Mitä kutsutaan luvun asteeksi, jolla on rationaalinen eksponentti. Lukumäärä: määritelmät, nimitys, esimerkit

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Oppiaksesi kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä Jokapäiväinen elämä lue tämä artikkeli.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistunut toimitus OGE tai USE ja päästäksesi unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmisen kieli erittäin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muuta hankalia temppuja laiskot matemaatikot keksivät laskut? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua piinaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun täytyy silti kertoa ne tai nostaa ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja myös laskuvirheitä tulee vähemmän. Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toiseen asteeseen on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Laskeaksesi heidän lukumääränsä, sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat sen Shakkilauta on neliö, jossa on sivu, niin voit neliöida kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten, tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometriä. Odottamatta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvä pohja ja yritä laskea, kuinka monta kuutiota metri metriltä yhteensä tulee altaasi.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loaferien ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No ja sisään yleisnäkymä yleistää ja muistaa paremmin ... Aste, jonka kanta on "" ja eksponentti "", luetaan "asteeseen" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit sen: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti osoittamaan velkoja: jos sinulla on puhelimesi saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

Määritelmän mukaan:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisemme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä täytyy olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit selviytymään niistä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen ympyrän laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osalla.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Astioita kanssa järkevä indikaattori erittäin hyödyllinen juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "valmistelu numero”, nimittäin numero;

...aste kokonaisluvulla negatiivinen indikaattori - On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhentämiseksi:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavanomaisia ​​asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska sitä ei voi jakaa).

Vielä kerran nollasta: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

Määritelmän mukaan:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä pitää olla samat perusteet. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

Minun ei missään tapauksessa pidä kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indikaattori tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisemme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Sellainen on mahdollista muotoilla yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistamme sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että perusta alle nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, sillä poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nollaasteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen indikaattori - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisen eksponentin kanssa (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

1. Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro minulle alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Tässä artikkelissa ymmärrämme, mikä on aste. Tässä annamme määritelmiä luvun asteelle, samalla kun tarkastellaan yksityiskohtaisesti kaikkia mahdollisia asteen eksponenteja, alkaen luonnollisesta eksponentista ja päättyen irrationaaliseen. Materiaalista löydät paljon esimerkkejä tutkinnoista, jotka kattavat kaikki esiin tulevat hienoudet.

Sivulla navigointi.

Aste luonnollisella eksponentilla, luvun neliö, luvun kuutio

Aloitetaan . Tarkastellaan eteenpäin, sanotaan, että a:n asteen määritelmä luonnollisella eksponentilla n on annettu a:lle, jota kutsumme tutkinnon perusta, ja n , joita kutsumme eksponentti. Huomaa myös, että aste luonnollisella indikaattorilla määritetään tuotteen kautta, joten alla olevan materiaalin ymmärtämiseksi sinulla on oltava käsitys numeroiden kertomisesta.

Määritelmä.

Luvun a potenssi luonnollisen eksponentin n kanssa on muotoa a n oleva lauseke, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a, eli .
Erityisesti eksponentin 1 luvun a aste on itse luku a, eli a 1 =a.

Välittömästi kannattaa mainita tutkintojen lukemista koskevat säännöt. Universaali tapa lukea tietue a n on: "a n:n potenssiin". Joissakin tapauksissa myös sellaiset vaihtoehdot ovat hyväksyttäviä: "a n. potenssiin" ja "luvun a n:nnen potenssiin". Otetaan esimerkiksi 8 12:n potenssi, tämä on "kahdeksas kahdentoista potenssiin" tai "kahdeksastoista potenssiin" tai "kahdeksastoista potenssiin".

Numeron toisella potenssilla sekä luvun kolmannella potenssilla on omat nimensä. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliö esimerkiksi 7 2 luetaan "seitsemän neliönä" tai "luvun seitsemän neliönä". Luvun kolmatta potenssia kutsutaan kuution numero Esimerkiksi 5 3 voidaan lukea "viisi kuutiona" tai sanoa "kuutio numerosta 5".

On aika tuoda esimerkkejä asteista fysikaalisilla indikaattoreilla. Aloitetaan potenssilla 5 7 , jossa 5 on potenssin kanta ja 7 on eksponentti. Otetaan toinen esimerkki: 4.32 on kanta ja luonnollinen luku 9 on eksponentti (4.32) 9 .

Huomaa, että viimeisessä esimerkissä asteen kanta 4.32 on kirjoitettu hakasulkeisiin: erojen välttämiseksi otamme hakasulkeisiin kaikki tutkinnon kantakannat, jotka poikkeavat luonnollisista luvuista. Esimerkkinä annamme seuraavat asteet luonnollisilla indikaattoreilla , niiden kantakannat eivät ole luonnollisia lukuja, joten ne kirjoitetaan sulkeisiin. No, täydellisen selvyyden vuoksi tässä vaiheessa näytämme muodon (−2) 3 ja −2 3 tietueiden sisältämät erot. Lauseke (−2) 3 on potenssin −2, jonka luonnollinen eksponentti 3 on, ja lauseke −2 3 (voidaan kirjoittaa muodossa −(2 3) ) vastaa lukua, potenssin 2 3 arvoa.

Huomaa, että a-asteelle on merkintä, jonka eksponentti n on muotoa a^n . Lisäksi, jos n on moniarvoinen luonnollinen luku, niin eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4^9 on toinen merkintä luvun 4 9 potenssille. Ja tässä on lisää esimerkkejä asteiden kirjoittamisesta "^"-symbolilla: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Seuraavassa käytämme pääasiassa muodon a n asteen merkintää.

Yksi luonnollisen eksponentin eksponentioinnin käänteisistä ongelmista on asteen kantakohdan löytäminen by tunnettu arvo aste ja tunnettu eksponentti. Tämä tehtävä johtaa.

Tiedetään, että monet rationaalisia lukuja koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena yhteisenä murtolukuna. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun a asteen merkitys murto-eksponentilla m / n, missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murtoluvulla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtälön ja tavan, jolla määritimme , on loogista hyväksyä, edellyttäen, että annetuille m:lle, n:lle ja a:lle lauseke on järkevä.

On helppo tarkistaa, että kaikki asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetuille m, n ja a lausekkeelle on järkeä, niin luvun a potenssi murto-eksponentilla m / n on a:n n:nnen asteen juuri potenssiin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jää vain kuvailla m, n ja a lauseke on järkevä. M :lle, n:lle ja a:lle asetetuista rajoituksista riippuen on olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa.

Helpoin tapa rajoittaa a on olettaa a≥0 positiiviselle m:lle ja a>0 negatiiviselle m:lle (koska m≤0:lla ei ole 0 m:n tehoa). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun a potenssi murto-eksponentilla m/n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, kutsutaan luvun a n:nnen juuriksi m:n potenssiin, eli .

Myös nollan murto-aste määritellään sillä ainoalla varoituksella, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, määritellään seuraavasti .
Kun astetta ei ole määritelty, eli luvun nolla asteella, jossa on murto-osa negatiivinen eksponentti, ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määrittelyllä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a:ille ja joillekin m ja n:lle lauseke on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0 . Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murto-eksponentilla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murto-eksponentilla m / n on tarkastella erikseen juuren parillisia ja parittomia eksponenteja. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehdon: potenssia a , jonka eksponentti on , pidetään potenssina a , jonka eksponentti on vastaava redusoitumaton murto-osa(Tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murto-osa, minkä tahansa luonnollisen luvun k aste korvataan ensin luvulla .

Parilliselle n:lle ja positiiviselle m:lle lauseke on järkevä mille tahansa ei-negatiiviselle a:lle (parillinen astejuuri negatiivinen numero ei ole järkevää), negatiiviselle m:lle luvun a on silti oltava eri kuin nolla (muuten se jaetaan nollalla). Ja parittoman n:n ja positiivisen m:n kohdalla luku a voi olla mikä tahansa (parittoman asteen juuri määritellään mille tahansa reaaliluvulle), ja negatiiviselle m:lle luvun a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nolla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Olkoon m/n pelkistymätön murtoluku, m kokonaisluku ja n luonnollinen luku. Minkä tahansa pelkistettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan . A:n potenssi pelkistymättömällä murto-eksponentilla m / n on varten



Selvitetään, miksi pelkistyvä murto-asteinen aste korvataan ensin asteella, jolla on pelkistymätön eksponentti. Jos määrittelisimme asteeksi yksinkertaisesti , emmekä tekisi varausta murto-osan m / n pelkistymättömyydestä, kohtaisimme seuraavanlaisia ​​tilanteita: koska 6/10=3/5 , niin yhtälö , mutta , a.

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

Khasyanova T.G.,

matematiikan opettaja

Esitetty materiaali on hyödyllinen matematiikan opettajille opiskellessaan aihetta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla".

Esitellyn materiaalin tarkoitus: kokemukseni paljastaminen oppitunnin pitämisestä aiheesta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" työohjelma tieteenala "Matematiikka".

Oppitunnin metodologia vastaa sen tyyppiä - oppitunti uuden tiedon tutkimisessa ja ensisijaisessa vahvistamisessa. Perustiedot ja -taidot päivitettiin aiemmin hankitun kokemuksen perusteella; uuden tiedon ensisijainen muistaminen, yhdistäminen ja soveltaminen. Uuden materiaalin konsolidointi ja soveltaminen tapahtui testaamieni vaihtelevan monimutkaisten ongelmien ratkaisemisen muodossa, jolloin sain positiivinen tulos aiheen hallinta.

Oppitunnin alussa asetin opiskelijoille seuraavat tavoitteet: kasvattava, kehittävä, kasvattava. Luokassa käytin eri tavoilla toiminnot: frontaalinen, yksilöllinen, höyrysauna, riippumaton, testi. Tehtävät oli eriytetty ja niiden avulla oli mahdollista tunnistaa jokaisessa oppitunnin vaiheessa tiedon assimilaatioaste. Tehtävien määrä ja monimutkaisuus vastaavat ikäominaisuudet opiskelijat. Omasta kokemuksestani - kotitehtävät, joka on samanlainen kuin luokkahuoneessa ratkaistavissa tehtävissä, antaa sinun lujittaa hankitut tiedot ja taidot turvallisesti. Oppitunnin lopussa suoritettiin reflektointi ja yksittäisten opiskelijoiden työtä arvioitiin.

Tavoitteet on saavutettu. Opiskelijat tutkivat tutkinnon käsitettä ja ominaisuuksia rationaalisen eksponentin avulla, oppivat käyttämään näitä ominaisuuksia käytännön ongelmien ratkaisussa. Per itsenäinen työ arvosanat ilmoitetaan seuraavalla oppitunnilla.

Uskon, että matematiikan opettajat voivat soveltaa matematiikan tuntien johtamiseen käyttämäni metodologiaa.

Oppitunnin aihe: Tutkinto rationaalisella mittarilla

Oppitunnin tarkoitus:

Opiskelijoiden tieto- ja taitokompleksin hallitsemisen tason tunnistaminen ja sen perusteella tiettyjen ratkaisujen soveltaminen koulutusprosessin parantamiseksi.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelmat: muodostaa opiskelijoiden keskuudessa uutta tietoa peruskäsitteistä, säännöistä, laeista tutkinnon määrittämiseksi järkevällä indikaattorilla, kyky soveltaa tietoa itsenäisesti vakioolosuhteet, muokatuissa ja epästandardeissa olosuhteissa;

kehitetään: ajatella loogisesti ja toteuttaa luovia kykyjä;

kasvattajat: herättää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, täydentää sanastoa uusilla termeillä, saada Lisäinformaatio ympäröivästä maailmasta. Kasvata kärsivällisyyttä, sinnikkyyttä, kykyä voittaa vaikeudet.

Ajan järjestäminen

Perustietojen päivittäminen

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

2. Kun potenssit jaetaan samoilla kantakantoilla, eksponentit vähennetään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

3. Kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

4. Tuloksen aste on yhtä suuri kuin tekijöiden potenssien tulo:

Esimerkiksi,

5. Osamäärän aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan potenssien osamäärä:

Esimerkiksi,

Ratkaisuharjoitukset

Etsi lausekkeen arvo:

Ratkaisu:

Tässä tapauksessa mitään luonnollisen eksponentin ominaisuuksista ei voida soveltaa eksplisiittisesti, koska kaikki asteet ovat eri perusteilla. Kirjoitetaan muutama tutkinto eri muodossa:

(tulon aste on yhtä suuri kuin tekijöiden asteiden tulo);

(kun kerrotaan potenssit samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana, kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan, mutta kanta pysyy samana).

Sitten saamme:

Tässä esimerkissä käytettiin asteen neljää ensimmäistä ominaisuutta luonnollisen eksponentin kanssa.

Aritmeettinen neliöjuuri
on ei-negatiivinen luku, jonka neliö ona,
. klo
- ilmaisu
ei määritelty, koska ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on yhtä suuri kuin negatiivinen lukua.

Matemaattinen sanelu(8-10 min.)

Vaihtoehto

II. Vaihtoehto

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

2. Laske

a)

b)

V)

2. Laske

a)

b)

v)

Itsetestaus(käännetaulussa):

Vastausmatriisi:

№ vaihtoehto/tehtävä

Tehtävä 1

Tehtävä 2

Vaihtoehto 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

v)

Vaihtoehto 2

a) 1.5

b)

a)

b)

klo 4

II Uuden tiedon muodostuminen

Harkitse ilmaisun merkitystä, missä - positiivinen luku– murtoluku ja m-kokonaisluku, n-luonnollinen (n>1)

Määritelmä: luvun a›0 aste rationaalisen eksponentin kanssar = , m-koko, n- luonnollinen ( n›1) numeroon soitetaan.

Niin:

Esimerkiksi:

Huomautuksia:

1. Jokaiselle positiiviselle a:lle ja mille tahansa rationaaliselle r:lle luku positiivisesti.

2. Milloin
rationaalinen tutkinto numeroitaaei määritelty.

Ilmaisuja kuten
ei ole järkeä.

3.Jos positiivinen murtoluku
.

Jos murto-osa negatiivinen luku siis -ei ole järkeä.

Esimerkiksi: - ei ole järkeä.

Tarkastellaan rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia.

Olkoon a>0, в>0; r, s - mitkä tahansa rationaaliluvut. Sitten asteella, jolla on mikä tahansa rationaalinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidointi. Uusien taitojen ja kykyjen muodostuminen.

Tehtäväkortit toimivat pienissä ryhmissä testin muodossa.

Videotunti "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" sisältää visuaalin koulutusmateriaalia opettaa tästä aiheesta. Videotunti sisältää tietoa tutkinnon käsitteestä rationaalisen eksponentin kanssa, ominaisuuksista, sellaisista tutkinnoista sekä esimerkkejä, jotka kuvaavat oppimateriaalin käyttöä käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Tämän videotunnin tehtävänä on esittää oppimateriaali selkeästi ja selkeästi, helpottaa sen kehittämistä ja muistamista opiskelijoille, muodostaa kyky ratkaista ongelmia opittujen käsitteiden avulla.

Videotunnin tärkeimmät edut ovat kyky tehdä visuaalisia muunnoksia ja laskelmia, kyky käyttää animaatiotehosteita oppimisen tehokkuuden parantamiseksi. Äänen säestys auttaa kehittämään oikeaa matemaattista puhetta ja mahdollistaa myös opettajan selityksen korvaamisen vapauttaen hänet henkilökohtaiseen työhön.

Opetusvideo alkaa aiheen esittelyllä. Linkitä tutkimus uusi aihe aiemmin tutkitun materiaalin kanssa on syytä muistaa, että n √ a on muuten merkitty a 1/n:llä luonnolliselle n:lle ja positiiviselle a:lle. Tämä n-juuren esitys näkyy näytöllä. Lisäksi ehdotetaan pohtimaan, mitä ilmaus a m / n tarkoittaa, jossa a on positiivinen luku ja m / n on jokin murto-osa. Laatikon korostetun asteen määritelmä on annettu rationaalisen eksponentin kanssa muodossa m/n = n √ a m . On huomattava, että n voi olla luonnollinen luku ja m - kokonaisluku.

Kun aste on määritetty rationaalisella eksponentilla, sen merkitys paljastuu esimerkein: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Esitetään myös esimerkki, jossa desimaaliluku muunnetaan yhteiseksi murtoluvuksi esitettäväksi juurina: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ja esimerkki negatiivisella eksponentilla: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Erikseen tietyn tapauksen piirre ilmoitetaan, kun asteen kanta on nolla. On huomattava, että tällä asteella on järkeä vain positiivisella murto-eksponentilla. Tässä tapauksessa sen arvo on nolla: 0 m/n =0.

Toinen rationaalisen eksponentin asteen ominaisuus on huomioitu - se, että astetta, jossa on murto-eksponentti, ei voida ottaa huomioon murto-eksponentilla. Esimerkkejä tutkinnon virheellisestä merkinnästä on annettu: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Lisäksi videotunnilla tarkastellaan tutkinnon ominaisuuksia rationaalisella eksponentilla. On huomattava, että kokonaislukueksponentin asteen ominaisuudet pätevät myös rationaalisen eksponentin asteelle. On ehdotettu, että palautetaan luettelo ominaisuuksista, jotka ovat voimassa myös tässä tapauksessa:

1. Kun potenssit kerrotaan samoilla emäksillä, niiden indikaattorit lasketaan yhteen: a p a q \u003d a p + q.
2. Samoilla kantakantoilla olevien asteiden jako pienennetään asteeksi tietyllä kantalla ja eksponenttierolla: a p:a q =a p-q .
3. Jos nostetaan potenssi tiettyyn potenssiin, niin tuloksena saadaan potenssi annetulla kantalla ja eksponenttitulolla: (a p) q =a pq .

Kaikki nämä ominaisuudet pätevät potenssiin, joiden rationaaliset eksponentit p, q ja positiivinen kanta a>0. Myös astemuunnokset pysyvät totta sulkuja avattaessa:

1. (ab) p =a p b p - kahden luvun tulon nostaminen tiettyyn potenssiin rationaalisen eksponentin avulla pelkistetään lukujen tuloksi, joista kukin korotetaan tiettyyn potenssiin.
2. (a/b) p =a p /b p - eksponentio murtoluvun rationaalisella eksponentilla pelkistetään murtoluvuksi, jonka osoittaja ja nimittäjä nostetaan annettuun potenssiin.

Opetusvideo käsittelee esimerkkien ratkaisua, jossa käytetään tutkittuja asteiden ominaisuuksia rationaalisen eksponentin kanssa. Ensimmäisessä esimerkissä ehdotetaan, että löydetään lausekkeen arvo, joka sisältää muuttujat x murto-osaan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Lausekkeen monimutkaisuudesta huolimatta se ratkaistaan ​​yksinkertaisesti käyttämällä asteiden ominaisuuksia. Tehtävän ratkaisu alkaa lausekkeen yksinkertaistamisella, jossa käytetään sääntöä nostaa potenssi rationaalisen eksponentin kanssa potenssiin sekä kertomalla potenssit samalla kantalla. Kun annettu arvo x=8 on korvattu yksinkertaistetulla lausekkeella x 1/3 +48, ​​on helppo saada arvo -50.

Toisessa esimerkissä on vähennettävä murto-osa, jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät potenssit rationaalisen eksponentin kanssa. Asteen ominaisuuksien avulla erotuksesta valitaan kerroin x 1/3, joka sitten vähennetään osoittajassa ja nimittäjässä, ja neliöiden erotuskaavaa käyttäen osoittaja jaetaan tekijöiksi, mikä antaa lisää vähennyksiä samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä. Tällaisten muunnosten tulos on lyhyt murto-osa x 1/4 +3.

Videotuntia "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" voidaan käyttää sen sijaan, että opettaja selittäisi oppitunnin uuden aiheen. Tämä ohje sisältää myös täydelliset tiedot opiskelijan itseopiskeluun. Materiaalista voi olla hyötyä etäopetuksessa.

Luvun a kokonaislukueksponenteista siirtyminen rationaaliseen eksponenttiin viittaa itsestään. Alla määritellään aste rationaalisella eksponentilla, ja teemme sen siten, että kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet säilyvät. Tämä on välttämätöntä, koska kokonaisluvut ovat osa rationaalilukuja.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista, ja jokainen murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murtolukuna. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun asteen merkitys a murto-osan kanssa m/n, missä m on kokonaisluku ja n- luonnollinen. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murtoluvulla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtäläisyyden ja kuinka määritimme n:nnen asteen juuren, on loogista hyväksyä, jos tiedoilla m, n ja a ilmaisussa on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetaan m, n ja a lausekkeessa on järkeä, sitten luvun teho a murto-osan kanssa m/n kutsutaan juureksi n aste a siinä määrin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jää vain kuvailla minkä alla m, n ja a ilmaisussa on järkeä. Asetetuista rajoituksista riippuen m, n ja a on kaksi päälähestymistapaa.

1. Helpoin tapa on asettaa rajoitus a, hyväksyy a≥0 positiiviselle m ja a>0 negatiiviselle m(koska klo m≤0 tutkinnon 0 m määrittelemätön). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun aste a murto-osan kanssa m/n , missä m on kokonaisuus ja n on luonnollinen luku, jota kutsutaan juuriksi n- joukosta a siinä määrin m, tuo on, .

Myös nollan murto-aste määritellään sillä ainoalla varoituksella, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n , missä m on positiivinen kokonaisluku, ja n on luonnollinen luku, joka määritellään .
Kun astetta ei ole määritelty, eli luvun nolla asteella, jossa on murto-osa negatiivinen eksponentti, ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määritelmällä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a ja jotakin m ja n ilmaus on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0. Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murto-eksponentilla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

2. Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murto-eksponentilla m/n koostuu juuren parillisen ja parittoman eksponentin erillisestä huomioimisesta. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehdon: luvun potenssin a, jonka indikaattori on pelkistetty tavallinen murtoluku, pidetään luvun potenssina a, jonka indikaattori on vastaava redusoitumaton murto-osa (tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murtoluku, sitten mille tahansa luonnolliselle luvulle k tutkinto korvataan alustavasti .

Tasaiseksi n ja positiivinen m ilmaisu on järkevä kaikille ei-negatiivisille a(negatiivisen luvun parillisen asteen juurilla ei ole järkeä), negatiivisella m määrä a täytyy silti olla eri kuin nolla (muuten se on jako nollalla). Ja oudoksi n ja positiivinen m määrä a voi olla mikä tahansa (parittoman asteen juuri on määritelty mille tahansa reaaliluvulle) ja negatiiviselle m määrä a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nollalla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Päästää m/n- redusoitumaton murto-osa m on kokonaisuus ja n- luonnollinen luku. Minkä tahansa pelkistettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan . aste a redusoitumattomalla murto-eksponentilla m/n- se on varten

o mikä tahansa todellinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja outoa luonnollista n, Esimerkiksi, ;

o mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku a, negatiivinen kokonaisluku m ja outoa n, esim, ;

o mikä tahansa ei-negatiivinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja jopa n, Esimerkiksi, ;

o mitään positiivista a, negatiivinen kokonaisluku m ja jopa n, esim, ;

o muissa tapauksissa astetta ei ole määritelty murto-eksponentilla, koska esimerkiksi asteita ei ole määritelty .a-merkinnöille emme liitä mitään merkitystä, määrittelemme nolla-asteen positiivisille murto-eksponenteille m/n Miten , negatiivisille murtolukueksponenteille luvun nollan astetta ei ole määritelty.

Tämän jakson lopuksi kiinnitetään huomiota siihen, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa muotoon desimaaliluku tai sekanumero, esim. . Tällaisten lausekkeiden arvojen laskemiseksi sinun on kirjoitettava eksponentti tavallisena murtolukuna ja käytettävä sitten asteen määritelmää murto-osalla. Näitä esimerkkejä varten meillä on ja