Miten tehot summautuvat, kun ne kerrotaan. Säännöt potenssien kertomisesta eri perusteilla

Tehokaavat käytetään vähentämis- ja yksinkertaistamisprosessissa monimutkaisia ​​ilmaisuja, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c on n-luvun potenssi a kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osuuden aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a m n.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Nostettaessa juuria potenssiin, riittää, että nostat juurinumeron tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan korottaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Tutkinto c negatiivinen indikaattori. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste, jossa on murtoluku. Nostaaksesi todellista numeroa a jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi a.

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Oppiaksesi kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä Jokapäiväinen elämä lue tämä artikkeli.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistunut toimitus OGE tai USE ja päästäksesi unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmisen kieli erittäin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muuta hankalia temppuja laiskot matemaatikot keksivät laskut? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua piinaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun täytyy silti kertoa ne tai nostaa ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja myös laskuvirheitä tulee vähemmän. Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toiseen asteeseen on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten, tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometriä. Odottamatta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvyys pohja ja yritä laskea kuinka monta kuutiota metri metriltä yhteensä tulee altaasi.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loaferien ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No ja sisään yleisnäkymä yleistää ja muistaa paremmin ... Aste, jonka kanta on "" ja eksponentti "", luetaan "asteeseen" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit sen: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti merkitsemään velkoja: jos puhelimessasi on saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalisia lukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna loputon desimaali. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

Määritelmän mukaan:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen valikoiman laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osien eksponentin kanssa.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Astioita kanssa järkevä indikaattori erittäin hyödyllinen juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "valmistelu numero”, nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhentämiseksi:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavanomaisia ​​asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon lauseke: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska sitä ei voi jakaa).

Vielä kerran nollasta: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

Määritelmän mukaan:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä pitää olla samat perusteet. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

Minun ei missään tapauksessa pidä kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indikaattori tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Sellainen on mahdollista muotoilla yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen numero, pystytetty vuonna outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa tehoon on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistamme sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että perusta alle nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, sillä poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nollaasteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen indikaattori - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisen eksponentin kanssa (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

1. Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro minulle alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Matematiikan tutkinnon käsite esitellään jo 7. luokalla algebratunnilla. Ja tulevaisuudessa, koko matematiikan opiskelun ajan, tätä käsitettä käytetään aktiivisesti eri muodoissaan. Tutkinnot ovat melko vaikea aihe, joka vaatii arvojen muistamista ja kykyä laskea oikein ja nopeasti. Nopeampaa ja parempaa matematiikan tutkintojen työskentelyä varten he keksivät tutkinnon ominaisuudet. Ne auttavat vähentämään suuria laskelmia, muuttamaan valtavan esimerkin jossain määrin yhdeksi luvuksi. Ominaisuuksia ei ole niin paljon, ja ne kaikki on helppo muistaa ja soveltaa käytännössä. Siksi artikkelissa käsitellään tutkinnon pääominaisuuksia sekä sitä, missä niitä sovelletaan.

asteen ominaisuudet

Tarkastellaan 12 asteen ominaisuutta, mukaan lukien saman kantapään potenssien ominaisuudet, ja annamme esimerkin jokaisesta ominaisuudesta. Jokainen näistä ominaisuuksista auttaa sinua ratkaisemaan astetta koskevia ongelmia nopeammin ja säästää sinua lukuisista laskentavirheistä.

1. omaisuus.

Monet ihmiset usein unohtavat tämän ominaisuuden, tekevät virheitä edustaen lukua nollaasteen nollana.

2. omaisuus.

3. omaisuus.

On muistettava, että tätä ominaisuutta voidaan käyttää vain kertomalla lukuja, se ei toimi summan kanssa! Emmekä saa unohtaa, että tämä ja seuraavat ominaisuudet koskevat vain tehoja, joilla on sama kanta.

4. omaisuus.

Jos nimittäjässä oleva luku nostetaan negatiiviseen potenssiin, niin vähennettäessä nimittäjän aste otetaan suluissa, jotta etumerkki korvataan oikein jatkolaskutoimissa.

Ominaisuus toimii vain jakattaessa, ei vähennettäessä!

5. omaisuus.

6. omaisuus.

Tätä ominaisuutta voidaan myös soveltaa kääntöpuoli. Yksikkö jaettuna luvulla jossain määrin on tämä luku negatiivisella potenssilla.

7. kiinteistö.

Tätä ominaisuutta ei voi soveltaa summaan ja erotukseen! Kun summaa tai erotusta korotetaan potenssiin, käytetään lyhennettyjä kertolaskuja, ei potenssin ominaisuuksia.

8. omaisuus.

9. kiinteistö.

Tämä ominaisuus toimii mille tahansa murto-asteelle, jonka osoittaja on yksi, kaava on sama, vain juuren aste muuttuu asteen nimittäjästä riippuen.

Myös tätä ominaisuutta käytetään usein käänteisessä järjestyksessä. Minkä tahansa luvun potenssin juuri voidaan esittää luvun potenssilla yhden jaettuna juuren potenssilla. Tämä ominaisuus on erittäin hyödyllinen tapauksissa, joissa luvun juuria ei poimita.

10. omaisuus.

Tämä ominaisuus ei toimi vain neliöjuuri ja toinen tutkinto. Jos juuren aste ja tämän juuren korotusaste ovat samat, niin vastaus on radikaali lauseke.

11. kiinteistö.

Sinun on kyettävä näkemään tämä omaisuus ajoissa sitä ratkaiseessasi, jotta säästyisit suurilta laskelmilta.

12. kiinteistö.

Jokainen näistä ominaisuuksista kohtaa useammin kuin kerran tehtävissä, se voidaan antaa puhtaassa muodossaan tai se voi vaatia joitain muunnoksia ja muiden kaavojen käyttöä. Siksi varten oikea päätös ei riitä, että tietää vain ominaisuudet, sinun on harjoitettava ja yhdistettävä loput matemaattiset tiedot.

Asteiden soveltaminen ja niiden ominaisuudet

Niitä käytetään aktiivisesti algebrassa ja geometriassa. Matematiikan tutkinnoilla on erillinen, tärkeä paikka. Niiden avulla ratkaistaan ​​eksponentiaaliyhtälöitä ja epäyhtälöitä, ja potenssit monimutkaistavat usein matematiikan muihin osiin liittyviä yhtälöitä ja esimerkkejä. Eksponentit auttavat välttämään suuria ja pitkiä laskelmia, on helpompi pienentää ja laskea eksponenteja. Mutta työskennellä suurilla tai asteilla suuria lukuja, sinun on tiedettävä tutkinnon ominaisuuksien lisäksi myös asiantuntevasti työskenneltävä emästen kanssa, kyettävä hajottamaan ne tehtäväsi helpottamiseksi. Mukavuuden vuoksi sinun tulee myös tietää potenssiin korotettujen numeroiden merkitys. Tämä vähentää ratkaisemiseen kuluvaa aikaa, koska pitkiä laskelmia ei tarvita.

Asteen käsitteellä on erityinen rooli logaritmeissa. Koska logaritmi on pohjimmiltaan luvun potenssi.

Lyhennetyt kertolaskut ovat toinen esimerkki valtuuksien käytöstä. Ne eivät voi käyttää asteiden ominaisuuksia, ne hajotetaan erityisten sääntöjen mukaan, mutta jokaisessa lyhennetyssä kertolaskukaavassa on poikkeuksetta asteita.

Tutkintoja käytetään aktiivisesti myös fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Kaikki käännökset SI-järjestelmään tehdään asteilla, ja jatkossa tehtäviä ratkaistaessa käytetään asteen ominaisuuksia. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään aktiivisesti kahden tehoja laskemisen helpottamiseksi ja numeroiden havaitsemisen yksinkertaistamiseksi. Jatkolaskutoimitukset mittayksiköiden muunnoksille tai tehtävien laskennat, aivan kuten fysiikassa, tapahtuvat asteen ominaisuuksien avulla.

Asteet ovat hyödyllisiä myös tähtitieteessä, jossa asteen ominaisuuksien käyttöä löytyy harvoin, mutta itse asteita käytetään aktiivisesti erilaisten suureiden ja etäisyyksien kirjaamisen lyhentämiseen.

Myös tutkintoja käytetään tavallinen elämä, kun lasketaan alueita, tilavuuksia, etäisyyksiä.

Tutkintojen avulla kirjoitetaan erittäin suuria ja erittäin pieniä arvoja millä tahansa tieteenalalla.

eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt

Tutkinto-omaisuuksilla on nimenomaan erityinen paikka eksponentiaaliyhtälöt ja eriarvoisuudet. Nämä tehtävät ovat hyvin yleisiä, kuten esim koulun kurssi sekä tentteissä. Ne kaikki ratkaistaan ​​käyttämällä tutkinnon ominaisuuksia. Tuntematon on aina itse asteessa, joten, kun tiedetään kaikki ominaisuudet, ei ole vaikeaa ratkaista tällaista yhtälöä tai epäyhtälöä.

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi ruutua a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -t 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen teho, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja a m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri;

Niin, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat - negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Toimivallan jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai sijoittamalla ne murtoluvun muotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

Tai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac(a^5)(a^3)$. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö koskee myös numeroita, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssien lukuja sisältävillä murtoluvuilla

1. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastaus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastaus: $\frac(2x)(1)$ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3 .a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

9. Jaa (h 3 - 1)/d 4 luvulla (d n + 1)/h.

Jokaisesta aritmeettisesta operaatiosta tulee joskus liian vaivalloista tallennettavaksi, ja sitä yritetään yksinkertaistaa. Se oli aiemmin sama lisäystoiminnon kanssa. Ihmisten oli tarpeen suorittaa toistuvia samantyyppisiä lisäyksiä, esimerkiksi laskea sadan persialaisen maton hinta, joiden hinta on 3 kultakolikkoa jokaista kohden. 3+3+3+…+3 = 300. Hankaluuden vuoksi merkintä keksittiin pienentää 3 * 100 = 300:ksi. Itse asiassa merkintä "kolme kertaa sata" tarkoittaa, että sinun on otettava sata kolmoset ja lisää ne yhteen. Kertominen juurtui, saavutti yleisen suosion. Mutta maailma ei seiso paikallaan, ja keskiajalla tuli tarpeelliseksi suorittaa samantyyppinen kertolasku. Muistan vanhan intialaisen arvoituksen viisasta miehestä, joka pyysi vehnänjyviä palkkioksi tehdystä työstä seuraavan määrän: ensimmäisestä solusta shakkilauta hän pyysi yhtä viljaa, toisesta - kaksi, kolmannesta - neljä, viides - kahdeksan ja niin edelleen. Näin ilmestyi ensimmäinen potenssien kertolasku, koska jyvien lukumäärä oli yhtä suuri kuin kaksi soluluvun potenssilla. Esimerkiksi viimeisessä solussa olisi 2*2*2*…*2 = 2^63 grains, mikä vastaa 18 merkin pituista lukua, mikä itse asiassa on arvoituksen tarkoitus.

Potenssikorotusoperaatio juurtui melko nopeasti, ja nopeasti tuli myös tarpeelliseksi suorittaa asteiden yhteen-, vähennys-, jako- ja kertolasku. Jälkimmäistä kannattaa harkita tarkemmin. Voimien lisäämiskaavat ovat yksinkertaisia ​​ja helppo muistaa. Lisäksi on erittäin helppo ymmärtää, mistä ne tulevat, jos tehotoiminto korvataan kertolaskulla. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä alkeisterminologia. Lauseke a ^ b (lue "a b:n potenssiin") tarkoittaa, että luku a tulee kertoa itsestään b kertaa, ja "a" kutsutaan asteen kantapääksi ja "b" on eksponentti. Jos potenssien kantaluvut ovat samat, kaavat johdetaan yksinkertaisesti. Tarkka esimerkki: etsi lausekkeen 2^3 * 2^4 arvo. Jotta tiedät, mitä pitäisi tapahtua, sinun tulee selvittää vastaus tietokoneelta ennen ratkaisun aloittamista. Kun tämä lauseke syötetään mihin tahansa online-laskimeen, hakukoneeseen, kirjoitetaan "potenssien kertominen eri kantajilla ja samalla tavalla" tai matemaattinen paketti, tulos on 128. Kirjoita nyt tämä lauseke: 2^3 = 2*2*2, ja 2^4 = 2*2*2*2. Osoittautuu, että 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Osoittautuu, että potenssien tulo, joilla on sama kanta, on yhtä suuri kuin kanta, joka on korotettu potenssiin, joka on yhtä suuri kuin kahden edellisen potenssin summa.

Saatat ajatella, että tämä on onnettomuus, mutta ei: mikä tahansa muu esimerkki voi vain vahvistaa tämä sääntö. Yleisesti ottaen kaava näyttää siis tältä: a^n * a^m = a^(n+m) . On myös sääntö, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi. Tässä tulee muistaa negatiivisten potenssien sääntö: a^(-n) = 1 / a^n. Eli jos 2^3 = 8, niin 2^(-3) = 1/8. Käyttämällä tätä sääntöä voimme todistaa yhtälön a^0 = 1: a^0 = a^(nn) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) voidaan pienentää ja pysyy yhtenä. Tästä johdetaan sääntö, että samoilla kantakantoilla olevien potenssien osamäärä on yhtä suuri kuin tämä kanta siinä määrin kuin osingon ja jakajan osamäärä: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Esimerkki: Yksinkertaista lauseke 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Kertominen on kommutatiivinen operaatio, joten kertolaskujen eksponentit on ensin lisättävä: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Seuraavaksi sinun tulee käsitellä negatiivisen asteen jakoa. Jakajan eksponentti on vähennettävä osinkoeksponentista: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. osoittautuu, että negatiivisella asteella jakaminen on identtinen samanlaisella positiivisella eksponentilla kertomisen kanssa. Lopullinen vastaus on siis 8.

On esimerkkejä, joissa ei-kanoninen voimien kertominen tapahtuu. Voimien kertominen eri perusteilla on usein paljon vaikeampaa ja joskus jopa mahdotonta. On annettava useita esimerkkejä erilaisista mahdollisista lähestymistavoista. Esimerkki: yksinkertaista lauseke 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. On selvää, että potenssien kertolasku on eri kanta. Mutta on huomattava, että kaikki emäkset ovat kolminkertaisen eri tehoja. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Käytä sääntöä (a^n) ^m = a^(n*m) , sinun tulee kirjoittaa lauseke uudelleen sopivampaan muotoon: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Vastaus: 3^11. Tapauksissa, joissa on erilaisia ​​emäksiä, sääntö a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n toimii yhtäläisille indikaattoreille. Esimerkiksi 3^3 * 7^3 = 21^3. Muuten, kun on olemassa erilaisia ​​emäksiä ja indikaattoreita, on mahdotonta tehdä täydellistä kertolaskua. Joskus voit osittain yksinkertaistaa tai turvautua tietotekniikan apuun.