikkaa tämän tason, niin tasojen leikkausviiva on yhdensuuntainen tämän viivan kanssa.
Todistamme tämän lausunnon. Anna tason α kulkea linjan läpi yhdensuuntaisesti tason β kanssa. Ja tasot α ja β leikkaavat suorassa linjassa b. Todistetaan, että viiva a on yhdensuuntainen linjan b kanssa.
Itse asiassa nämä viivat sijaitsevat samassa tasossa (α-tasossa) eivätkä leikkaudu: muuten, jos viivat a ja b leikkaavat jossain pisteessä M, niin viiva a leikkaisi tason β pisteessä M. Se on mahdotonta, koska viiva ja yhdensuuntainen tason β kanssa olettamalla.
Siten viivat a ja b ovat yhdensuuntaiset. Joka vaadittiin todistamaan.
Toinen lausuma. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta viivasta on yhdensuuntainen tietyn tason kanssa, niin toinen viiva on joko tietyn tason suuntainen tai sijaitsee tällä tasolla.
Todiste. Olkoon viivat a ja b yhdensuuntaiset. Lisäksi viiva a on yhdensuuntainen tason α kanssa. Silloin viiva a ei leikkaa tasoa α, ja siksi linja b ei myöskään leikkaa tasoa α tason leikkauskohdassa rinnakkaisviivojen kanssa. Joten, viiva b on joko yhdensuuntainen tason α kanssa tai on tällä tasolla. Joka vaadittiin todistamaan.
Tehtävä.Suora. Asia. Osoita, että pisteen läpi kulkeva ja samansuuntainen linja sijaitsee.
Todiste. Anna linjan b kulkea pisteen K läpi ja olla yhdensuuntainen linjan a kanssa.
Oletetaan, että viiva b ei ole tasossa α, ts. leikkaa tason α pisteessä K. Sitten viiva ja leikkaa myös tason α tason leikkauskohdassa olevalla lemmalla rinnakkaisviivoilla. Ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa. Siksi viiva b on tasossa α. Joka vaadittiin todistamaan.
Yhteenveto oppitunnista. Tässä oppitunnissa tarkastelimme suoran ja tason rinnakkaisuutta yhtenä kolmesta mahdollisesta vaihtoehdosta niiden keskinäiselle järjestelylle avaruudessa. He muotoilivat ja todistivat viivan ja tason samansuuntaisuuden merkin. Ja todisti myös kaksi väitettä, joita käytetään usein ongelmien ratkaisemisessa.
1. Suunnittele leikkauslinjojen määritelmä. Luo ja todista lause, joka ilmaisee risteävien viivojen merkin. 2 / Todista, että jos kaksiviivat ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen viivan kanssa, sitten ne ovat yhdensuuntaiset. 3. Piirrä suuntaissärmiön ABCDA1B1C1D1 leikkaus tasolla, joka kulkee pisteiden A, C ja M kautta, missä M on reunan AlDl keskikohta.
Mikä hahmoista ei ole avaruuden päähahmo? 1) piste; 2) segmentti; 3) suora; 4) kone.2. Suoraa jab ristissä. Kuinka linja on?b suhteessa tasoon α, jos viiva a ϵ α?
1) ristit; 2) yhdensuuntainen; 3) on tasossa; 4) ristit.
3. Selvitä, mikä väite on totta:
1) kohtisuora on pidempi kuin kalteva.
2) Jos kaksi vinoa eivät ole yhtä suuret, niin suuressa vinossa projektio on pienempi.
3) Suora viiva on kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuora tässä tasossa olevan kolmion molemmille puolille.
4) Rinnakkaisviivan ja tason välinen kulma on 90º.
4. Kahden yhdensuuntaisen tason välinen etäisyys on 8 cm. Suora, 17 cm pitkä segmentti on sijoitettu niiden väliin siten, että sen päät kuuluvat tasoihin. Löydä tämän segmentin projektio jokaiselta tasolta.
1) 15 cm; 2) 9 cm; 3) 25 cm) 4) 12 cm.
5. MKRT-tasoon vedettiin kohtisuora TE, joka oli yhtä suuri kuin 6 dm. Laske etäisyys pisteestä E romauksen K yläosaan, jos MK \u003d 8 dm, rombin kulma M on 60º.
1) 10 dm; 2) 14 dm; 3) 8 dm; 4) 12 dm.
6. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusi on 12 cm.Kolmion tason ulkopuolella annetaan piste, joka on 10 cm kolmiota kustakin kärjestä. Löydä etäisyys pisteestä kolmion tasoon.
1) 4 cm; 2) 16 cm; 3) 8 cm; 4) 10 cm.
7. Tietystä kohdasta kohtisuora ja kalteva taso vedetään tiettyyn tasoon, jonka välinen kulma on 60º. Löydä projektio, joka on kallistettu tälle tasolle, jos kohtisuora on 5 cm.
1) 5,03 cm; 2) 10 cm; 3) 5 cm; 4) 10√3 cm.
8. Löydä säännöllisen kolmionmuotoisen pyramidin sivupinta, jos jalustan sivupinta on 2 cm ja kaikki pohjassa olevat kaksikulmaiset kulmat ovat 30º.
1) 2 cm2; 2) 2√3 cm2; 3) √3 cm2; 4) 3√2 cm2.
9. Etsi suorakulmaisen suuntaissärmiön pinta-ala sen kolmelta mitalta, joka on yhtä suuri kuin 3 cm, 4 cm, 5 cm.
1) 94 cm2; 2) 47 cm2; 3) 20 cm2; 4) 54 cm2.
kone.
b) jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta viivalta leikkaa tietyn tason, niin toinen viiva leikkaa myös tämän tason.
c) jos kaksi viivaa ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen viivan kanssa, ne leikkaavat toisiaan
d) jos viivalla ja tasolla ei ole yhteisiä pisteitä, niin viiva on tasossa
e) viivaa ja tasoa kutsutaan leikkaaviksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä
b) jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta viivalta leikkaa tietyn tason, niin toinen viiva leikkaa myös tämän tason; c) jos kaksi viivaa ovat samansuuntaisia \u200b\u200bkolmannen viivan kanssa, niin ne leikkaavat; d) jos viivalla ja tasolla ei ole yhteisiä pisteitä, niin viiva on litteä) viivaa ja tasoa kutsutaan ristiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
2. Linja c yhdensuuntainen linjan a kanssa leikkaa tason β. Rivi b on yhdensuuntainen viivan a kanssa, sitten:
